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出版者:东南大学出版社

作者:孙志忠

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:2004-7-1

价格:18.00元

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787810896290

丛书系列:

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《高等数学：核心概念精讲与经典例题剖析》 本书特色与定位 本书旨在为学习高等数学的本科生、研究生及自学者提供一本全面、深入且兼具实践指导意义的参考教材。我们深知高等数学作为理工科专业基石课程的重要性，其理论的严谨性与应用的广泛性对学习者提出了较高的要求。因此，《高等数学：核心概念精讲与经典例题剖析》并非简单地罗列公式或堆砌习题，而是致力于构建一个清晰的知识脉络，帮助读者真正理解数学思想，掌握解决问题的有效策略。 全书内容涵盖了高等数学的函数与极限、导数与微分、积分学三大核心板块，并辅以必要的级数知识。我们力求在保持数学严谨性的同时，最大化内容的易读性和启发性。 --- 第一部分：函数、极限与连续性——奠定分析基础 本部分是整个高等数学体系的起点。我们投入大量篇幅，以构建坚实的理论基础为目标。 1.1 函数的基本性质与几何背景 不同于许多教材直接跳入定义，本书首先从函数的模型构建角度切入，阐述函数在描述自然现象和社会规律中的核心作用。内容详述了函数的定义域、值域的确定方法，特别是对初等函数（多项式、有理函数、指数、对数及三角函数）的图像特征、周期性、奇偶性、单调性、有界性进行了细致的图像分析和代数证明。特别关注了反函数的存在性判别及其求法，结合几何意义深入剖析了复合函数的构造原理。 1.2 极限理论的精微解析 极限是微积分的灵魂。本书对极限的引入采取“直觉引导—严格定义—性质推导”的路径。 数列极限： 详细阐述 $epsilon-N$ 语言的构造逻辑，通过具体实例（如等比数列、调和数列）展示极限的严谨证明过程。 函数极限： 深入剖析 $x o x_0$ 和 $x o infty$ 两种情况下的 $epsilon-delta$ 语言的运用。我们精选了大量“障眼法”极限问题（如涉及根式、指数、对数的形式），提供系统性的等价无穷小替换法和洛必达法则的适用条件与技巧总结，强调对洛必达法则滥用的警示。 连续性： 在极限的基础上，系统阐述函数在一点的连续性定义，并深入探讨闭区间上连续函数的性质（如有界性、最值定理、介值定理）。这些定理的证明不仅展示了数学的严密性，也为后续定积分的理论奠定了基础。 --- 第二部分：导数与微分——瞬时变化率的度量 本部分聚焦于“变化”的数学描述，是微积分应用最为广泛的领域之一。 2.1 导数的概念、几何意义与运算 本书首先从切线斜率和瞬时速度的实际背景引入导数的定义。在运算方面，详尽梳理了四则运算求导法则和复合函数求导法则（链式法则），并特别增设了关于隐函数求导和参数方程求导的专题解析，提供了大量的分步推导过程，确保读者能准确处理复杂函数的导数计算。 2.2 高阶导数与微分 高阶导数的概念及其在曲率、加速度等物理量上的应用被清晰阐述。微分的概念（$dy = f'(x)dx$）被强调为线性近似的本质，并清晰区分了微分与增量的差异。 2.3 导数的应用：分析与优化 这是本书的重点应用章节。 中值定理的深度解读： 详细解析罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。我们不仅给出了定理的证明，更侧重于讲解其在证明其他数学结论（如证明函数单调性、不等式等）中的“工具”价值。 函数图像的描绘： 系统讲解如何利用一阶导数（单调性、极值）和二阶导数（凹凸性、拐点）来全面分析函数性状，并提供一系列分步解析的作图实例，涵盖了超越函数的复杂情况。 实际应用问题： 包含了经典的优化问题（如最短距离、最大面积、最小成本），强调如何将实际问题抽象为求导、求极值的数学模型。 --- 第三部分：积分学——积累与面积的计算 本部分转向宏观累积量的计算，是微积分理论的另一大支柱。 3.1 定积分的概念与基本性质 从几何上定义定积分——黎曼和的极限。本书详细介绍了黎曼和的构造过程，解释了为什么连续函数必可积。在性质方面，着重讲解了定积分的可加性、估值不等式等，并引入了定积分的“面积元素”思想。 3.2 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分 本书将微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的推导过程作为核心内容，展现了微分学与积分学的内在联系。 在不定积分部分，系统归纳了五大类积分技巧： 1. 直接积分法（基本积分表应用）。 2. 换元积分法（三角、三角函数的换元策略）。 3. 分部积分法（选择 $u$ 和 $dv$ 的经验法则）。 4. 有理函数积分（部分分式分解法的详细步骤）。 5. 三角有理式积分的特定技巧。 3.3 定积分的应用 定积分的应用扩展到更广阔的物理和几何领域： 几何应用： 面积计算（包括平面曲线、旋转体体积）、弧长、曲面面积。我们特别强调了如何根据具体问题选择合适的积分变量和微元（$dx$ 或 $dy$）。 物理应用： 质心、转动惯量、功、压力等。 3.4 反常积分（广义积分） 本书清晰区分了第一类（积分区间为无穷大）和第二类（被积函数在区间内有无穷间断点）反常积分，并严格论述了它们的敛散性判别准则（类比于级数判别法）。 --- 第四部分：级数初步——无限项的和 作为高等数学的收尾部分，本书对级数进行了必要的介绍，为后续的工程数学打下基础。 4.1 数项级数 重点在于理解级数的敛散性。本书系统介绍了比较判别法、比值判别法、根值判别法的使用逻辑，并对交错级数的莱布尼茨判别法进行了深入剖析，强调了绝对收敛与条件收敛的区别。 4.2 幂级数 幂级数是连接初等函数与泰勒多项式的桥梁。我们详细讲解了收敛半径和收敛区间的确定（再次应用比值判别法），并重点讲解了如何利用已知函数的泰勒展开式（如 $e^x, sin x, frac{1}{1-x}$）来构造新函数的幂级数，以及在区间端点处的处理。 --- 总结与学习建议 本书的编写遵循“理解在先，计算在后，应用为本”的原则。我们避免了过于晦涩的数理逻辑证明，而是将精力投入到概念的清晰化、例题的典型化和解题步骤的规范化上。读者在学习过程中，应重视理论概念的几何或物理背景，并通过大量的例题训练来巩固对计算技巧的掌握，从而真正建立起一个扎实、灵活的高等数学思维体系。

