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出版者:高等教育出版社

作者:吕林根 编

出品人:

页数:182

译者:

出版时间:1988-9

价格:6.60元

装帧:

isbn号码:9787040007077

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《几何的逻辑：从欧几里得到向量空间的启蒙》 引言 在人类文明的长河中，几何学始终扮演着至关重要的角色，它不仅是理解空间、形态与位置的基石，更是逻辑思维与抽象推理的摇篮。从古希腊先贤对平面图形的精妙描绘，到近现代数学家对高维空间与非欧几何的探索，几何学的每一次飞跃都深刻地影响着科学、技术乃至哲学的发展。本书《几何的逻辑：从欧几里得到向量空间的启蒙》旨在带领读者踏上一段穿越时空、探寻几何智慧的旅程。我们并非要教授一套具体的解题技巧，也不是要罗列冗长的公式与定理，而是希望通过一种更具启发性、更富洞察力的方式，让读者真正理解几何学的内在逻辑，感受其抽象美，并认识到它在现代数学体系中的核心地位。 第一章：欧几里得的遗产——逻辑的起点 我们的旅程始于伟大的欧几里得。他的《几何原本》并非仅仅是一本定理的汇编，更是一部逻辑推理的典范。本章将深入剖析《几何原本》的结构与思想精髓： 公理与公设：真理的基石。 我们将探讨欧几里得是如何从一系列不证自明的公理和公设出发，构建起一个严谨的几何体系的。理解公理系统的构建方式，有助于培养读者对数学基础的敬畏之心，以及认识到逻辑推理的强大力量。我们将分析“两点确定一条直线”、“同量减去同量，其余量相等”等基本公理，并讨论它们在构建几何世界中的作用。 证明的艺术：演绎法的力量。 欧几里得的伟大之处在于他创造了严谨的几何证明方法。本章将详细解析几何证明的逻辑链条，从已知条件出发，通过一系列合理的推导，最终得出结论。我们将学习如何识别证明中的关键步骤，如何构建自己的证明，以及如何避免常见的逻辑谬误。例如，我们将以“三角形内角和等于180度”这一经典命题为例，一步步拆解其证明过程，让读者体会到从局部到整体的推理过程。 基本图形与性质：空间的语言。 从点、线、面到三角形、四边形、圆，欧几里得勾勒出了我们最早认识的几何世界。本章将回顾这些基本图形的定义与核心性质，但更重要的是，我们会关注这些性质是如何被逻辑推导出来的。我们会讨论平行线的性质、全等三角形的判定及其推论，以及圆的各种线段与角度关系。这些看似简单的概念，实则是构建更复杂几何模型的基础。 第二章：超越平面——三维空间的拓展 人类的视野不会仅仅停留在二维平面。本章将带领读者进入三维世界的奇妙领域，感受空间几何的广阔与深刻。 立体图形的结构与性质。 球体、立方体、圆锥、圆柱……这些我们熟悉的立体图形，在本章中将以一种更具探索性的视角来审视。我们将研究它们的表面积、体积是如何计算的，但更关键的是，我们会关注它们内部的结构联系。例如，我们会探讨多面体的欧拉公式（V - E + F = 2），并理解它所蕴含的拓扑学意义。 空间关系与投影。 在三维空间中，直线与直线、直线与平面、平面与平面之间存在着丰富的关系，如平行、垂直、相交。本章将深入分析这些空间关系，并介绍投影的概念，理解如何将三维物体在二维平面上进行表示。我们会探讨点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面的夹角等概念，并思考它们在实际工程与设计中的应用。 曲面几何的初步认识。 除了多面体，我们还会初步接触到曲面几何，如球面、旋转曲面等。理解曲面的定义及其基本性质，为理解更复杂的几何对象打下基础。我们将以圆柱面和圆锥面的生成方式为例，展示几何对象如何通过运动来构建。 