高等数学简明教程 第二册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学

作者:李忠

出品人:

页数:389

译者:

出版时间:2000-10

价格:15.00元

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isbn号码:9787301039960

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探索微分几何的奥秘：从经典到现代的严谨构建 《流形上的分析基础与拓扑结构》 本书导读： 在数学的宏伟殿堂中，微分几何无疑是连接代数、分析与拓扑学的一座至关重要的桥梁。它不仅仅是对欧几里得空间几何概念的推广，更是现代物理学，特别是广义相对论和规范场理论的语言核心。本书《流形上的分析基础与拓扑结构》旨在为具有扎实微积分和线性代数基础的读者，系统而深入地介绍微分几何的基石——微分流形的概念及其上的分析工具。我们摒弃了仅停留在经典曲面理论的浅尝辄止，而是着眼于抽象、严谨的现代几何框架的搭建。 第一部分：从局部到整体——微分流形的构造 本书的开篇聚焦于“微分流形”这一核心概念的精确定义与构造。我们不会将流形视为一个仅由坐标图覆盖的集合，而是将其视为一个具有内在结构的数学对象。 第一章：拓扑预备与度量空间 本章首先回顾必要的拓扑学基础，重点阐述开集、闭集、紧致性、连通性等概念在度量空间中的具体表现。随后，引入拓扑流形的定义，强调其局部欧几里得性的几何直觉，并详尽讨论区分图（Chart）、坐标系（Coordinate System）以及转移映射（Transition Map）的必要性，这是保证局部可微性的关键。 第二章：微分结构与切空间 微分流形的核心魅力在于其上的“光滑性”。本章严格定义了微分结构，即转移映射必须是光滑的。在此基础上，我们构建了微分几何中最基础的代数对象——切空间（Tangent Space）。切空间 $ ext{T}_p M$ 不仅被视为曲线的一阶导数的集合，更是流形在点 $p$ 处所有切向量构成的向量空间。我们采用向量场在函数上的导数作用来定义切向量，这种定义方式自然地引出了李导数和方向导数的概念。 第三章：张量场的代数与分析 切空间之上，自然地引出更高级的结构：张量场（Tensor Fields）。本章系统地介绍了协变张量（如微分形式）和反变张量（如切向量场）。张量场的运算（如张量积、缩并）被置于坐标无关的框架下进行阐述。特别地，本章会详尽讨论微分形式（Differential Forms），它们是研究流形上积分和拓扑不变性的关键工具。 第二部分：流形上的分析工具——外微分与积分 有了张量场和微分形式，我们便可以尝试在流形上进行微积分运算。这部分是本书的分析核心。 第四章：向量场、流与李导数 向量场在流形上定义了“流”（Flow），即将流形上的点随时间演化的一个局部映射。本章深入研究李导数（Lie Derivative） $mathcal{L}_X$，它衡量了沿向量场 $X$ 方向函数或微分形式的变化率。李导数的坐标无关定义及其与外导数的关系，是理解流形上对称性的基础。 第五章：外微分与德拉姆上同调 本书将篇幅重点投入到外微分（Exterior Differentiation） $mathrm{d}$ 的构建。外微分满足 $mathrm{d}^2 = 0$，这一性质的纯粹性使其成为连接拓扑和分析的强大工具。我们详细探讨了德拉姆上同调群（de Rham Cohomology Groups） $mathrm{H}^k(M)$ 的构造，并证明了著名的德拉姆定理——这标志着我们从局部分析工具（微分）转向了全局拓扑不变量（上同调）。对抛物方程解的分析，将严格论证上同调群的非平凡性。 第六章：流形上的积分与基本定理 在定义了微分形式之后，流形上的积分自然水到渠成。本章讨论在定向（Orientable）流形上如何定义 $k$ 维积分。核心在于斯托克斯定理（Stokes' Theorem），这是微积分基本定理在微分几何中的完美推广： $$int_M mathrm{d}omega = int_{partial M} omega$$ 我们将详细展示如何利用它推导出高斯公式（格林公式）和经典微积分中的散度定理，展示全局积分是如何通过边界上的积分来确定的。 第三部分：度量与几何结构 几何的“测度”依赖于度量结构。本部分引入黎曼几何的视角。 第七章：黎曼度量与联络 黎曼度量（Riemannian Metric） $g$ 作为定义距离、角度和曲率的基础，被引入为流形上光滑的正定二次型张量场。随后，为了讨论“平行移动”和“曲率”，我们必须定义联络（Connection）。本书将着重于列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），它由度量 $g$ 唯一确定，并且是无挠（Torsion-free）的。我们严格推导其 Christoffel 符号的坐标表达式，并阐述平行移动的概念。 第八章：测地线与曲率 有了联络，我们定义测地线（Geodesics）作为“最短路径”，通过变分法或运动方程来刻画。最后，本书的高潮之一是黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor） $R$ 的定义。曲率张量衡量了向量场平行移动的结果是否依赖于路径。我们将详细分解曲率张量，探讨截面曲率（Sectional Curvature）的几何意义，并引入里奇曲率（Ricci Curvature）和标量曲率（Scalar Curvature），为深入研究爱因斯坦场方程提供必要的数学工具。 本书特点总结： 1. 抽象与直观并重： 理论推导完全基于抽象的张量语言，确保了坐标无关性，但每一抽象概念都配有清晰的欧几里得空间中的低维几何直觉解释。 2. 分析优先： 侧重于外微分、德拉姆上同调和斯托克斯定理的严密建立，而非仅仅停留在曲率的计算。 3. 现代物理的桥梁： 为读者在学习微分拓扑、规范场论或广义相对论时，打下最坚实的数学基础。 本书适合数学系高年级本科生、研究生以及需要严谨几何工具的理论物理学工作者。阅读本书，您将掌握在任意光滑流形上进行微积分、拓扑分析和几何测量的能力。

