数学 第三册 选修Ⅰ教案 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:东北朝鲜民族教育出版社

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页数:0

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出版时间:1900-01-01

价格:8.0

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isbn号码:9787543747951

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《高等代数基础》 图书简介 一、 本书概述与定位 《高等代数基础》是一本专为高等院校数学专业本科生、师范类专业学生，以及对代数结构有深入研究兴趣的自学者精心编写的教材。本书立足于经典代数理论，旨在系统、严谨地构建起读者对现代代数体系的认知框架。我们摒弃了传统教材中过于侧重计算而轻视概念的弊病，强调从公理化、结构化的角度理解代数对象，为后续深入学习抽象代数、代数几何、代数拓扑等前沿课程奠定坚实的理论基础。 全书内容组织遵循“由浅入深、螺旋上升”的原则，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾初学者的接受难度。我们力求用清晰的逻辑链条串联起核心概念，并通过大量的例子和对比分析，帮助读者真正掌握代数的精髓——结构与对称性。 二、 核心内容板块深度解析 本书内容共分为六大部分，每一部分都代表了高等代数学习中的一个关键里程碑： 第一部分：群论基础 (Group Theory Fundamentals) 本部分是全书的逻辑起点，重点介绍代数结构中最基础、最重要的概念——群。 1. 集合与映射回顾： 在正式引入群之前，我们对集合的等价关系、划分、函数（映射）的性质（单射、满射、双射）进行系统回顾和深化，为群的定义提供必要的预备知识。 2. 群的定义与基本性质： 详细阐述群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并引入半群、独异点等相关概念进行对比辨析。 3. 子群与陪集： 深入探讨子群的判别定理，以及陪集的定义、性质和拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的证明及其重要推论，特别是阶的概念。 4. 正规子群与商群： 这是理解代数结构“分解”的关键。我们详细论述正规子群的等价条件，并构建商群（Factor Group/Quotient Group）的运算，展示如何通过模去一个正规子群来“简化”原有的群结构。 5. 同态与同构： 引入群同态和同构的概念，这是研究代数结构之间关系的桥梁。详细阐述第一同构定理（First Isomorphism Theorem）及其在分类有限群中的作用。 6. 有限群的结构： 介绍西洛定理（Sylow Theorems）的核心思想和主要结论，虽然不进行过于繁琐的证明，但会强调其在判断群结构中不可或缺的地位。 第二部分：环与域 (Rings and Fields) 在群论的基础上，本部分引入第二个、更复杂的代数结构——环，以及在特定条件下形成的域。 1. 环的定义与基本性质： 阐述环的定义，区分交换环与非交换环、单位环。重点讨论加法子群、零因子等概念。 2. 特殊子环与理想： 学习理想（Ideal）的定义，理解理想在环中的地位相当于正规子群在群中的地位。详细讨论主理想、极大理想和素理想的概念及其相互关系。 3. 商环与同态： 建立环的同态定理，特别是第一同构定理在环上的推广。 4. 整环与域： 引入整环（Integral Domain）的概念，并强调域（Field）是满足除法运算的特殊环。讨论域的构造，如构造有理数域 $mathbb{Q}$ 和有限域的初步概念。 第三部分：多项式环与唯一分解 (Polynomial Rings and Factorization) 本部分将代数结构的应用聚焦于多项式的世界，这是连接抽象代数与初等代数运算的关键环节。 1. 多项式环 $F[x]$ 的结构： 考察域 $F$ 上的多项式环，证明其具有欧几里得整环的性质，从而具有唯一分解整环（UFD）的性质。 2. 多项式的根与因式分解： 深入分析多项式有理根定理、重根判别法。 3. 高斯引理与不可约性： 介绍高斯引理，并探讨如何在有理数域 $mathbb{Q}$ 上判断多项式是否不可约。 4. 环的构造： 学习如何利用多项式环构造新的域，例如构造有限域 $mathbb{F}_p[x] / langle p(x) angle$ 的基本思想。 第四部分：线性代数核心回顾与深化 虽然线性代数是独立学科，但本部分选取了高等代数中对结构理解至关重要的线性代数概念进行回顾与深化，特别是从抽象向量空间的视角出发。 1. 向量空间与子空间（结构视角）： 强调向量空间是一个“阿贝尔群”并带有“标量乘法”的结构。 2. 线性映射与同态： 将线性映射视为向量空间的同态，重申核空间（Kernel）和像空间（Image）的结构性质。 3. 特征值与特征向量的意义： 从变换的角度理解特征值的几何和结构意义，而非仅仅是求解过程。 第五部分：模论基础 (Introduction to Modules) 模论被誉为“向量空间的推广”，是现代代数中连接环与群理论的重要桥梁。 1. 模的定义： 将向量空间中的“标量”从域推广到环，定义左模和右模。 2. 子模、模同态与同构定理： 将群和环中的同态、同构定理直接推广到模的框架下，展示抽象代数结构的普适性。 3. 自由模与秩： 初步探讨自由模的概念，并理解其与向量空间基底的联系。 第六部分：伽罗瓦理论的引入 (Prelude to Galois Theory) 本部分作为全书的总结和展望，引导读者进入抽象代数的顶峰——伽罗瓦理论。 1. 域扩张与代数元： 定义域扩张 $ ext{L/K}$，介绍代数元和超越元。 2. 最小多项式： 讲解最小多项式的唯一性与性质，它是连接域扩张与多项式环的纽带。 3. 伽罗瓦群的初步概念： 介绍域扩张的自同构群，初步理解伽罗瓦理论的核心思想：通过研究域扩张的对称性（伽罗瓦群）来解决多项式方程的可解性问题。 三、 教材特色与教学方法 1. 公理化精神： 全书严格遵循公理化方法，强调“为什么”，而非仅仅“是什么”。 2. 结构对比法： 频繁使用群、环、域、模之间的类比和对比，帮助读者在不同结构间建立稳固的认知联系。 3. 例题精选： 精选了大量具有代表性的例子，覆盖有限群、多项式环、矩阵环等多个领域，并包含一些经典的“反例”以加深对定义的理解。 4. 思考题设计： 课后习题分为三类：基础巩固型、概念深化型和探究拓展型，后者旨在引导优秀学生进行初步的数学研究。 四、 适用对象 本书是数学专业本科生“高等代数”课程的标准教材，尤其适合需要为后续“抽象代数”、“拓扑学”、“数论”等专业课程打下坚实基础的学生使用。非数学专业但需要深入了解代数思维的学生，如计算机科学（密码学、形式化验证）、物理学（群表示论）等领域的进阶学习者，也可将本书作为自学的高质量参考资料。

