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出版者:科学出版社

作者:张剑峰

出品人:

页数:239 页

译者:

出版时间:2003年01月

价格:31.0

装帧:平装

isbn号码:9787030111326

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 分类
• 解法
• 数学分析
• 高等数学
• 理论
• 学术
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好的，这是一本名为《微分方程分类原理》的图书的详细简介，旨在深入探讨常微分方程和偏微分方程的各种分类方法、理论基础及其在工程和科学领域的应用，同时完全避开对您所提及的《微分方程分类原理》一书的具体内容描述。 --- 图书简介：《微分方程分类原理》 导言：数学世界的基石与动态系统的描述 微分方程，作为描述自然界和工程领域中各种动态过程的数学语言，其重要性无与伦比。从行星的运动轨迹到热量的传导，从流体的流动到电路的响应，无一不依赖于精确的微分方程模型。然而，面对浩如烟海的方程类型，如何系统地、有条理地理解和求解它们，成为了数学和应用科学研究的核心挑战。 本书《微分方程分类原理》正是为了应对这一挑战而精心编纂的。它并非旨在罗列某一特定解法或某一特定领域的应用，而是致力于构建一个坚实的、普适性的分类框架，帮助读者从本质上把握不同类型方程的内在联系、特性差异以及相应的求解策略。我们相信，一个清晰的分类体系是通往深入理解和有效求解的第一步。 本书的核心目标是揭示“为什么”某些方程需要特定的分析工具，以及“如何”根据方程的结构特征将其归入特定的家族，并预判其解的定性行为。 --- 第一部分：常微分方程（ODE）的结构化分类与定性分析 常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是描述单个自变量函数变化规律的核心工具。本部分将 ODE 的分类提升到理论高度，超越了简单的“线性/非线性”划分。 1. 基于阶数与线性度的多维度划分 我们首先确立了基于“阶数”（决定了需要的积分次数和解的自由度）和“线性度”（决定了叠加原理是否适用，从而影响了求解的复杂性和精确性）的基准分类。 高阶线性 ODEs 的结构分解： 详细探讨齐次与非齐次方程的解的结构，引入朗斯基行列式（Wronskian）作为线性无关性的判据，并系统梳理常系数与变系数系统的求解路径。 非线性 ODEs 的挑战与分类依据： 非线性系统的分析是本书的重点之一。我们将非线性 ODE 分为自洽系统和非自洽系统，并引入相平面分析（Phase Plane Analysis）作为主要的定性分类工具。 2. 稳定性与奇点的分类判据 对于动态系统的分析，解的“长期行为”远比瞬时值重要。本章专注于根据系统解的稳定性特征进行分类。 平衡点的拓扑分类： 利用雅可比矩阵的特征值，我们将平衡点系统地分类为鞍点、结点（稳定与不稳定）、焦点（稳定与不稳定）以及中心点。这种分类直接决定了系统演化的基本模式。 极限环与周期解的识别： 探讨如何通过庞加莱-本迪克森理论（Poincaré–Bendixson Theorem）等工具，识别系统可能存在的复杂非线性行为，例如极限环的出现与稳定性。 3. 积分因子与守恒量的分类视角 对于某些特殊形式的 ODE，例如一阶微分方程，我们不只关注其可分离性或精确性，更关注其是否具有积分因子或守恒量的特性。这种分类方法将代数结构与物理守恒律紧密联系起来，为寻找解析解提供了新的视角。 --- 第二部分：偏微分方程（PDE）的本质分类与特征线理论 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）因涉及多个自变量，其复杂度和分类难度远超 ODEs。本书将 PDE 的分类置于其二阶线性形式的特征分析之上。 1. 二阶线性 PDE 的判别式分类法 这是 PDE 分类的核心。通过对二阶线性 PDE 的主导项系数进行判别式计算（类似于圆锥曲线的判别式），我们可以将其系统地归类为三大基本类型。 椭圆型方程（Elliptic）： 描述稳态问题（如静电势、稳态热分布）。分类标准是判别式 $Delta = B^2 - 4AC < 0$。我们重点分析其解的“平滑性”和“整体依赖性”。 抛物线型方程（Parabolic）： 描述扩散和耗散过程（如热传导）。分类标准是 $Delta = B^2 - 4AC = 0$。分析其时间演化和初边值问题的适定性。 双曲型方程（Hyperbolic）： 描述波的传播和波动现象（如弦的振动）。分类标准是 $Delta = B^2 - 4AC > 0$。讨论其信息传播的有限速度特性。 2. 特征线理论：分类的几何意义 特征线理论是理解 PDE 行为的关键。本章深入解释了为什么判别式的结果直接对应于特征线的性质。 对于双曲型方程，特征线代表了信息传播的路径，其解的定义依赖于这些特征线。 对于抛物线型方程，特征线是时间演化中“影响域”的边界。 对于椭圆型方程，特征线在复平面上出现，象征着其解的性质是全局的，不存在明确的“传播方向”。 3. 非线性 PDE 的分类挑战与弱解概念 对于非线性偏微分方程，如纳维-斯托克斯方程或非线性泊松方程，传统的判别式不再直接适用。本书将引入守恒律形式和弱解（Weak Solutions）的概念，以此作为对非线性系统的分类基础。系统被分类为是否保持某些物理量（如质量、能量）的局部守恒，以及其解的正则性要求。 --- 第三部分：分类在特定方程族中的应用深化 在本部分，我们将前两部分的理论工具应用于识别和理解几类具有重要影响的特定方程族。 1. 经典方程的归属与特性推导 热传导方程（抛物型）： 确认其分类后，分析其解如何通过傅里叶变换或分离变量法快速趋于稳定。 波动方程（双曲型）： 分析其双特征线如何定义了“波”的概念，以及达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）的结构如何与双曲型分类相一致。 拉普拉斯方程（椭圆型）： 讨论其解的调和性质（最大值原理），并解释为什么这类问题通常需要定义在有界区域上的边界条件。 2. 耦合系统与扰动理论的分类视角 许多实际问题涉及多个相互作用的微分方程。本书提供了一种“耦合系统分类法”，即根据系统中方程类型的组合（如一个椭圆型方程耦合到一个抛物型方程）来推断整个系统的整体行为和求解的难度层级。 此外，对于那些难以精确求解的非线性系统，我们引入了基于线性化或微小扰动的分类方法，探讨其解如何近似于线性系统的解空间，这是摄动理论的分类基础。 --- 结语：构建分类思维 《微分方程分类原理》旨在提供一个概念性的导航图，而不是一个解法公式手册。通过对阶数、线性度、稳定性、判别式和特征线的系统性梳理，读者将能够： 1. 快速识别： 面对一个陌生的方程，迅速判断其所属的家族及其核心特性。 2. 策略选择： 根据分类结果，精准地选择最合适的定性分析工具或数值求解策略。 3. 深入理解： 洞察不同类型方程背后的物理或几何意义差异。 本书面向高等数学、物理、工程力学及计算科学的师生和研究人员，期望它能成为读者手中一把坚实的“分类之钥”，开启对微分方程世界更深层次的探索。

