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出版者:蓝色畅想图书发行有限公司（高等教育出版社）

作者:王凯捷 编

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-5

价格:17.10元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040106343

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 解析几何
• 线性代数
• 教材

《高等数学（上）：理论、方法与应用》 本书简介 本书旨在为理工科专业学生系统、深入地讲授高等数学的基础理论、核心方法和广泛应用。我们力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的清晰阐述和解题技巧的有效传授，帮助读者构建坚实的数学思维框架。 第一部分：函数、极限与连续性 本部分是整个高等数学的基石，为后续微积分的学习奠定理论基础。 第一章：函数与基本性质 本章详细介绍了函数的概念、定义域、值域以及函数的表示法（解析法、图形法、列表法）。重点探讨了函数的几种重要性质：单调性、奇偶性、周期性以及有界性。我们引入了复合函数和反函数的概念，并对初等函数进行了详尽的分析，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数的图像特征与性质。特别关注了函数图形的变换技巧，如平移、伸缩、反射等，这些对于理解复杂函数行为至关重要。 第二章：数列的极限 数列极限是理解函数极限的关键过渡。本章从直观概念入手，严格定义了数列极限的$epsilon-N$语言，并利用极限的四则运算法则、夹逼定理、单调有界定理等工具计算数列的极限。我们深入分析了重要极限 $lim_{n oinfty}(1+1/n)^n = e$ 的推导及其在实际问题中的应用。此外，本章还讨论了无穷小和无穷大，并比较了它们之间的阶数关系。 第三章：函数的极限 本章将极限的概念推广到函数。我们对左极限和右极限进行了严格定义，并阐明了函数极限存在的充要条件。极限的四则运算规则在本章得到了充分的展示和应用。除了直觉理解外，我们着重讲解了利用等价无穷小代换法和洛必达法则来简化复杂极限的计算，这两种方法是微积分计算中的核心工具。 第四章：函数的连续性 连续性是函数性质中承上启下的环节。本章从点态连续性出发，定义了函数在区间上的连续性，并讨论了函数不连续的类型（可去、跳跃、无穷间断点）。我们详细阐述了闭区间上连续函数的两大重要性质：有界性与最值定理，以及介值定理。这些定理在证明存在性问题时具有不可替代的作用。 第二部分：导数与微分 本部分是微积分的核心，处理瞬时变化率的概念。 第五章：导数的概念与计算 导数被定义为变化率的极限。本章首先从几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）引入导数。接着，系统地推导了基本初等函数的导数公式，并详细阐述了导数的四则运算法则、复合函数的求导法则（链式法则）和隐函数求导法。我们引入了高阶导数的概念，并对参数方程和极坐标方程下函数的求导进行了专题讨论。 第六章：微分的概念与应用 本章将导数推广到微分的概念。我们阐明了微分$dy$与自变量微分$dx$的关系，并解释了微分在近似计算中的应用。重点在于理解微分$dy$是函数增量$Delta y$的线性近似。 第七章：中值定理与导数的应用 本章是理论和应用结合最紧密的部分。我们严格证明了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并展示了它们在函数性质分析中的关键作用。接着，利用导数研究函数的单调性、极值和凹凸性，并描绘函数的完整图像。最后，我们将导数应用于解决优化问题（如求最大值、最小值）和物理、工程中的相关变化率问题。 第三部分：不定积分 本部分引入反向运算，为求解面积、体积等问题做准备。 第八章：不定积分的概念与基本方法 不定积分是导数的逆运算。本章首先定义了原函数和不定积分，并阐述了不定积分的线性性质。接下来的重点是系统介绍不定积分的求解技巧： 1. 直接积分法： 利用基本积分公式。 2. 换元积分法（第一、第二类）： 处理复合函数和根式、三角函数形式的积分。 3. 分部积分法： 处理乘积形式的积分，强调选择合适的部分进行分解。 第九章：有理函数与三角函数的积分 本章专门处理两类常见但复杂的积分形式。 1. 有理函数的积分： 详细讲解了多项式除法、因式分解和部分分式分解法，这是求解任意有理函数积分的关键步骤。 2. 三角函数的积分： 针对不同形式的三角函数（如三角函数的幂的积分、三角函数中带有根式的积分），介绍相应的万能代换法或特殊技巧。 第四部分：定积分 本部分是微积分的另一核心，用于求解累积效应。 第十章：定积分的概念与计算 本章从几何上引入定积分——曲边梯形的面积。通过黎曼和的极限过程严格定义了定积分。随后，我们阐述了定积分的基本性质，如区间可加性、保号性等。最重要的是，本章介绍了微积分学的基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），它将定积分的计算与不定积分联系起来，极大地简化了计算过程。 第十一章：定积分的应用 定积分的应用非常广泛，本章将集中展示其在几何和工程中的强大能力： 1. 面积的计算： 计算平面图形的面积，包括两曲线之间的面积。 2. 体积的计算： 旋转体的体积（圆盘法、圆环法、切片法）。 3. 弧长和曲面面积的计算： 利用定积分求出曲线的长度和由曲线旋转形成的曲面的面积。 4. 物理应用： 如计算功、质心、转动惯量等。 本书特色： 1. 理论与实践并重： 每个定理的陈述后都紧跟一个或多个应用实例，展示如何将抽象理论转化为具体的计算步骤。 2. 详细的解题步骤： 在复杂的计算题中，我们提供了详尽的、逻辑清晰的中间步骤，便于读者追踪思维路径。 3. 强调概念理解： 不仅仅关注“如何算”，更注重“为什么这么算”，深入挖掘极限、导数、积分背后的直观几何意义。 4. 丰富的习题体系： 每章末尾设有基础练习、综合应用题和思考题，以巩固所学知识点，并培养解决复杂问题的能力。 本书内容全面，覆盖了当前大学高等数学课程（上册）的全部核心教学要求，是理工科学生学习微积分的理想教材和重要参考资料。