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我之前一直认为，数值分析这门课很难学，因为涉及到大量的公式和计算，很容易让人望而却步。《数值分析全真试题解析》这本书，彻底改变了我的看法。它最大的优点就是把那些复杂的数学概念和计算过程，通过清晰的解析方式变得易于理解。我印象最深刻的是关于“矩阵范数与条件数”的那一部分，书中不仅给出了各种范数的定义和性质，还深入分析了条件数对线性方程组求解稳定性的影响。而且，它还结合历年的考题，详细解析了如何计算条件数，以及如何判断一个方程组的病态程度。书中的题目选择非常具有代表性，而且每一道题的解析都详尽而透彻，它会从问题的本质出发，一步步引导你思考，最终找到解决问题的关键。我感觉，通过阅读这本书，我不仅掌握了考试所需的知识点，更重要的是，我对数值分析的内在逻辑和应用价值有了更深刻的认识。这本书就像一位经验丰富的老师，它不会让你死记硬背，而是引导你主动思考，从而真正掌握这门学科。

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我一直认为，学习数值分析，最关键的就是要理解那些抽象的数学概念是如何应用到实际计算中的。而《数值分析全真试题解析》这本书，在这方面做得非常出色。它不仅仅是给出题目的解法，更重要的是，它通过对每一个解题步骤的详细讲解，让我们能够清晰地看到数学理论是如何转化为实际操作的。我尤其欣赏书中关于“插值与逼近”那一章的解析。它不仅仅讲解了拉格朗日插值和牛顿插值，还深入分析了它们在数据点分布不均时可能出现的问题，以及如何选择合适的插值节点来获得更好的逼近效果。书中还列举了很多实际应用例子，比如在气象预报、图像处理等领域，这些鲜活的案例让我对抽象的数学公式有了更直观的认识，也让我体会到了数值分析在现代科技中的重要作用。此外，书中的题目选择非常具有代表性，涵盖了数值分析的各个重要分支，而且每一道题的解析都逻辑清晰，步骤完整，对于我们理解题意、掌握解题技巧非常有帮助。读完这本书，我感觉自己对数值分析的理解又上了一个台阶，能够更自信地去面对各种类型的题目和实际问题。