第三章：代数的语言——几何的解析化 几何学的进步离不开与代数的融合。笛卡尔的解析几何革命，为几何研究打开了全新的维度，将抽象的图形与具体的数字联系起来。 坐标系：空间中的定位。 本章将详细阐述直角坐标系（二维与三维）的构建原理，以及点、线、面如何用代数方程来表示。理解坐标系的作用，是掌握解析几何的关键。我们将探讨点坐标的意义，直线方程（点斜式、斜截式、一般式）的推导与几何意义，以及平面方程的构成。 方程与图形的相互转化。 解析几何的核心在于方程与图形之间的双向转化。本章将通过大量实例，展示如何根据方程描绘出几何图形，以及如何从几何图形推导出相应的代数方程。例如，我们将分析圆的方程$x^2 + y^2 = r^2$如何描述一个圆，以及如何通过圆上点的坐标关系推导出其方程。 距离、斜率与夹角：代数计算的几何意义。 解析几何使得计算几何性质成为可能。本章将介绍如何利用坐标和代数公式计算两点间的距离、直线的斜率、两条直线（或直线与平面）的夹角等。这些计算方法不仅在理论研究中至关重要，在实际应用中也扮演着核心角色。我们将分析斜率如何反映直线的倾斜程度，以及如何利用向量的点积来计算夹角。 第四章：向量的威力——现代几何的基石 向量的引入，极大地简化了许多几何问题的处理，并为线性代数和更高维几何的研究奠定了基础。 向量的定义与运算。 本章将清晰界定向量的概念，区分向量与标量，并介绍向量的加法、减法、数乘等基本运算。理解向量的几何意义，是掌握向量代数的关键。我们将通过位移、速度等实例，阐释向量的物理意义，并分析向量运算的几何法则（如平行四边形法则）。 点积与叉积：探索方向与面积。 点积（内积）与叉积（外积）是向量代数中两个极为重要的运算。本章将深入分析点积与叉积的定义，以及它们在几何上所代表的含义，如点积与角度、投影的关系，叉积与平行四边形面积、垂直向量的关系。我们将探讨如何利用点积判断向量是否垂直，以及如何利用叉积求解三角形的面积。 向量在几何中的应用。 向量强大的表现力使其在解析几何、立体几何乃至更广泛的数学领域得到广泛应用。本章将展示向量如何被用来表示直线、平面，如何求解点到直线（平面）的距离，以及如何处理更复杂的空间几何问题。例如，我们会使用向量来表示直线方程（参数方程），并分析其优势。 第五章：几何的边界——非欧与高维的遐想 几何学的探索从未停止，非欧几何和高维空间的出现，拓展了我们对“空间”本身的认知边界。 非欧几何的诞生：平行公理的挑战。 本章将简要介绍非欧几何的诞生背景，重点阐释平行公理的独立性问题，以及黎曼几何、双曲几何等非欧几何体系的独特之处。我们将反思欧几里得几何的局限性，并理解不同几何体系的内在逻辑。虽然不对非欧几何进行深入的计算，但会强调其思想的革命性。 高维空间的想象。 借助向量与坐标系，我们可以超越三维的直观感受，想象更高维度的空间。本章将初步探讨高维空间的概念，理解超立方体、超球体等高维几何对象的抽象描述。我们将讨论度量、距离等概念在更高维度下的推广，从而激发读者对数学可能性的思考。 几何学的现代图景。 从微分几何到代数几何，几何学在现代数学中扮演着愈发重要的角色，与拓扑学、分析学等分支紧密结合，深刻影响着物理学、计算机科学等领域。本章将勾勒出几何学在现代数学研究中的大致图景，展现其勃勃生机与无限潜力。 结语 《几何的逻辑：从欧几里得到向量空间的启蒙》并非一本“告诉”你所有答案的书，而是一本“引导”你思考的书。我们希望通过对几何学核心思想的层层剖析，激发读者对逻辑推理的兴趣，培养对抽象概念的理解能力，并最终认识到几何学作为一门古老而又充满活力的学科，其蕴含的无穷魅力与深刻智慧。无论你是初学者，还是希望深化理解的学习者，本书都将是你探索几何世界、拓展思维疆域的得力助手。

