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出版者:东北大学出版社

作者:杨雅琴

出品人:

页数:225

译者:

出版时间:2003-3

价格:10.00元

装帧:

isbn号码:9787810548113

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
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• 考研
• 复习
• 练习题
• 测试
• 大学
• 数学
• 工程数学

深入探索：现代应用数学的基石与未来方向 书名： 现代应用数学前沿与实践：从理论到算法的跨越 作者： [此处可填充一位知名应用数学家或资深教授的姓名] 出版社： [此处可填充一家权威学术出版社名称] ISBN： [此处可填充一个虚构的、符合标准的ISBN] --- 目录概览：构建坚实的理论框架与前沿的应用桥梁 本书旨在为读者提供一个超越基础代数和微积分范畴的、聚焦于现代应用数学核心概念、方法论及其在交叉学科中应用的深度指南。内容组织遵循从基础概念的严谨复习到复杂模型构建与数值实现的逻辑路径，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“如何做”以及“为什么这样做”。 第一部分：高级分析与拓扑基础的重塑 1. 度量空间与泛函分析的初步接触： 讨论集合、拓扑结构、完备性、收敛性在无穷维空间中的推广，为处理微分方程和优化问题奠定分析基础。重点解析Banach空间与Hilbert空间在工程中的物理意义。 2. 测度论与勒贝格积分： 深入探讨概率论、随机过程和信号处理背后的数学结构，理解传统黎曼积分的局限性及其在现代分析中的替代方案。 3. 微分几何基础： 引入流形、张量和黎曼几何的基本概念，这些是广义相对论、微分拓扑以及现代机器人学（特别是路径规划和运动学）不可或缺的工具。 第二部分：连续系统建模与动力学 4. 偏微分方程（PDEs）的高级理论： 涵盖椭圆型、抛物线型和双曲型方程的经典解法（如傅里叶法、分离变量法）及现代正则性理论。重点分析Navier-Stokes方程在流体力学中的挑战。 5. 遍历理论与混沌动力学： 探讨长时间系统演化的统计特性，介绍Poincaré截面、Lyapunov指数，以及它们在金融时间序列和天气预测模型中的应用。 6. 变分法与最优控制理论： 从欧拉-拉格朗日方程出发，系统推导泛函极值问题。深入讲解Pontryagin极大值原理，用于解决资源分配、路径优化和经济模型中的动态决策问题。 第三部分：离散结构、组合与计算方法 7. 图论的高级结构与应用： 区别于初级的网络分析，本章关注代数图论（如谱图论）、流动网络（最大流/最小割）和组合优化（如TSP、Set Cover的近似算法）。 8. 离散微分与有限差分方法： 详述如何将连续的PDEs转化为可以在计算机上高效求解的线性或非线性代数方程组，重点关注稳定性和收敛性分析（Von Neumann稳定性分析）。 9. 数值优化：理论、算法与实现： 详细介绍无约束优化（梯度下降变种、牛顿法、拟牛顿法）和约束优化（KKT条件、内点法、序列二次规划SQP）。强调大规模问题的处理策略。 第四部分：概率、统计推断与机器学习的数学基础 10. 随机过程的高级模型： 聚焦于马尔可夫链（离散与连续时间）、布朗运动（维纳过程）及其在金融衍生品定价（如Black-Scholes模型）中的精确应用。 11. 贝叶斯统计与计算： 介绍贝叶斯推断的核心逻辑，并深入探讨马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，特别是Metropolis-Hastings和Gibbs采样器，用于高维后验分布的估计。 12. 信息论与现代机器学习的交叉： 从熵、互信息和Kullback-Leibler (KL) 散度出发，解释正则化（L1/L2）、信息瓶颈理论以及深度学习中反向传播算法的数学原理。 --- 目标读者与本书价值 本书的编写目标受众是： 数学、物理、工程学专业的高年级本科生和研究生，希望将基础知识转化为解决实际问题的能力。 从事数据科学、量化金融、控制系统或计算物理的研究人员和工程师，需要深入理解其工具箱中算法背后的数学根源。 渴望系统性弥补分析学与离散数学之间鸿沟的专业人士。 本书的独特价值在于其“跨越性”： 1. 理论的严谨性与应用的紧密结合： 本书不满足于仅罗列公式，而是详细阐述每种数学工具的适用范围、局限性以及在现实场景中选择特定模型的逻辑考量。例如，在讨论数值方法时，我们将深入分析误差的来源（截断误差与舍入误差），并给出如何通过网格细化或更高阶方法来控制这些误差的实用建议。 2. 强调计算实现的可行性： 理论的价值最终体现在实践中。本书在介绍如傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）在PDE求解中的应用时，会讨论其计算复杂度（$O(N log N)$ 与 $O(N^2)$ 的区别），并提供算法实现的核心思想和关键步骤，而非简单的代码堆砌。 3. 引入前沿研究的数学视角： 书中涉及了大量在传统教材中不常出现的交叉领域知识，例如，从拓扑数据分析（TDA）的视角看高维数据的结构，以及如何利用凸分析来证明深度学习优化问题的解的存在性。这为读者理解当前学术研究热点提供了坚实的数学支撑。 --- 深入内容示例：最优控制与数值方法 在最优控制理论一章中，我们将详述如何将一个复杂的、受约束的动态系统（例如，无人机的燃料优化飞行路径）转化为一个基于泛函的极小化问题。我们不会止步于 Pontryagin 极大值原理的表述，而是会展示如何利用Hamiltonian函数构建协态方程组，并通过 शूटिंग（打靶法）或配点法（Collocation Methods）将其转化为一个大型的非线性规划（NLP）问题，最终通过如IPOPT求解器进行求解。这中间涉及对拉格朗日乘子（或称为协态变量）物理意义的深刻解读。 在数值分析部分，我们聚焦于有限元方法（FEM），这是解决复杂几何体上PDE问题的核心工具。本书将清晰地阐述“形函数”（Shape Functions）的选择（如线性、二次多项式）、刚度矩阵和载荷向量的构建过程。读者将理解为什么FEM在处理边界条件和不规则区域时，比传统的有限差分法具有显著的优势，以及如何通过确保网格质量（如Aspect Ratio控制）来保证解的精度。 总之，《现代应用数学前沿与实践》是一本旨在培养读者“数学工程思维”的专著，它系统地梳理了支撑现代科学计算和数据分析的数学原理，是通往高级应用数学研究和实践的必要阶梯。

