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出版者:第1版 (2002年12月1日)

作者:林群

出品人:

页数:304 页

译者:

出版时间:2002年12月1日

价格:16.00

装帧:平装

isbn号码:9787810289061

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 高等教育
• 大学教材
• 文科数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 统计学
• 数学分析
• 应用数学

图书简介：现代高等数学精要与应用 面向对象： 本书主要面向理工科、经济学、管理学等需要扎实数学基础的专业学生及相关领域的研究人员。它旨在提供一个全面、深入且注重应用的现代高等数学学习路径，强调概念的深刻理解与实际问题的解决能力。 全书结构与核心内容概述： 本书共分为五个主要部分，力求在理论的严谨性与应用的直观性之间取得完美的平衡。 --- 第一部分：微积分的深度探索与基础巩固（代数与极限的升华） 本部分将读者从传统微积分的初步概念中引向更具现代视角和严谨性的分析基础。我们不再仅仅停留在计算层面，而是深入探讨函数、序列和级数的收敛性与一致性。 第一章：实数系统与拓扑基础的重构。 彻底回顾实数系的完备性，引入 $epsilon - delta$ 语言的精确使用，并将其推广至度量空间的基本概念（开集、闭集、紧致性）。这为后续的极限与连续性概念的严格证明打下了坚实的分析基础。 第二章：极限、连续性与微分学的严谨化。 详细阐述一元函数和多元函数的极限理论，重点分析函数序列的逐点收敛与一致收敛的区别。在微分学部分，我们将重点讨论链式法则在多维空间中的几何意义，以及雅可比矩阵在局部坐标变换中的核心作用。首次引入变分法的初步思想——处理极值问题时，函数空间的选取至关重要。 第三章：积分理论的 Lebesgue 视角。 摒弃传统的黎曼积分的局限性，全面引入 Lebesgue 积分理论。我们将详细解释测度的概念，如何构造可测集和可测函数，并展示 Lebesgue 积分在处理不连续函数和无穷级数积分交换问题时的优越性。重点介绍法图勒引理（Fatou's Lemma）和占支配收敛定理（Dominated Convergence Theorem），这是现代分析学中最常用的工具。 --- 第二部分：多变量分析与场论的几何化（空间中的运动与作用） 本部分将分析工具从平面扩展至三维乃至更高维空间，侧重于矢量场、曲面和高维流形上的积分运算，为物理学和工程学中的实际问题提供数学框架。 第四章：多元函数的极值、泰勒展开与隐函数定理。 深入研究 Hessian 矩阵的性质，精确判定高维极值点。隐函数定理和反函数定理的几何直观解释及其在优化问题中的应用，如拉格朗日乘数法的高级形式。 第五章：微分形式与矢量分析。 这是本书的亮点之一，我们采用微分形式（Differential Forms）的语言来统一描述梯度、散度和旋度。通过引入 $k$ 阶微分形式，我们可以简洁地表达高维空间中的线积分、面积分和体积分。 第六章：斯托克斯（Stokes）定理的普适化。 从格林公式、高斯散度定理（Gauss's Theorem）和经典斯托克斯定理出发，归纳出广义的斯托克斯定理。该定理是连接边界与内部属性的桥梁，它揭示了微分代数结构与拓扑结构之间的深刻联系。 --- 第三部分：线性代数：结构与变换的抽象化（向量空间的内在美） 本部分的目标是超越矩阵的计算，深入理解向量空间、线性映射的本质，以及如何通过特征值和特征向量来剖析系统的动态行为。 第七章：向量空间与子空间的精确定义。 强调基、维数、直和分解的概念。详细讨论线性映射的核与像，并证明同构定理。 第八章：特征值理论与对角化。 除了常规的求法，本书重点分析谱理论，即矩阵如何通过相似变换分解为更简单的结构。引入 Jordan 标准形，用于处理不可对角化的情况，并解释其在常微分方程组解法中的实际意义。 第九章：内积空间与正交性。 引入内积的抽象概念，并重点讨论最小二乘法的理论基础。通过 Gram-Schmidt 正交化过程，构建正交基，这是傅里叶分析和函数逼近的基石。 第十-十章：二次型与矩阵分解。 深入探讨二次型与正定性。核心内容放在奇异值分解（SVD）上，解释 SVD 如何成为数据压缩、主成分分析（PCA）等现代数据科学技术背后的核心数学工具。 --- 第四部分：常微分方程：动态系统的建模与求解（时间依赖性的数学描述） 本部分专注于如何利用微分方程来描述自然界和工程系统中的变化过程，并掌握求解定性和定量解的方法。 第十一章：一阶 ODE 的定性分析。 不仅求解可分离、恰当方程，更侧重于相平面分析，包括奇点的分类（鞍点、节点、焦点、中心）和相轨线的稳定性分析。 第十二章：线性常系数高阶 ODE。 采用指数映射和矩阵指数 $e^{At}$ 的方法统一求解常系数线性系统，这直接承接了第三部分的线性代数知识，使得理论体系更加统一。 第十三章：边值问题与傅里叶级数。 引入偏微分方程的预备知识——分离变量法，重点讲解傅里叶级数和傅里叶积分的收敛性，及其在求解热传导和波动方程中的应用。 --- 第五部分：概率论与数理统计的量化思维（不确定性下的决策） 本部分将数学工具应用于处理随机现象和不确定性，是金融工程、风险管理和机器学习的基础。 第十四章：概率论基础与随机变量。 从公理化角度建立概率空间，重点区分离散和连续随机变量的分布。深入探讨随机变量的期望、方差及其在高阶矩中的应用。切比雪夫不等式和强大数定律的严格证明。 第十五章：随机向量与极限定理。 重点研究多维随机变量的联合分布、条件期望，并严格证明中心极限定理（CLT），这是统计推断的理论支柱。 第十六章：数理统计推断。 讲解参数估计的方法（矩估计法、最大似然估计法），并深入探讨假设检验的基本框架（P 值、显著性水平）。 --- 本书特色总结： 1. 理论与实践并重： 每一个核心定理的引入，都伴随着至少两个精心挑选的实际应用案例，涵盖物理、工程、经济建模等领域。 2. 现代分析视角： 全面采用 Lebesgue 积分、微分形式等现代数学工具，为读者未来深入学习泛函分析、拓扑学等打下坚实基础。 3. 强调几何直观： 尤其在多变量微积分和线性代数部分，配有大量几何解释和可视化辅助，帮助读者建立对抽象概念的空间感。 4. 严谨的证明体系： 虽注重应用，但所有关键结论均提供清晰、完整的数学证明，培养读者的逻辑推理能力。 本书的目标是培养出不仅能“使用”数学公式，更能“理解”数学原理和“构建”数学模型的未来专业人才。

