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出版者:五南

作者:黃義雄

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:20050301

价格:NT$ 390

装帧:

isbn号码:9789571139289

丛书系列:

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• 微积分
• 微積分
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好的，这是一本关于高等线性代数与张量分析的图书简介，旨在为数学、物理、工程及计算机科学领域的研究者和高年级学生提供深入且严谨的理论基础与应用指导。 --- 《高等线性代数与张量分析导论：从向量空间到微分流形上的几何结构》 书籍概述 本书聚焦于经典线性代数概念的升华与拓展，深入探讨了在抽象代数结构、拓扑空间以及微分几何背景下的线性代数框架——即张量分析。全书以严谨的数学语言组织，强调概念之间的内在联系和应用场景的广泛性，目标是引导读者超越矩阵运算的范畴，建立起对多线性代数、黎曼几何初步以及现代物理学（如广义相对论、连续介质力学）所需的高级数学工具的深刻理解。 本书的结构设计兼顾理论的深度与推导的清晰性，避免了对基础线性代数（如行列式、特征值分解的基础概念）的冗余赘述，而是直接切入更抽象、更强大的工具集。 --- 核心章节与内容详述 全书共分为五大部分，二十章，辅以大量精心设计的习题和案例研究。 第一部分：抽象代数结构与范畴理论的初步接触 本部分旨在为后续的张量分析奠定坚实的代数基础，强调结构而非具体实现。 第一章：域、模与向量空间的深化 重新审视域（Field）的性质，引入模（Module）的概念，讨论在非交换环上的线性结构差异。深入探讨向量空间的构造，包括直和、商空间的高级性质。着重讨论基的选择如何影响表示，但不依赖于任何特定坐标系。 第二章：线性变换的结构分解 超越简单的相似变换，本章详述初等因子分解（Primary Decomposition Theorem）和有理典范形（Rational Canonical Form），这些工具在域的特征不一定是零时尤为重要。深入分析最小多项式与不变因子之间的关系，这是理解模结构的关键。 第三章：内积空间与酉空间的高级结构 不仅限于欧几里得空间，本章讨论任意域上的双线性形式，并引入正交分解的更一般形式。讨论谱定理在有限维自伴随算子上的推广，以及奇异值分解（SVD）的几何意义，将其视为对线性映射在不同正交基上的分解。 第四章：有限维代数与表示论的桥梁 探讨群代数的结构，引出表示论（Representation Theory）的初步概念。使用模的语言来理解群作用在向量空间上的行为，为后续引入李代数做准备。 第二部分：多线性代数：张量的核心 这是本书的核心，构建了从线性到多线性映射的过渡，是理解张量的起点。 第五章：张量的定义与张量积 严格定义张量（Tensor）为多线性映射的推广。详细阐述张量积（Tensor Product） $otimes$ 的构造、唯一性定理及其与笛卡尔积的区别。讨论张量积的秩（Rank）与分解问题。 第六章：双线性形式与张量 将内积视为一个二阶协变张量。深入探讨对称张量和反对称张量的分解，引入楔积（Exterior Product） $wedge$ 作为反对称多线性形式的自然推广，并讨论其与行列式的联系。 第七章：张量空间的基底变换与指标记号 引入指标（Index Notation），区分上指标（协变）和下指标（反变）。详细推导张量在坐标变换下的变异规律，这是从抽象概念过渡到应用计算的关键步骤。讨论度规张量（Metric Tensor）如何允许协变指标与反变指标之间的升降转换。 第八章：张量代数与张量网络初步 构建张量代数，它是向量空间张量积的无限直和。初步介绍张量网络（Tensor Network）的概念，探讨它们在多体物理和高维数据表示中的应用潜力。 第三部分：微分流形与张量分析的环境 本部分将线性代数工具嵌入到光滑流形的几何结构中，为微分几何做准备。 第九章：拓扑空间与光滑流形基础 从点集拓扑回顾，引入拓扑空间、连续性和紧致性。定义光滑流形（Smooth Manifold），强调图册（Atlas）、坐标卡（Chart）和转移映射（Transition Map）的概念，理解流形是局部具有欧几里得空间的结构。 第十章：切空间与向量场 定义流形上的切空间（Tangent Space） $T_pM$ 作为所有通过该点曲线的导数的向量空间。论证切空间是一个向量空间，其维度与流形的维度相同。定义向量场（Vector Field）作为光滑函数到切向量场的截面。 第十一章：微分形式与外代数 将楔积推广到流形上，定义微分 $k$-形式（Differential $k$-Form）。展示微分形式如何构成切空间外代数的对偶空间。讨论拉回（Pullback）操作在坐标变换下的性质。 第十二章：协变导数与平行移动 经典的导数在曲面上失效。本章引入联络（Connection）的概念，特别是仿射联络（Affine Connection），用于定义沿着曲线的平行移动（Parallel Transport）。详细推导协变导数（Covariant Derivative） $ abla$ 的性质，并讨论其与张量变换律的兼容性。 第四部分：黎曼几何的几何结构 本部分引入度量结构，将度量概念提升到流形层面。 第十三章：黎曼度量与黎曼流形 定义黎曼度量（Riemannian Metric） $g$ 为一个光滑的二次协变张量场。讨论度量如何诱导出流形上的长度、角度和体积概念。理解黎曼度量是定义上指标和下指标转换的工具。 第十四章：黎曼联络与克里斯托费尔符号 利用黎曼度量，唯一地构造出黎曼联络（Levi-Civita Connection）。详细推导著名的克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）的公式，并阐明它们是联络的局部坐标表示。 第十五章：测地线与测地距离 定义测地线（Geodesic）为黎曼流形上的“最短路径”，通过最小化能量泛式导出其运动方程（测地线方程）。讨论测地距离与流形拓扑结构的关系。 第十六章：曲率的张量表达 引入张量来量化流形的弯曲程度。详细推导黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor） $R_{ijkl}$ 的定义及其指标升降后的形式。讨论曲率张量的代数对称性。 第十七章：里奇张量与标量曲率 定义里奇张量（Ricci Tensor） $R_{ij}$ 作为曲率张量的收缩，探讨其在流形体积变化中的物理意义。引入里奇标量（Scalar Curvature） $R$。 第五部分：张量分析的应用进阶 本部分展示如何运用前述工具解决实际问题。 第十八章：外微分与德拉姆上同调基础 使用张量语言重新审视微分运算，定义外微分（Exterior Differentiation） $d$ 算子。阐述庞加莱引理（Poincaré Lemma）和德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的几何意义，理解哪些微分形式是恰当的（exact）或闭合的（closed）。 第十九章：可积性与张量方程 讨论在张量框架下如何处理偏微分方程。例如，分析可积性条件——曲率张量在特定情况下如何表征坐标系选择的限制。 第二十章：张量在物理学中的初步应用 简要介绍张量分析在描述物理定律中的核心地位。讨论能量动量张量在经典场论中的作用，以及应力-应变张量在连续介质力学中如何描述材料内部的形变和受力状态。 --- 本书的特点 1. 强调结构而非计算： 虽然指标记号被引入，但贯穿始终的是对多线性映射、张量积和切空间等抽象结构的深刻理解。 2. 理论的连贯性： 明确展示了从向量空间到模，再到流形上张量场的逻辑递进，避免了知识点的孤立。 3. 严谨的数学基础： 所使用的定理和定义均基于现代数学的严格标准，适合有志于进一步深造（如微分几何、代数拓扑）的读者。 4. 应用导向的深度： 在黎曼几何部分，重点在于推导和解释曲率张量的几何含义，而非仅仅罗列公式。 适用读者： 具备扎实本科微积分和线性代数基础，希望进入更高维度几何和物理理论研究领域的学生、研究人员及工程师。

