具体描述
中学生基础知识丛书。
本丛书是一套可以长置案头、随手查阅、配合教材、升学必备的综合用书。是教师教学参考、家长辅导、学生学习的最好帮手。“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”，时光飞逝，学生常新，但教材和考题万变不离基础知识。
《高等代数精讲与习题解析》 内容提要： 本书系统、深入地讲解了高等代数的核心概念、基本理论及其在数学与其他学科中的应用。全书结构清晰，逻辑严谨，旨在帮助读者建立扎实的代数思维框架，提高抽象问题的分析和解决能力。全书内容覆盖了矩阵理论、线性空间、特征值理论、二次型以及多项式理论等高等代数的核心板块，并通过大量的例题和精选的习题，实现理论与实践的完美结合。 第一章 矩阵与初等变换 本章从矩阵的定义和运算入手，详述了矩阵的加法、乘法、转置、求逆等基本操作。重点剖析了矩阵的秩、初等矩阵以及初等行（列）变换的性质及其对矩阵结构的影响。我们详细阐述了利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形、简化行阶梯形（RREF）的过程，并据此方法求解线性方程组的理论依据和实际步骤。本章深入探讨了矩阵乘积的秩性质，并对满秩矩阵的判定条件进行了严谨的证明。此外，本章还引入了分块矩阵的概念及其运算规则，为后续学习更复杂的结构打下基础。 第二章 线性方程组的理论 线性方程组的求解是高等代数的核心应用之一。本章首先介绍了线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，并基于高斯消元法和行阶梯形理论，系统地阐述了线性方程组的相容性判定（行秩定理）和通解的结构。我们详尽分析了齐次线性方程组的基础解系和通解空间的构建方法，明确了自由变量和基本变量之间的关系。针对非齐次线性方程组，本章给出了其解集与对应齐次方程组解集的关系，并强调了求解过程的每一步骤的数学依据。对线性方程组解的唯一性、存在性条件的讨论，贯穿了本章的始终。 第三章 线性空间（向量空间） 本章将代数研究的范围从具体的向量集扩展到更抽象的向量空间。我们从域的定义出发，系统地引入了线性空间的公理体系，包括加法和标量乘法的封闭性、结合律、分配律等。重点讲解了线性相关性与线性无关性的概念，并给出了判别方法。本章的核心内容是基与维数。我们通过对比有限维空间和无限维空间（如函数空间），阐释了基的唯一性和维数的确定性。还详细讨论了子空间、子空间的和与交的性质，特别是对维数公式的深入剖析。本章内容为理解后续的线性变换和特征值问题提供了必不可少的理论支撑。 第四章 线性变换与线性映射 本章将抽象的向量空间建立起了联系。线性变换被定义为保持向量空间结构（加法和标量乘法）的映射。我们从线性变换的核（Kernel）和像（Image）两个核心概念入手，详细阐述了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的深刻内涵。在线性空间 V 到 W 的所有线性变换构成的集合中，我们探讨了其构成一个线性空间的事实。更重要的是，本章建立了线性变换与其对应的矩阵表示之间的桥梁。对于给定的一对基，线性变换可以被一个唯一的矩阵所代表，而矩阵的乘法运算对应着线性变换的复合运算。我们还讨论了线性变换的可逆性与矩阵可逆性的等价关系。 第五章 行列式理论 行列式是衡量方阵特性的一个重要标量。本章首先从二阶、三阶行列式的具体计算入手，归纳出 $n$ 阶行列式的莱布尼茨公式和拉普拉斯展开定理。我们详细分析了行列式性质，例如行（列）互换、倍加、倍乘对行列式值的影响，并证明了 $det(AB) = det(A)det(B)$ 这一乘法性质。本章的另一重要部分是利用行列式求解线性方程组的克拉默法则（Cramer's Rule）及其适用条件。我们还探讨了伴随矩阵的概念及其与逆矩阵的关系，从而提供了另一种求逆矩阵的方法。 第六章 特征值与特征向量 本章是矩阵理论的高级阶段。特征值和特征向量描述了线性变换在特定方向上的伸缩特性。我们从特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 出发，系统地讲解了如何求出矩阵的特征值（即特征多项式的根）。随后，我们讨论了特征向量的求解过程，即求解齐次方程组 $(A - lambda I)x = 0$ 的非零解。本章深入讨论了特征值的代数重数和几何重数，并给出了可对角化矩阵的充要条件——即存在一组基由特征向量构成。我们还引入了相似矩阵的概念，证明了相似矩阵具有相同的特征值、迹和行列式。 第七章 对角化理论与相似标准形 本章建立在线性变换特征值分析的基础上，聚焦于如何简化矩阵表示。我们详细阐述了实对称矩阵的谱分解定理，证明了对称矩阵一定可以正交对角化，并讲解了如何通过正交变换找到标准正交基。对于一般矩阵，我们探讨了如何通过相似变换将矩阵转化为 Jordan 标准形（Jordan Canonical Form），即使矩阵不可对角化。Jordan 标准形的结构为研究矩阵的函数和微分方程的应用奠定了基础。 第八章 二次型与欧几里得空间 二次型是变量的二次齐次多项式，其在几何和物理学中有广泛应用。本章首先将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式，其中 $A$ 是一个实对称矩阵。我们利用对角化理论，证明了任何二次型都可以通过一个非奇异线性变换转化为标准形 $lambda_1 y_1^2 + lambda_2 y_2^2 + cdots$。本章的核心是正定性的判定。我们讲解了基于特征值（所有特征值均为正）和基于主子式（Sylvester 定理）的判定方法。此外，本章还引入了欧几里得空间的概念，讨论了内积、范数以及施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，使得向量空间具备了长度和角度的度量概念。 第九章 多项式理论基础 虽然多项式在代数预备知识中已有所接触，本章将其提升到更严谨的层次。我们讨论了域上多项式的环结构，包括多项式的带余除法、最大公因式（GCD）的求解（扩展欧几里得算法），以及多项式的唯一分解定理。本章重点讲解了根的概念，包括根的重数。我们还讨论了有理根定理和多项式的有理根与实根的关系，这些理论为后续计算特征值时分解特征多项式提供了工具。 本书特色： 1. 理论深度与广度兼顾： 内容覆盖了标准高等代数教材的所有关键知识点，并对一些抽象概念进行了详尽的代数拓扑解释。 2. 严谨的逻辑推导： 所有定理的证明过程都力求完整和清晰，注重逻辑链条的完整性，而非仅罗列公式。 3. 丰富的例题剖析： 包含数百个精心挑选的例题，这些例题覆盖了从基础计算到复杂理论应用的各个层面，详细展示了从问题识别到应用定理，直至最终得出结论的完整解题思维过程。 4. 综合性习题设计： 习题分为基础巩固、能力提升和综合应用三类，旨在全面检验读者对知识的掌握程度，并培养其抽象思维的灵活性。 目标读者： 本书适合于数学、物理、工程、计算机科学以及经济管理等专业中，需要系统学习或深入掌握高等代数理论的本科生、研究生，以及准备参加相关专业考试（如数学专业考研、出国留学考试）的自学者。具备高中数学基础知识（包括函数、向量基础概念）即可开始学习。
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