Fundamentals of the Theory of Operator Algebras Advanced Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Richard V. Kadison

出品人:

页数:676

译者:

出版时间:1997-8-22

价格:USD84.00

装帧:

isbn号码:9780821808207

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学
• AMS
• Operator Algebras
• Functional Analysis
• C*-algebras
• von Neumann Algebras
• Hilbert Space
• Mathematical Analysis
• Abstract Algebra
• Operator Theory
• Noncommutative Analysis
• Mathematical Physics

泛函分析与算子理论导论 本书旨在为读者提供一个全面而深入的泛函分析和算子理论的入门基础，重点关注经典分析工具的应用和现代理论的初步探索。它不涉及《Fundamentals of the Theory of Operator Algebras》中涉及的特定、深入的代数结构和非交换几何主题，而是立足于扎实的拓扑、度量空间和线性算子理论，为后续更专业的研究打下坚实的基础。 --- 第一部分：拓扑与度量空间基础 本部分着重回顾和系统化构建读者理解泛函分析所必需的拓扑和度量空间理论，确保对收敛性、完备性和紧致性有清晰的认识。 第一章：回顾与预备知识 集合论基础的强化： 集合、映射、基数、良序原理在分析学中的应用。 拓扑空间的概念： 拓扑的定义、开闭集、邻域系统、基与稠密子集。Hausdorff性质及其重要性。 连续性与拓扑保持映射： 连续函数的拓扑定义、同胚、开映射与闭映射。 第二章：完备性与拓扑结构的深入 度量空间： 度量、三角不等式、开球与闭球。 序列收敛与拓扑收敛： 在度量空间中序列收敛的严格定义及其与拓扑收敛的关系。 完备性： Cauchy序列、完备度量空间（巴拿赫空间的前身）。Baire范畴定理的初步阐述及其在完备空间中的应用（不涉及算子代数的具体应用）。 紧致性： 相对紧致性、序列紧致性。Heine-Borel定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）的推广性思考。Tychonoff定理的陈述与意义。 第三章：重要的拓扑空间结构 函数空间： 连续函数空间 $C(X)$（其中 $X$ 为紧致 Hausdorff 空间）作为度量空间。 等度连续性与Ascoli-Arzelà定理： 这是理解函数序列收敛的关键。重点探讨等度连续族的特征及其在紧致空间上的应用，为后面引入 $mathcal{C}^$-代数中的一些初步概念做铺垫，但不深入其代数结构。 乘积空间与商空间： 如何从已有的拓扑空间构造新的空间。 --- 第二部分：赋范线性空间与巴拿赫空间 本部分开始引入线性结构的严格分析，为引入有界线性算子奠定基础，聚焦于向量空间上的范数结构及其完备性。 第四章：线性空间的结构与范数 向量空间回顾： 域、线性组合、基与维数。 范数的引入： 范数的定义、范数诱导的拓扑（范数拓扑）。 赋范线性空间 (NLS)： 范数与度量的一致性。 第五章：巴拿赫空间——完备赋范空间 完备性与Cauchy序列在NLS中的表现。 巴拿赫空间 (Banach Space)： 完备的赋范线性空间。 