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翻开这本书，首先映入眼帘的是那种带着岁月痕迹的、对于教育事业的热忱所打磨出的文字质感。它不像市面上那些浮夸的培训资料那样追求速度与捷径，反而透露出一种慢工出细活的匠人精神。我留意到，在每一个章节的开篇，作者似乎都花费了大量的笔墨来阐述“为什么学这个”以及“它在整个数学体系中的位置”，这种宏观的视角构建，对于培养学生的数学视野至关重要。它不是简单地告诉我们“怎么做”，而是深入地剖析了“为什么这样做是最好的方式”。特别是对于选修模块的内容，其抽象性和与实际应用的脱节往往是教学的痛点，这本书如果能提供丰富的、与社会发展紧密结合的实例，让枯燥的公式和定理“活”起来，那就成功了一大半。我非常欣赏那些在教案中穿插了历史背景介绍的段落，它们让冰冷的概念充满了人文色彩，也更容易被学生接受和记忆。

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阅读过程中，我感受到了作者对于数学学科本质理解的深度，这不仅仅是知识点的传授，更是一种思维方式的塑造。选修课程往往涉及到更高阶的逻辑推理和抽象建模能力。我仔细研究了其中对几何证明或函数图像分析的教案设计，它们是否鼓励学生从多个角度进行论证？是否引导学生主动发现结论，而非被动接受？特别是对于一些逻辑链条特别长的证明题，作者是否提供了清晰的“逻辑脚手架”，帮助学生一步步搭建起完整的推理大厦，而不是仅仅给出最终的证明过程？如果教案中能强调“错误分析”的重要性，即系统地梳理学生在解题过程中可能出现的思维误区及其背后的深层原因，那么这本书就不仅仅是教导“如何教对”，更是教会了“如何应对教错”。这种对教学风险的提前规避，是经验的积累，也是专业性的体现。

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这本《数学 第三册 选修Ⅰ教案》的书名本身就给我一种严谨、专业的印象，它似乎指向了高中阶段数学学习中一个特定且深入的模块。作为一名长期关注基础教育改革的阅读者，我特别留意那些真正能为一线教师提供实质性帮助的材料。我期待在这本书中看到，不仅仅是对教材知识点的简单罗列或习题的机械化拆解，而是真正体现了“教案”二字的精髓——即如何将抽象的数学概念，以一种清晰、有效且富有启发性的方式传递给不同层次的学生。优秀的教案应该包含清晰的教学目标设定，对学生原有知识基础的精准预估，以及针对性地设计出能够引发深度思考的教学活动。我尤其关注它在处理那些被普遍认为是教学难点的章节时，是否提供了创新的情境导入或富有洞察力的解题思路引导。如果这本书能够巧妙地结合最新的教育理念，比如探究式学习、问题驱动式教学，并为教师提供详尽的课堂组织流程、时间分配建议，甚至包括对常见学生误区的预警与对策，那它无疑就是一本极具价值的工具书。

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这本书的排版和结构设计，透露出它服务于实际操作的实用主义倾向。那些被清晰划分出来的“教学环节”、“活动设计”、“评价建议”等模块，体现了作者对课堂节奏把控的精准拿捏。我特别关注了其中关于“差异化教学”的部分，毕竟同一个班级里学生的学习能力和接受速度天差地别。一本好的教案绝不应该是一刀切的，它必须包含面向学困生的基础巩固方案，同时也得有能挑战优等生的拓展深化任务。如果这本书能提供一些具体的、可操作的备用方案——比如当学生对某个知识点的反应不如预期时，可以立即切换的A计划或B计划，那么它的实用价值将是无可估量的。这种“预见性”和“灵活性”，才是衡量一套教学资源是否成熟的重要标准。我希望看到的是能够激发教师自主创新，而不是限制教师思维的教学蓝图。

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总而言之，从这本书散发出的气息来看，它似乎是一份深思熟虑的教学结晶，而非仓促拼凑的资料集。它让人联想到一个充满激情和智慧的教育者，花费了大量心血去打磨每一个细节，力求将自己的教学心得转化为可复制、可借鉴的教学范式。这本书的价值，不在于它提供了多少标准答案，而在于它能否在“教”与“学”之间架起一座坚实而美观的桥梁。我期待它能成为广大数学教师在面对新课标、新教材挑战时，能够信赖和依赖的“定海神针”。它应该能给予教师足够的底气去驾驭课堂，让数学学习过程本身，成为一场充满发现和乐趣的智力探险，而不是一场枯燥乏味的知识灌输。这种对教学艺术的追求，是任何一本优秀教案都应具备的灵魂所在。

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