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出版者:人民大学

作者:郑昌明

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2002-7-1

价格:29.00

装帧:平装（带盘）

isbn号码:9787300042725

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 数学
• 高等教育
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• 工程数学
• 科学计算
• 矩阵
• 向量
• 数值分析
• 应用数学

空间之舞：高维几何与代数结构解析 第一章：基础概念的重新审视 本卷聚焦于线性代数在现代科学与工程领域中的应用基石，旨在通过更直观的几何视角，深化读者对向量空间、线性映射和基底变换的理解。我们首先从欧几里得空间出发，引入线性组合、跨度和线性无关性的严格定义。不同于传统的代数推导，本章将大量使用三维及四维空间的直观模型，辅以高维空间的抽象推理，阐述如何通过基底的选择来简化对特定线性变换的描述。 向量空间：不仅仅是箭头 向量空间并非仅仅是点的集合，而是具有内在代数结构的实体。我们将详细探讨域的性质（实数域$mathbb{R}$与复数域$mathbb{C}$）如何影响空间的拓扑和解析特性。对于无穷维空间（如函数空间），我们将引入范数和内积的概念，为后续的泛函分析打下坚实基础，重点讨论$L^p$空间的基本性质及其在傅里叶分析中的作用。 线性映射：形态的转换 线性映射是连接不同向量空间的桥梁。本书着重分析线性映射的核（Null Space）与像（Range Space）之间的关系，强调秩-零化度定理的几何意义：即变换如何压缩或拉伸空间。在矩阵表示部分，我们将超越简单的乘法运算，深入探讨矩阵的相似性概念，解释为何相似矩阵代表同一线性变换在不同基底下的表现形式。 第二章：矩阵的深度剖析——结构与分解 矩阵是线性代数的语言，但其表面形式往往掩盖了其内在的结构。本章致力于揭示矩阵分解的强大威力。 行列式：空间的尺度因子 行列式的几何意义被置于核心地位。它代表了基底向量在经过线性变换后所形成的超体积的定向缩放因子。我们将详细推导行列式的乘法性质，并探讨其在判断矩阵可逆性、以及在多重积分变量替换（雅可比行列式）中的关键作用。 特征值与特征向量：不变的方向 特征值问题是理解动态系统稳定性的关键。本章将从微分方程的角度引入特征值的物理意义——系统的固有频率或增长率。我们不仅会教授如何计算特征值（通过特征方程），更重要的是，深入探讨特征子空间的几何意义：它们是变换下保持方向不变的特定方向。对于非对称矩阵，我们将讨论若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的必要性，以此处理特征子空间维度不足的情况，展示如何精确描述“最接近”对角化的结构。 正交性与最小二乘法：最优近似的艺术 在不完美的观测世界中，精确解往往不存在。本章将引入内积空间中的正交性概念，强调正交基在计算上的优越性——简化投影和最小化误差。我们将详细推导QR分解和奇异值分解（SVD）。SVD作为最强大的矩阵分解工具之一，将被视为连接多维数据降维（如主成分分析PCA）、图像压缩和伪逆计算的统一框架，展现其在信息论和数据科学中的核心地位。 第三章：二次型与几何结构 本章将从代数的角度重构几何。二次型是二次多项式的泛化，它们描述了二次曲面（如椭圆、双曲面）的形状。 二次型的规范化 通过正交相似变换，任何实对称二次型都可以被对角化，这意味着我们可以通过旋转坐标系来消除交叉项，从而识别出二次曲面的主轴。我们将利用特征值分解来确定二次型的正定性、半正定性或不定性，这在优化问题（如Hessian矩阵的分析）中至关重要。 正交变换与刚体运动 正交矩阵代表了保持长度和角度不变的变换，即旋转与反射。本章将分析正交矩阵的性质，特别是其特征值只能是模长为1的复数。通过欧拉角等概念，我们将线性代数与刚体动力学中的实际旋转问题联系起来。 第四章：线性代数在现代计算中的延伸 线性代数已经渗透到计算的各个角落，本章将探讨其在数值稳定性和迭代方法中的体现。 数值稳定性与条件数 在计算机浮点运算的限制下，线性系统的解可能非常敏感。我们将定义矩阵的条件数，解释它如何量化对输入误差的敏感程度。对于病态矩阵（Ill-conditioned matrices），本书将讨论正则化方法，例如Tikhonov正则化，如何通过在解空间中引入先验知识来获得稳定且有意义的近似解。 迭代求解器 对于大型稀疏系统（如有限元分析或网络模型），直接求解昂贵且低效。本章将介绍Krylov子空间方法，如雅可比法、高斯-赛德尔法及其在现代计算中更高效的迭代变体，如共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）和广义最小残量法（GMRES），强调这些方法如何通过构建最优子空间来逼近真实解。 第五章：张量空间的概念引入 本书的最后部分将视角从向量和矩阵提升到张量——高阶数组。张量是多重线性映射的推广，它们是理解复杂多物理场耦合问题的基础。我们将简要介绍张量的定义、收缩运算（Contraction）以及低秩张量分解（如Tucker分解和CP分解）在多维数据分析和信号处理中的初步应用，预示着更高阶代数结构的研究方向。