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总的来说，这本书给我的感受是“结构严谨，思路由广”。我最欣赏它的地方在于，它构建了一种“自解释”的学习系统。很多数学书在讲完一个概念后，需要读者自行去挖掘它与其他概念的内在联系，但这本书似乎预设了读者的疑惑点，并在关键时刻提供“连接点”的提示。例如，在讲解椭圆和双曲线的性质时，它会适时地回顾抛物线的特殊情况，并用统一的离心率概念将三者联系起来，这种宏观视野的及时切换，避免了知识点的碎片化。对于准备参加高数预备课程或者希望对几何基础进行系统回顾的读者来说，这本书提供的不仅仅是知识，更是一套清晰、高效的“思维工具箱”。它让我感觉，我不再是单纯地在“学”解析几何，而是在“掌握”如何用解析几何的视角去看待和解决问题，这才是真正的学习指导的价值所在。

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这本书的排版和装帧设计，也体现了对学习者体验的深切关怀。在解析几何的学习中，图形的清晰度是至关重要的，而这本书在这方面做得非常出色。所有图示，无论是二维坐标系中的圆锥曲线，还是三维空间中的各种曲面，线条都极其锐利，标注清晰，没有丝毫的模糊不清。而且，页面的留白处理得非常恰当，使得在大量的公式和文字中阅读时，眼睛不容易疲劳。我个人习惯在书页空白处做大量的批注和推导补充，这本书的纸张质量也足够支撑铅笔书写和橡皮擦拭，不会出现洇墨或破损的情况。这种对细节的关注，虽然看似微不足道，但在长时间的深度学习过程中，极大地提升了阅读的舒适度和效率。它让我感觉，编写者在制作这本书时，是真正把自己想象成了一个正在努力攻克这门学科的学生，处处为我们着想，这份用心，在很多技术类书籍中是很难得的。

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坦率地说，我拿到这本书之前，对市面上五花八门的教辅资料已经有些审美疲劳了，大多不过是旧瓶装新酒，换个封面卖旧内容。然而，《解析几何学习指导书》展现出了一种令人耳目一新的务实精神。它的重点非常明确——那就是“指导”和“实践”。书中的习题设计，我感觉是经过了精心挑选和层次划分的。基础巩固题，旨在确保你对基本定义的理解；能力提升题，则开始引入一些需要灵活变通的综合应用；而最后的“挑战题”，往往是一些需要多角度思考、甚至是结合微积分思想的难题。这种梯度设置，让学习过程变得扎实而有成就感，你不会因为太简单而感到乏味，也不会因为太难而心生挫败。更值得称道的是，它对“错题分析”的重视程度。书的某一章节专门用一小块篇幅来分析常见的逻辑错误和计算陷阱，并配有“如何避免”的建议，这种前瞻性的指导，比事后批改作业要有效得多。它更像是一位经验丰富的老教授，在你尚未犯错之前，就提前给你打好了“预防针”。

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这本《解析几何学习指导书》着实是一本让人眼前一亮的教材。我一直觉得，解析几何这门学科，概念抽象，公式繁多，是很多学生学习路上的“拦路虎”。但这本书的编排方式却极大地缓解了这种恐惧感。它不是简单地堆砌公式和定理，而是以一种非常直观的方式，将那些抽象的数学语言转化为我们日常生活中可以理解的几何图像。尤其是对空间坐标系和曲面的讲解，作者似乎非常擅长“讲故事”，用生动的比喻和清晰的图示，让那些原本晦涩难懂的概念变得触手可及。我特别喜欢它在每章开头设置的“思维导图”，它帮助我在进入具体知识点之前，就能对整个章节的脉络有一个宏观的把握，这对于构建知识体系太重要了。而且，书中的例题选择也十分精妙，从基础的直线、平面问题，到复杂的二次型和空间曲线，每一个例题都紧密围绕着核心概念，解题步骤详尽，分析透彻，让人在跟着推导的过程中，自然而然地掌握了解决问题的关键思路。这对于我这种喜欢刨根问底的学生来说，简直是如获至宝。它教会我的不仅仅是解题技巧，更是那种严谨的数学思维。

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要评价一本学习指导书，其理论的深度和广度是绕不开的话题。我发现《解析几何学习指导书》在处理经典内容的同时，也巧妙地融入了一些现代化的视角。比如，它在介绍矩阵和行列式在解析几何中的应用时，并没有仅仅停留在简单的公式演算上，而是深入探讨了这些代数工具如何统一和简化几何描述的本质。这种“代数与几何的深度融合”，极大地拓宽了我的视野，让我意识到解析几何远不止是高中所学的那些基本图形。它更是一种强大的数学语言，可以描述和分析更复杂的高维空间结构。此外，书中对一些历史背景和重要定理的发现过程的简短介绍，虽然篇幅不长，却非常精彩，它让冰冷的数学公式背后，有了鲜活的思考轨迹，有助于我们理解数学是如何一步步发展和完善的。这种历史的厚重感，让学习过程不再是枯燥的知识点记忆，而是一场与数学先驱思想的对话。

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