重要的巴拿赫空间实例： $mathbb{C}^n$, $ell^p$ 空间 ($1 le p le infty$), $L^p$ 空间（作为勒贝格积分理论的自然延伸，但侧重于其空间结构而非测度论的深度细节）。 线性泛函： 定义在巴拿赫空间上的线性函数。有界线性泛函的概念。 第六章：有界线性算子与线性算子代数（初步） 有界线性算子： 算子范数的定义与性质。算子空间 $mathcal{B}(X, Y)$ 的结构。 逆算子理论： 可逆性、开映射定理（不依赖于算子代数的特定性质，而是作为一个基础的拓扑线性分析工具）。 线性算子代数（初步概念）： 仅讨论算子在巴拿赫空间上构成的代数结构（加法、乘法、标量乘法），不涉及 $$ 运算或结构化代数（如 $C^$-代数或von Neumann代数）。 --- 第三部分：拓扑线性分析的支柱 本部分详细介绍泛函分析中至关重要的三大定理，它们是连接拓扑、度量和线性结构的核心工具，是后续所有高级理论的基石。 第七章：三大基本定理 Hahn-Banach定理（扩展定理）： 讨论在实空间和复空间中的形式。它保证了线性泛函可以从子空间扩展到整个空间，并保持有界性（或次可加性）。详细阐述其在分离问题中的作用。 均匀有界性原理（Banach-Steinhaus定理）： 讨论点态有界性族是否保证一致有界性。侧重于其在序列收敛和傅里叶级数收敛性分析中的应用。 开映射定理： 证明连续的双射（即双连续映射）在巴拿赫空间之间是开映射。这与闭图像定理密切相关，但此处重点关注开映射定理的直接推论。 第八章：对偶空间 对偶空间 $X^$： 巴拿赫空间 $X$ 的所有有界线性泛函构成的空间。 Riesz表示定理（有限维情况及初步 $L^p$ 实例）： 仅讨论有限维空间以及 $L^p$ 空间中对偶空间的确切描述，例如 $L^1$ 与 $L^infty$ 之间的关系。 弱拓扑： 由对偶空间诱导的拓扑结构（弱收敛）。弱收敛与范数收敛的区别与联系。 --- 第四部分：希尔伯特空间与正交性 本部分将重点转向具有内积结构的特殊巴拿赫空间——希尔伯特空间，这是研究正交性、投影和谱理论的必要前提。 第九章：内积空间与希尔伯特空间 内积的定义与性质： 柯西-施瓦茨不等式，由内积诱导的范数。 完备的内积空间： 希尔伯特空间 (Hilbert Space) 的定义。 正交性与投影定理： 几何直观的建立。闭凸子集上的最近点问题，以及正交投影算子的性质。 第十章：算子在希尔伯特空间上的性质 自伴算子（Adjoint Operators）： 在一般赋范空间中算子的伴随算子，以及在希尔伯特空间中伴随算子的定义和基本性质。 正规算子、酉算子与自伴算子（仅基于正交性定义）： 它们在希尔伯特空间几何中的角色。 谱理论的门径（初步）： 介绍谱的概念，讨论有限维空间中谱的性质（特征值）。本部分不深入无限维空间中的谱分解或函数演算，仅停留在代数和几何性质的交汇点。 --- 本书不包含的主题概述（以区别于《Fundamentals of the Theory of Operator Algebras》）： 本书的重点是泛函分析作为数学分支的独立理论结构。因此，它不涉及以下高级算子代数理论： 1. $mathcal{C}^$-代数的完整结构、恒等式、态的理论、Gelfand-Naimark 构造。 2. von Neumann代数、有限性、双对偶定理、分类理论。 3. 非交换几何、索引理论、K-理论（即使是基础的K-理论也不涉及）。 4. 算子代数中的迹（Trace）概念的深入研究。 本书提供的知识体系是所有现代算子理论研究者（无论侧重代数、几何还是应用）所必需的、坚实的分析基础。