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天哪，我简直不敢相信我花了这么多时间才读完这本《数值分析全真试题解析》！当初买它的时候，只是抱着试试看的心态，毕竟数值分析这门课对我来说一直是个不小的挑战。然而，这本书的出现，完全颠覆了我对“解析”类教材的刻板印象。它不仅仅是把历年真题罗列出来，然后简单地给个答案，而是以一种抽丝剥茧的方式，深入到每一个知识点，每一个解题技巧背后。我印象最深刻的是关于“迭代法”的那一部分，书中不仅详细讲解了牛顿法、二分法等经典方法的原理，还对它们的收敛性、优缺点进行了详尽的比较分析。更绝的是，它还列举了大量实际应用场景，比如在工程计算、数据拟合等领域，这些鲜活的例子让我瞬间理解了抽象的数学公式是如何转化为解决实际问题的强大工具的。而且，每道题的解析都逻辑清晰，步骤详尽，甚至连一些容易出错的细节都一一指了出来，就像有一个经验丰富的老师在旁边手把手地教你。读这本书的过程中，我发现自己不仅掌握了题目的解法，更重要的是，我开始真正理解了数值分析的核心思想，以及如何灵活运用这些方法去解决更广泛的问题。对于那些像我一样，在数值分析的海洋里苦苦挣扎的学生来说，这本书绝对是一座灯塔，指引着我们前进的方向。它的价值远不止于应付考试，更是建立扎实数学基础的宝贵财富。我强烈推荐给所有对数值分析感兴趣，或者正被这门课程困扰的同学。

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在我看来，一本好的教材，不仅仅是告诉“怎么做”，更重要的是教会“为什么这么做”。《数值分析全真试题解析》恰恰做到了这一点。它在解析每一道题目的时候，都会深入地探讨其背后的数学思想和理论依据。我记得有一道关于“非线性方程求根”的题目，书中不仅给出了牛顿迭代法的解法，还详细分析了该方法对初值选择的敏感性，以及如何通过调整迭代步长来提高收敛速度。更让我惊喜的是，它还对比了不动点迭代法、割线法等其他方法的优缺点，让我们能够从更宏观的视角来理解不同算法的适用范围。书中列举的题目都非常经典，而且解析得异常到位，几乎涵盖了数值分析的所有核心内容。每一道题的解答都逻辑严谨，步骤清晰，并且还附带了大量的“解题技巧”和“注意事项”，这些都是我们在课堂上很难学到的宝贵经验。读完这本书，我感觉自己对数值分析的理解不再是停留在表面的公式应用，而是上升到了对算法原理和数学思想的深刻把握。它帮助我建立了扎实的知识体系，提升了解决实际问题的能力。

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这本书的出现，真的像及时雨一样，解决了我在学习数值分析过程中遇到的诸多难题。《数值分析全真试题解析》最让我惊艳的地方，就是它对每一道题目的“深度解析”，而不仅仅是给出简单的答案。它会从问题的根源出发，剖析题目背后的数学原理，然后一步步引导读者构建解题思路。我印象特别深刻的是关于“常微分方程初值问题”的那一部分，书中详细讲解了欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等方法的推导过程，以及它们各自的精度和稳定性。更重要的是，它还分析了在实际应用中，如何根据问题的特点选择最合适的数值解法。书中的题目覆盖面很广，基本上包含了历年考试的重点和难点，而且每一道题的解析都写得非常细致，连一些关键的数学推导和计算步骤都清晰地展示出来。读这本书，我感觉自己不仅仅是在做题，更是在进行一次系统性的数值分析知识梳理和强化。它帮助我巩固了基础，理清了思路，让我对这门课程的理解更加深入和透彻。对于想要真正掌握数值分析，并且在考试中取得优异成绩的学生来说，这本书绝对是“必备神器”。

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我之前一直觉得，数值分析这门课就像一本天书，各种符号、公式看得我头晕眼花，考试更是让人心力交瘁。但当我偶然翻开这本《数值分析全真试题解析》时，我才意识到，原来这门课也可以这么有趣，这么容易理解。这本书最大的特点就是它的“解析”做得太到位了！它不是简单地把答案告诉你，而是从最基础的概念讲起，一步一步地引导你理解题目的要求，分析问题的关键点，然后才给出详细的解题步骤。我特别喜欢书中关于“误差分析”那一章，它用通俗易懂的语言解释了什么是截断误差，什么是舍入误差，以及它们是如何影响计算结果的。更重要的是，它还给出了如何控制和减小误差的方法，这对于我们做实际计算非常重要。书中还引用了很多历年的考题，每一道题的解析都非常详细，甚至会讲解一些解题的“小窍门”，这些都是老师课堂上可能不会讲到的，但却能让你在考试中事半功倍。读完这本书，我感觉我对数值分析的理解提升了一个档次，不再是死记硬背公式，而是真正掌握了解决问题的思维方式。那些曾经让我头疼的题目，现在看起来都变得豁然开朗。如果你的数值分析学得不那么顺畅，或者想在考试中取得更好的成绩，这本书绝对是你不可错过的宝藏。