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坦白说，市面上很多数学书的“配套资源”往往形同虚设，要么是过期的链接，要么是质量低劣的补充材料。然而，这套学习资源的配套服务体验出乎意料地好。他们提供了一个维护得非常及时的在线学习平台，里面不仅有与书本同步的课件，还有定期的在线答疑活动。我曾经在某个复杂的行列式计算上遇到了瓶颈，通过平台的互动功能，很快就得到了专业人士的解答和启发，效率极高。这种线上线下的无缝衔接，极大地增强了学习的持续性和支持力度，让人感觉自己不是孤军奋战，而是处在一个强大的学习社群中，极大地提高了学习的动力。

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拿到这本数学教材后，最让我印象深刻的是它那种循序渐进的讲解方式。作者仿佛是一位经验极其丰富的导师，深知初学者在面对抽象概念时容易在哪里卡壳。他并没有一开始就抛出复杂的理论，而是从一些非常直观、生活化的例子入手，将看似高不可攀的数学概念“拉下神坛”，变得易于理解和接受。每一个新的定义或定理，都会紧跟着好几个精心设计的例题进行巩固，这些例题的难度梯度设计得非常巧妙，由浅入深，步步为营。更妙的是，作者在讲解完一个章节后，都会用一种总结性的语言，将本章的知识点串联起来，形成一个完整的知识网络，这极大地帮助了我构建起对整个数学体系的宏观认知，避免了知识碎片化的问题。

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我是一个偏爱实战演练的学习者，对于那种只讲理论不给练习的教材总是敬而远之。庆幸的是，这本导读资料在习题部分的投入非常巨大，简直可以说是一个小型题库。它的题型非常多样化，从基础的计算题到需要深度思考的应用型题目，覆盖面广得惊人。我尤其欣赏它在难题后面的简短提示，这些提示不是直接给出答案，而是像一个微妙的引导，点拨你一下思维的方向，让你在经过一番挣扎后豁然开朗，这种“引导式解题”的学习体验是其他教材难以比拟的。做完一套习题下来，我感觉自己的解题技巧和速度都有了显著的提升，对于各种出题套路也有了更敏锐的直觉判断。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮。封面采用了深邃的蓝色调，搭配着简洁而有力的白色字体，整体风格既专业又不失现代感，拿在手里感觉质感十足。我特别喜欢它在细节上的处理，比如书脊的烫金工艺，在灯光下反射出低调而奢华的光泽。内页的纸张质量也相当不错，触感温润，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。排版方面，作者和出版社显然下了不少功夫，行距和字号的设置都非常舒适，内容布局清晰有条理，让人在学习过程中能保持良好的阅读体验。即便是面对复杂的数学公式，他们也处理得井井有条，符号的清晰度和对齐的精准度都体现了出版方对细节的极致追求。这本书的实体版本，从外观到手感，都给人一种踏实可靠的感觉，仿佛在告诉我，里面的内容也一样值得信赖和深入探索。

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这本书的理论深度和广度都达到了一个非常高的水准，它不仅仅是满足了应试的需要，更是激发了我对数学本身美感的探索欲。我发现作者在阐述核心定理的证明过程时，往往会给出不止一种视角。比如，某个线性变换的本质，他会分别从几何直觉、矩阵运算和向量空间变换这三个维度去剖析，这使得我对概念的理解不再是单一的、刻板的，而是立体且多维的。这种深层次的挖掘，让我体会到数学逻辑的严谨和精妙，它不仅仅是工具，更是一种思考世界的哲学。阅读过程中，我时不时会停下来，沉思作者构建的逻辑链条，那种智力上的满足感是无与伦比的。

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