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这本书的覆盖面广得有点出乎我的意料，但神奇的是，它并没有因此显得零散。作者似乎对文科生需要掌握的数学知识点有着精准的把握。从基础的集合论、函数，到线性代数中关于矩阵和向量的最核心应用，再到微积分里有关变化率和优化的思想，它都给出了一个清晰的脉络。我尤其欣赏它对逻辑推理部分的强调。在很多社会科学研究中，严密的逻辑链条比精密的计算更重要，而这本书恰恰在讲解数学证明时，非常注重逻辑的推导过程，教会我们如何像数学家一样去构建论证。它没有深入到那些晦涩的高阶理论，而是精选了那些最能体现数学美感和实用价值的部分。读完之后，我感觉自己看问题的角度都变得更客观、更理性了，不再轻易被表面的现象所迷惑，这对我后续的学术研究帮助巨大，可以说是“授人以渔”的典范。

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坦白讲，我平时非常讨厌那种“大部头”的教科书，又重又厚，带着强烈的专业气息。这本《大学文科数学》在物理形态上就显得很亲切。它的开本适中，纸张质量也很好，拿在手里有种阅读经典著作的感觉，而不是那种冰冷的教辅资料。内容编排上，它的章节划分非常清晰，每一小节都有明确的学习目标，读完一个单元后，总能清晰地知道自己掌握了什么。而且，书中给出的案例，很多都和经济学、管理学甚至艺术欣赏有关联，比如用矩阵来分析资源分配，用导数来寻找最优决策点。这让我强烈地感受到，数学并不是孤立的学科，它是渗透在各个领域的基础工具。这种跨学科的视角，极大地提升了我对学习数学的内在驱动力，不再是为了应付考试，而是为了更好地理解我所处的世界。

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我得说，这本书的难度设置实在是太贴合非数学专业学生的需求了。我之前选修过一门类似的通识课，那本教材简直是灾难，定义晦涩难懂，例题步骤跳得让人摸不着头脑。相比之下，这本《大学文科数学》就像黑暗中的一盏明灯。它非常注重数学思维的培养，而不是死记硬背公式。每一章的开始，作者都会提出一个现实世界中的问题，然后引导我们思考，需要借助哪种数学工具才能解决它。最让我印象深刻的是它对“建模”的讲解，虽然只是基础入门级别，但它让我明白了数学在社会科学、经济学中是如何作为一种严谨的分析框架存在的。书中的习题设计也十分巧妙，大部分都不是那种纯粹的数值计算，而是考察对概念的理解和应用。即使是计算量稍大的题目，也配有详细的解题步骤解析，完全没有那种“你得自己想明白”的傲慢感，取而代之的是一种耐心的引导，这对于我这种需要反复确认自己理解是否正确的学习者来说，简直是太友好了。

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我最大的收获是建立了一种“数学自信”。过去，我总觉得文科生就该远离数学，觉得自己天生缺乏那根“逻辑筋”。但这本书的作者似乎深知这一点，他使用的所有例子和类比都非常接地气，几乎没有生僻的术语。他很擅长把一个抽象的数学概念，用一个非常直观的物理模型或生活场景来解释清楚，让你在恍然大悟的那一刻，产生一种“原来如此简单”的顿悟感。这种不断被肯定的学习体验，极大地修复了我对数学的负面情绪。到最后几章，即便是涉及到一些基础的极限和收敛概念，我也能跟上节奏，并且能够主动去思考它们在实际应用中的意义。这本书真的做到了普及数学的普世价值，让我们这些非理工科背景的人，也能跨越那道心理上的鸿沟，接触到数学思维的精髓。

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这本书简直是为我这种对数学望而生畏的文科生量身定做的。拿到手的时候，我还有点担心，毕竟“大学数学”这几个字就足以让人打退堂鼓。但翻开第一页，我就被作者那种循循善诱的笔触吸引住了。他不像那些传统的数学教材，上来就是一堆冷冰冰的公式和定理，而是用一种非常生活化的语言，把那些看似复杂的概念掰开了、揉碎了，用我能理解的方式讲出来。比如讲到概率论，他不是直接抛出复杂的概率公式，而是通过几个有趣的日常情景模拟，让我真切地感受到为什么需要这些数学工具。整本书的排版也做得非常舒服，没有密密麻麻的文字，留白很多，关键的公式和例子都会被特别突出出来，让人在阅读过程中不会感到视觉疲劳。而且，书里穿插了不少历史典故，让我知道了这些数学分支是如何发展起来的，这不仅仅是学知识，更像是在阅读一部数学发展史，大大激发了我学习的兴趣。这种“润物细无声”的教学方式，真的让我这个“数学绝缘体”都开始觉得数学其实挺有趣的。

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