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**书评一** 这本书的装帧设计很有特色，封面那种复古的油画风格，一下子就能抓住眼球。拿到手里沉甸甸的质感，让我对里面的内容充满了期待。我一直很喜欢这种经典与现代结合的风格。初读之下，发现作者的叙事非常流畅，不像很多技术类书籍那样枯燥乏味，而是像在听一位经验丰富的教授娓娓道来。开篇的引言部分，作者花了大量篇幅来阐述研究这个领域的初衷和它在实际生活中的重要性，这一点处理得非常巧妙。他没有直接跳入复杂的公式，而是先搭建了一个宏大的背景框架，让人很容易理解为什么我们要去研究这些看似抽象的数学工具。特别是关于物理学和工程学中，对非线性系统的建模，作者举的例子生动形象，让我对理论的应用有了更直观的认识。我特别欣赏作者在行文中的那种严谨又不失幽默感的平衡，使得原本可能让人望而生畏的数学概念，变得亲切易懂。

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**书评五** 这本书的排版和印刷质量非常出色，字体大小适中，图表清晰锐利，阅读体验极佳。它在理论的构建上采取了一种非常现代的视角，强调了泛函分析在解决无限维系统问题中的核心地位。作者在阐述算子理论时，没有停留在纯粹的抽象层面，而是非常巧妙地将抽象的数学概念与具体的物理意义联系起来。我个人尤其欣赏作者在全书结构上所体现出的宏伟蓝图感，从最基础的常微分方程解的存在性定理，逐步过渡到偏微分方程的适定性研究，整个知识体系一气呵成，结构稳定，没有一处感觉是生硬拼凑上去的。这本书的深度和广度都达到了一个很高的水准，它不仅是一本工具书，更像是一部浓缩了领域核心思想的学术精品，值得反复研读和收藏。

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**书评三** 说实话，这本书的阅读体验挺“烧脑”的，但绝对是值得投入精力的那种“烧脑”。这本书的特点是它的深度非常扎实，几乎没有敷衍的论述。对于每一个公式的推导，作者都提供了详尽的步骤和清晰的背景说明，这对于我这种喜欢刨根问底的读者来说简直是福音。我注意到，作者在介绍新概念时，经常会引用历史上的先驱工作，这使得整个数学分支的发展脉络清晰可见，让人感觉不是在读一本孤立的教科书，而是在跟随着数学思想的演变历程。其中关于边值问题和特征函数展开的部分，作者的论证过程严密得令人叹服，每一个逻辑跳跃点都有坚实的数学基础支撑。不过，对于完全的初学者来说，可能需要先具备一些基础的微积分和线性代数知识，不然可能会觉得有些吃力，需要多花时间去查阅辅助资料。

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**书评二** 我是在寻找一本能够系统梳理现代控制理论基础的资料时偶然接触到这本书的。这本书的编排结构非常有逻辑性，它似乎遵循着一个从宏观到微观，再到深入应用的递进思路。我得说，作者在概念的辨析上下了很大功夫，尤其是在处理那些容易混淆的术语时，他提供的区分标准非常精准和犀利。我翻阅了其中关于稳定性和反馈控制的那几个章节，发现作者不仅仅罗列了定理，更重要的是，他深入挖掘了这些定理背后的几何意义和物理直觉。这对我理解那些看似纯粹的代数推导，建立起直观认识起到了关键作用。有一处关于李雅普诺夫稳定性的讲解，作者用了一个非常巧妙的比喻，让我瞬间茅塞顿开，解决了困扰我许久的一个知识盲点。总的来说，对于有一定基础，想要深入钻研理论深层逻辑的读者来说，这本书的价值是毋庸置疑的。

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**书评四** 我主要是被这本书的实用性吸引的。我关注的领域涉及到大量的时变系统分析，而市面上很多教材对这方面的处理都比较简略。这本书却专门辟出很大篇幅来探讨随机过程对动态系统的影响，以及如何利用积分方程方法来求解复杂的初始值问题。作者在讲解算例时，总是能恰到好处地结合具体的工程背景，比如桥梁的振动分析，或者电路中的瞬态响应，这极大地提升了我的学习兴趣。我特别喜欢他处理边界条件和初始条件的那个章节，不同于其他书本的单线叙事，这里他对比了傅里叶方法和拉普拉斯变换方法的优缺点，并给出了在不同场景下的选择建议，这体现了作者深厚的实践功底。这本书不仅教会了我“怎么算”，更重要的是教会了我“为什么这么算”和“在什么时候应该用它”。

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