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这本《高等数学简明教程 第二册》简直是为我这种数学基础比较薄弱，但又迫切需要掌握核心知识的人量身定做的。我记得我第一次接触到微积分的时候，那些无穷小的概念和极限的推导简直是云里雾里，感觉就像在看一本用天书写成的教科书。然而，这本书的叙述方式却非常平易近人。它没有一开始就抛出那些艰深晦涩的定理和定义，而是非常耐心地通过直观的几何图形和生活中的例子来解释抽象的概念。比如，在讲到导数的几何意义时，作者会用切线的斜率来过渡，让你立刻就能明白“导数”这个听起来很“高大上”的词汇到底在干什么。更让我印象深刻的是，书中的例题和习题设计得非常巧妙。它们不是那种纯粹考验计算能力的堆砌，而是真正引导你去思考如何运用所学的知识去解决实际问题。很多习题后面都附带有详细的解题步骤和思路分析，这对于自学者来说简直是福音，避免了因为卡在一个小地方就全盘放弃的挫败感。这本书的“简明”二字绝非浪得虚名，它剔除了许多不必要的繁文缛节，直击核心，让学习过程变得高效而充满乐趣。

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坦率地说，我购买这本书是抱着一种试试看的心态，因为我大学时期的数学成绩一直不理想，对高等数学有着根深蒂固的恐惧感。然而，这本书真正让我体会到了“柳暗花明又一村”的感觉。它最大的成功之处在于，它成功地架设了一条从“感觉懂了”到“真正会用”的桥梁。书中的理论推导虽然严谨，但讲解时始终保持着一种温暖的语调，仿佛一位经验丰富、耐心十足的导师在耳边为你解惑。我记得我花了很大力气去理解定积分的应用，特别是求解面积和体积的问题。这本书里，作者没有直接跳到积分公式，而是先花篇幅讲解了“分割取样再求和”的极限思想，然后才自然引出积分符号的引入，每一步都充满了数学家思考问题的过程。这种“授人以渔”的教育理念，让我不再满足于死记硬背公式，而是开始主动去探究公式背后的数学原理。读完这本书，我感觉自己对数学的恐惧已经消退了不少，取而代之的是一种探索未知的兴奋感。

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这本书最让我眼前一亮的，是它对“为什么学这个”的解答。在很多章节的开头，作者会用一段引人入胜的文字，介绍本节内容在物理学、工程学或经济学中的实际应用场景，这极大地激发了我学习的内在动力。我之前学习拉普拉斯变换时，只知道如何计算，却不明白它解决的是什么问题，读完这本书关于信号处理应用的那一小段介绍后，我才恍然大悟，原来那些复杂的积分和微分方程，最终都是为了简化对现实世界动态系统的描述。在处理向量场的旋度和散度时，作者巧妙地联系了流体力学的概念，使得抽象的向量运算立刻具象化为一个物体在流体中旋转或扩散的物理图像。这种**理论与应用紧密结合**的写作风格，使得学习过程不再是枯燥的符号游戏，而是变成了一场探寻自然规律的智力冒险。这本书真正做到了“简明”而不“肤浅”，它让你在掌握了必要的数学工具的同时，也理解了这些工具的价值和意义。

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我是一个在职场上需要经常和数据打交道的设计师，对于数学的要求是“够用就好”，但又不想在关键时刻掉链子。市面上那些动辄上千页的厚重教材，我根本无法下手。幸运的是，我淘到了这本《高等数学简明教程 第二册》。这本书的**结构组织**是我最欣赏的一点。它把复杂的知识点进行了模块化的拆分，逻辑链条非常清晰。比如，当我们进入到多变量函数和重积分的部分时，我原以为会看到一片混乱的符号和公式海洋，但作者却非常巧妙地运用了“分层递进”的教学法。先用二维平面上的概念做铺垫，然后平滑地过渡到三维空间乃至更高维度的想象。这种循序渐进的讲解，使得原本令人望而生畏的空间想象力问题，变得可以一步步被攻克。我尤其喜欢它在每章末尾设置的“知识回顾与应用”部分，它不是简单的公式罗列，而是用一种近乎“故事叙述”的方式，总结了本章核心思想的来龙去脉，帮我迅速建立起知识体系的骨架，这对我这种需要快速吸收和提取信息的读者来说，效率极高。

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作为一名研究生，我发现很多教材在讲解到张量分析或者某些高级微分方程时，会假设读者已经完全掌握了基础微积分的全部细节。但《高等数学简明教程 第二册》的独特之处在于，它在处理第二册内容时，并没有完全放飞自我，而是时不时地回顾和强化第一册中的关键概念，尤其是那些在更高阶理论中起到支撑作用的基础。例如，在讲解线积分和曲面积分时，作者非常细致地回顾了链式法则在多变量函数中的应用，这让我这种时常需要复习基础的人感到非常贴心。此外，这本书的排版和印刷质量也值得称赞。清晰的字体，合理的留白，以及关键公式的加粗和独立成块处理，都大大降低了阅读时的视觉疲劳。特别是那些涉及复杂积分路径的图示，绘制得非常精确且直观，避免了仅仅依靠文字描述所带来的歧义。总体而言，它不仅仅是一本教材，更像是一本精心打磨的工具书，随时可以拿来查阅和巩固，不会让人感到晦涩难懂。

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