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阅读体验上，这本书给我一种沉静而又充满力量的感觉，它没有采用那种夸张的、试图用花哨的语言来吸引眼球的风格，而是以一种近乎于苏格拉底式的提问方式，引导读者进行严密的逻辑推演。作者在处理定理的陈述和证明时，保持了极高的逻辑纯净度，证明的每一步都如同精密的机械咬合，环环相扣，没有丝毫多余的赘述。它强调的是“为什么”这个结论是正确的，而不是仅仅“它是什么”。例如，在证明某种矩阵具有正交对角化性质时，作者细致地展示了如何从特征向量的性质出发，通过施密特正交化过程，自然而然地导向了对角化的结论，整个论证过程的逻辑链条清晰可见，让人在阅读时有一种茅塞顿开的豁然开朗之感。这种对逻辑严密性的执着追求，使得这本书不仅是知识的载体，更是一堂关于如何进行严谨数学思考的绝佳训练课。

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我是一位刚接触高等数学不久的工程专业的学生，说实话，面对线性代数这种需要大量抽象思维训练的学科，我常常感到力不从心。然而，这本书的叙述风格却出乎意料地平易近人，它仿佛有一位耐心且经验丰富的导师在旁边细心地引导。作者在引入新概念时，总是先从一个具体的、生活中的实际问题或者一个经典的物理模型入手，让我们看到“为什么要学这个”，而不是冷冰冰地下定义。例如，在讲解高斯消元法时，它会先展示如何用它来求解一个简单的电路平衡方程组，这种情境化的引入极大地激发了我的学习兴趣。更重要的是，作者在解释每一步推导的逻辑时，都保持了极度的清晰和连贯性，很少出现“显然地”、“显然可得”这种让人摸不着头脑的跳跃式结论。每当涉及到需要深入思考的关键步骤，作者都会用一个醒目的提示框来强调其重要性，并提供一个简短的“思考题”，引导我们主动去填补逻辑上的空白，这种互动式的设计，让阅读过程充满了探索的乐趣。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面采用了一种低调而又不失质感的深蓝色，配上简洁的银色字体，拿在手里沉甸甸的，透着一股专业气息。内页纸张的质量也相当不错，触感光滑，印刷清晰锐利，即使长时间阅读也不会感到刺眼。更值得称赞的是它的排版布局，每一页的空间分配都十分合理，公式和文字之间留有足够的空白，使得复杂的数学表达看起来井井有条，而不是一团乱麻。作者在符号的使用上也体现了极高的严谨性，每一个希腊字母、每一个下标上标都精准无误，这对于我们这些需要反复查阅和验证的读者来说，无疑是极大的便利。整体而言，光是这本教材的外在呈现，就足以让人感受到编撰者对知识传播这份事业的尊重与用心，它不仅仅是一本工具书，更像是一件精心制作的工艺品，让人愿意时常翻阅和把玩。 初次接触这种类型的数学书籍，我最担心的就是图例的缺失或者过于抽象，但是这本书在这方面做得非常出色。它没有仅仅停留在纯粹的符号推导上，而是巧妙地穿插了大量的几何直观解释，比如在讲解特征值和特征向量时，作者不仅仅给出了代数定义，还配以精妙的二维和三维空间变换的动态想象图示，这极大地帮助我构建了感性的理解。当我看到矩阵乘法被解释成一系列的线性变换操作时，那些原本晦涩难懂的行列式运算突然间变得“有血有肉”起来。作者似乎深谙“一图胜千言”的道理，即便是最抽象的向量空间投影，也能通过清晰的图形辅助理解其几何意义。这种将理论与直觉完美结合的处理方式，无疑是提升学习效率的关键。

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这本书的习题设计绝对是其最大的亮点之一，它们的设计层次感把握得极其精准。基础的练习题旨在巩固对基本定义的理解，数量适中，重在夯实基础。而穿插其中的“进阶挑战”和“理论探究”部分，则完全是将读者的思维从计算层面提升到抽象证明的层次。我特别欣赏那些需要综合运用多个章节知识才能解开的综合题，它们往往设置了一个巧妙的陷阱或一个非常规的视角，迫使你不能死记硬背公式，而是要真正理解背后的数学原理。例如，有一道关于秩的习题，要求证明两个不同构造的矩阵具有相同的秩，这需要你灵活运用秩的定义、行空间的维度以及转置矩阵的性质，解答过程极富启发性。而且，书后附带的解答部分不仅仅是给出了最终答案，很多难题还提供了详细的解题思路剖析，这种良心配置，让它完全可以作为一本自学辅导材料使用，你总能在尝试失败后找到正确的方向感。

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作为一名在职的工程师，我这次拾起线性代数是为了应对工作中遇到的数据分析需求，时间对我来说是极其宝贵的。我需要一本能够快速切入重点、高效提炼核心算法的书籍。这本书的结构安排充分体现了对实用主义的尊重。它没有花大量篇幅去探讨过于深奥的拓扑学或泛函分析的边缘话题，而是将笔墨集中在了那些在数值计算、机器学习和信号处理中频繁出现的核心工具上，比如矩阵分解（SVD、LU、QR）和最小二乘法。作者在讲解这些算法时，不仅仅停留在公式的展示，更重要的是，它深入剖析了这些分解在实际应用中的鲁棒性、计算复杂度和数值稳定性等工程层面的考量。每当介绍完一个分解方法，紧接着就会有一个专门的小节讨论其在特定应用场景下的“优缺点分析”，这对于我这种直接面向应用的读者来说，简直是雪中送炭，省去了我自己去对比不同方法的成本。

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