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我必须说，这本书的哲学深度和数学严谨性确实是顶尖的。它不仅仅是一本教科书，更像是一部关于运算符代数理论的思想史。在阅读关于算子空间和泛函分析基础的部分时，我反复被作者对抽象概念精妙归纳和证明所折服。书中对Banach代数、H*-代数等结构的介绍，不仅仅是定义和性质的罗列，而是对其内在逻辑联系和发展脉络的深刻揭示。我尤其对作者如何从更基础的集合论和拓扑学出发，一步步构建起如此宏大的理论体系感到赞叹。书中对紧算子、迹类算子以及它们与Lp空间之间关系的阐述，为我理解量子信息理论中的许多关键概念提供了坚实的基础。这些概念并非易于掌握，但作者通过精心设计的例证和清晰的逻辑链条，使得这些原本晦涩的知识变得触手可及。这本书让我深刻体会到，数学的魅力在于其抽象背后的深刻含义和普适性。

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这本书就像是一位经验丰富的向导，带领我们在高维空间中探索抽象的数学景观。它的结构设计非常巧妙，循序渐进地引入了诸如von Neumann代数、因子分解和表示理论等复杂概念。我尤其欣赏作者在阐述因子分解时，那种层层剥茧的讲解方式，将不同类型的因子（I型、II型、III型）及其关键性质一一展现。对于像我这样在研究中经常需要运用这些工具的学者来说，能够清晰地理解这些分类的依据以及它们之间的相互关系，无疑大大提升了研究效率。书中对Haar测度的引入以及它在II型因子中的作用，更是让我受益匪浅。这部分内容不仅数学上充满挑战，而且具有深刻的理论意义。此外，作者还提及了某些关于无限维表示理论的前沿进展，虽然我目前还未深入到那个层面，但这些预示性的内容已经点燃了我进一步探索的欲望。总的来说，这本书是一次令人难忘的数学旅程，它既提供了解决实际问题的强大工具，也开拓了理论视野。

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这本书简直是运算符代数理论领域的一座宏伟丰碑，虽然它以“基础”为名，但其内容的深度和广度足以让最资深的数学家都感到振奋。我尤其被其中对于C*-代数谱理论的详尽阐述所吸引。作者们不仅清晰地勾勒出了谱的定义、性质及其在不同代数结构中的表现，更深入地探讨了像Gelfand-Naimark定理这样的基石性成果。理解这些概念对于把握整个运算符代数理论的脉络至关重要，而本书在这方面提供了无与伦比的清晰度和严谨性。书中穿插的丰富例子，从最简单的例子开始，逐步引导读者进入更复杂的抽象世界，这使得即使对于初学者来说，也能在克服最初的困难后，感受到数学之美。我对书中对不可约表示的详尽分析印象深刻，这不仅是理论研究的重要工具，也为理解量子力学等物理学分支提供了深刻的数学洞察。总而言之，这是一本能够激发学习热情，并为深入研究运算符代数理论打下坚实基础的杰作。

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坦白讲，这本书的阅读体验是一种既充满挑战又极具回报的过程。它对代数表示理论和李群的深入探讨，为我打开了理解对称性和对称性的新视角。作者对群表示与代数表示之间的桥梁作用的阐述，极其精彩。我之前一直对如何将群论中的对称性概念转化为代数结构中的算子代数语言感到困惑，而这本书通过对某些经典群（如SU(2)）的详细分析，清晰地展示了这一转化过程。书中对酉表示、不可约表示及其分类的详尽讨论，不仅具有纯粹的数学意义，更在物理学中有着广泛的应用，例如在量子力学中描述粒子的自旋和角动量。我尤其欣赏作者对表示理论在解偏微分方程中的作用的初步介绍，这显示了这本书的理论深度和应用广度。虽然其中一些证明过程对我来说仍然是巨大的挑战，但这正是推动我不断学习和思考的动力。

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这本书的数学美学感非常强，尤其是它对算子代数在几何学中的应用的探讨，让我耳目一新。作者对非交换几何的初步介绍，展示了如何利用算子代数的工具来研究那些无法用传统几何语言描述的“空间”。这对我来说是一个全新的领域，但书中通过对某些简单算子代数的构造，如函数代数与几何空间之间的对应关系，给了我一个清晰的入门点。我被书中关于代数与空间的偶联的讨论所吸引，这暗示了代数结构本身就可以承载丰富的几何信息。此外，书中对缠结理论和量子信息论的背景知识的提及，也让我看到了运算符代数理论在现代物理学和计算机科学中的巨大潜力。这些前沿领域的简要介绍，无疑激发了我对未来研究方向的思考，并让我对接下来的学习充满了期待。这本书的确是一扇通往更广阔数学世界的窗口。

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