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我一直觉得，学习数值分析，最怕的就是“知其然不知其所以然”。而《数值分析全真试题解析》这本书，在这方面做得淋漓尽致。它不仅仅是把历年的真题答案给你，更重要的是，它会把每一个题目背后的数学原理、解题思路、以及相关的知识点都梳理得清清楚楚。我特别喜欢书中关于“插值与逼近”那一章的解析，它不仅讲解了拉格朗日插值和牛顿插值，还深入分析了它们各自的优缺点，以及在不同数据分布下的表现。更重要的是，它还提到了样条插值等更高级的方法，并简要介绍了它们的应用场景。书中列举的题目都非常经典，而且每一道题的解析都写得非常详细，逻辑清晰，步骤完整，甚至连一些容易出错的地方都一一指了出来。读完这本书，我感觉自己对数值分析的理解不再是零散的知识点，而是形成了一个完整的知识体系。它帮助我建立了扎实的数学基础，提升了解决实际问题的能力。

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这本书是我在准备数值分析考试时偶然发现的，没想到它带给我的惊喜远不止于应付考试。《数值分析全真试题解析》最让我赞赏的是它对每一个知识点、每一个算法的“刨根问底”式解析。我记得书中关于“求解非线性方程组”的题目，它不仅仅介绍了牛顿法，还详细分析了雅可比矩阵的计算，以及如何处理收敛性问题。更绝的是，它还提到了拟牛顿法等更高级的算法，并简要分析了它们的优势。这种由浅入深、由易到难的解析方式，让我能够逐步建立起对数值分析的全面认知。书中精选的题目都非常有代表性，涵盖了历年考试的重点和难点，而且每一道题的解析都写得极其详尽，不仅仅是给出步骤，更重要的是解释了每一步背后的数学原理和逻辑。我感觉，通过阅读这本书，我不仅巩固了知识，更重要的是，我学会了如何从数学的角度去分析和解决问题，这对于我未来的学习和工作都将大有裨益。

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读完《数值分析全真试题解析》这本书，我最大的感受就是，它不仅仅是一本“试题解析”，更是一本“数值分析思维训练手册”。它在解析每一道题目的时候，都着重于引导读者去思考解题的思路和策略，而不是简单地给出标准答案。我特别喜欢书中关于“数值积分”那一章的解析。它详细讲解了梯形法则、辛普森法则等方法的原理，并且深入分析了它们的误差项，以及如何通过增加节点数来提高积分精度。书中还列举了很多实际应用场景，比如在计算曲线下面积、物理量累积等方面，这些生动的例子让我对抽象的数学公式有了更直观的认识。而且，书中还提供了很多“变式题”和“拓展题”，鼓励我们尝试用不同的方法来解决同一个问题，从而加深对知识的理解和掌握。每道题的解析都写得非常详细，几乎是手把手地教你如何一步步推导出最终答案。这本书让我不再害怕数值分析中的复杂公式和计算，而是能够自信地去分析问题，寻找最优解。

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说实话，我买这本书的时候，并没有抱太大的期望，以为也就是市面上常见的那些“考前押题”或者“答案大全”。但是，《数值分析全真试题解析》这本书，彻底刷新了我对这类教材的认知。它最大的亮点在于它对每一个知识点、每一个公式的“溯源”式解析。我记得有一道关于“线性方程组求解”的题目，书中不仅给出了高斯消元法和LU分解法的解法，还详细解释了这两种方法的几何意义，以及它们在不同情况下的适用性。而且，它还深入探讨了病态方程组的问题，以及如何通过一些预条件技术来提高求解的稳定性。这种解析方式，真的让我受益匪浅，让我从“知其然”上升到了“知其所以然”。书中还穿插了很多“易错点提醒”和“解题思路拓展”，这些小细节设计得非常人性化，能帮助我们及时纠正错误，并且触类旁通。我发现，通过反复研读这本书，我对数值分析的整体框架有了更清晰的认识，不再是零散的知识点堆砌，而是形成了一个有机整体。对于那些想要深入理解数值分析，而不仅仅是应付考试的学生来说，这本书绝对是“神器”。它就像一位经验丰富的老教授，耐心地为你解答每一个疑惑，引领你领略数值分析的奥妙。

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