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读完这本教材，最大的感受是“透彻”，但这种透彻带着一丝学究式的冷峻。它似乎默认读者已经具备了扎实的代数基础，对初等函数的性质了如指掌，开篇就直接切入了高等数学的核心——函数与极限。对于那些期待那种“生活中的数学”或者“趣味解析”的读者，这本书可能不太友好。它更像是一位严厉的导师，要求你必须用最精确的数学语言进行思考和表达。书中对向量空间、线性变换这些更偏向于抽象代数的概念，处理得非常干净利落，每一个定义和定理的证明都力求简洁和完备，没有一丝多余的修饰。我个人认为，对于理工科背景较强的学生来说，这本书无疑是极佳的工具书，它能帮你快速构建起坚固的知识框架。但对于那些想通过它来培养数学兴趣的文科生或者跨专业人士，我得说，你可能需要准备一本配套的“通俗导读”来辅助理解。尤其是涉及到多变量微积分时，从三维到高维的直观想象难度陡增，这本书提供的图形辅助相对有限，全靠文字和符号的推演，阅读体验相对枯燥，但其严谨性无可指摘。

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这本书的价值在于它的“体系感”。它不像一些零散的辅导资料那样，东一榔头西一棒子地讲解知识点，而是非常注重知识体系的构建和知识点之间的内在联系。作者似乎非常擅长用宏观的视角去组织内容，使得从实数系到拓扑空间的初步概念，乃至后续的微积分，都像是按照一条清晰的脉络自然生长出来的。例如，在引入定积分的概念时，它会先回顾黎曼和的定义，然后巧妙地将其与前面对数列极限的学习联系起来，这种承上启下的写法，让知识的吸收变得非常顺畅。不过，我必须指出，这本书的“作者视角”过于强烈，显得有些封闭。它很少引用其他数学家的贡献或者不同学派的观点，导致阅读过程中缺乏了一种“对话感”。如果能在重要的定理旁边，简要地介绍一下这个工具的历史背景或提出者的思想，相信能让这本书更具人文色彩和历史厚重感，而不仅仅是一本纯粹的公式手册。

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这本书的封面设计得非常大气，那种深沉的墨绿色配上烫金的字体，一下子就给人一种严肃而权威的感觉，让人觉得这绝对不是一本可以轻易翻阅的“入门读物”。我当初抱着“挑战自我”的心态把它带回家的，结果翻开第一页，那密密麻麻的公式和严谨的逻辑推导，差点把我劝退。不过，一旦沉下心来，你会发现作者在基础概念的阐述上简直是教科书级别的典范。比如对于极限的定义，他没有采用那种过于抽象的$epsilon-delta$语言的堆砌，而是通过一系列精心构造的例子，循序渐进地引导读者去理解那个“无限逼近”背后的精确含义。我特别喜欢它对微积分基本定理的几何解释，那种将面积和变化率完美结合的叙述方式，让原本觉得枯燥的理论焕发出了生命力，感觉自己真的触摸到了数学的精髓。唯一美中不足的是，习题的难度跨度有点大，前面几章的练习题相对基础，但到了级数收敛性那部分，很多题目需要综合运用好几条定理，对于初学者来说，确实需要多花些时间去消化和反复琢磨。总而言之，这是一本需要耐心啃读，但绝对能让你对数学产生敬畏之心的好书。

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这本书的编纂风格，体现出一种明显的“重理论，轻应用”的倾向。它更像是为培养未来的数学研究者而设计的教材，而非面向工程师或应用科学家的工具书。比如，在讲解微分方程时，它花了大量篇幅讨论解的存在性和唯一性定理的证明，这些理论深度固然令人敬佩，但在实际应用中如何快速求解一个具体的物理模型方程时，书中的指导就显得有些不足。我希望作者能在关键的应用点上，多增加一些贴近实际工程问题的实例分析，哪怕只是一个简短的案例引入，都能极大地提升读者的学习兴趣和代入感。举个例子，在讨论优化问题时，如果能穿插一个简洁的经济学模型或者物理学问题来展示拉格朗日乘数法的威力，而不是仅仅停留在代数形式的求解上，那学习体验会提升一个档次。尽管如此，它在理论推导上的精准性是毋庸置疑的，它让你明白“为什么”会这样，而非仅仅告诉你“怎么做”。

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这本书的排版设计实在让人捏一把汗。字体选择偏小，行间距也比较紧凑，当你面对一整页密密麻拉的积分符号、偏导数符号和希腊字母时，眼睛真的会感到疲劳。我常常需要借助放大镜或者在电脑上把扫描件放大才能看清一些上下标的细微差别。不过，从内容的深度和广度来看，它确实覆盖得非常全面。从基础的微积分到后期的傅里叶级数和拉普拉斯变换的初步介绍，几乎涵盖了传统高等数学课程的所有知识点。我尤其欣赏它在复变函数部分的处理，虽然篇幅不算长，但对柯西积分公式的推导讲解得非常细致，每一步的逻辑衔接都清晰可见，不像有些教材直接跳跃到结论。唯一的遗憾是，例题的解析部分略显简略，很多经典难题只有答案而没有详细的解题步骤，这对于我们自学者来说，是一个不小的障碍。我不得不花大量时间在网络上寻找相似例题的解法来印证书中的结论，这无疑打断了学习的连贯性。

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