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这本书的装帧和印刷质量也值得一提。作为一本工具书，它需要承受频繁的翻阅和批注，而这本书的纸张厚实，油墨均匀，即使用荧光笔做了大量标记，纸张也不会出现洇墨现象，这对于长期学习者来说是一个非常实际的优点。内容上，我尤其赞赏它在“级数”那一章的处理。在介绍泰勒展开式时，作者并没有仅仅停留在公式的推导上，而是深入探讨了函数的局部逼近能力。他详细对比了不同阶数多项式对原函数在某点附近的拟合效果，这种可视化和直观性的描述，比单纯的代数推导要深刻得多。我过去一直对级数的收敛性判断感到头疼，但这本书通过引入“比值检验”和“根值检验”时，结合了数列极限的性质进行讲解，仿佛为我打开了一扇新的窗户，让我明白了这些检验方法的数学根源所在。全书的语言风格保持了一种沉稳而又充满鼓励的语调，像一位经验丰富的导师在身边耐心指导，让人感到温暖和可靠。

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我必须说，这本书在某些更高阶的主题上，依然保持了令人信服的深度和清晰度。例如，在多变量微积分的引入部分，作者对偏导数和梯度向量的阐述非常到位。他没有急于引入复杂的多元函数链式法则，而是先通过一个地形图的比喻，来解释梯度向量在三维空间中的方向性意义，这使得抽象的梯度概念立刻具象化了。关于隐函数定理和反函数定理的证明，虽然涉及到了链式法则的多次应用，但作者在每一步的逻辑推导上都标注得极其详尽，使得即便证明过程本身比较复杂，阅读者也能清晰地跟上思路，不会因为冗长的代数运算而迷失了核心的数学思想。这本书的参考文献部分也做得非常专业，列出了一些后续可以深入阅读的更高级的数学著作，这为希望继续深造的读者提供了清晰的路径指引。总而言之，这本书的价值远超其篇幅，它成功地构建了一座坚实的桥梁，连接了基础代数运算与高等数学的严谨逻辑。

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这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象，那种朴素中透着一丝严谨的气息，让我立刻联想到那些经典的老教材。我原本以为这会是一本晦涩难懂的理论堆砌，毕竟“微积分”三个字听起来就让人有些望而生畏。然而，翻开第一页，那种清晰的排版和适中的字号，大大缓解了我的焦虑。更让我惊喜的是，作者在引言部分并没有急于抛出复杂的公式，而是用非常生活化的例子来引入极限的概念。比如，他并没有直接给出 $epsilon-delta$ 的定义，而是通过描述一个不断逼近目标的过程，让人对“无限接近”这个抽象概念有了直观的感受。这种循序渐进的教学方式，无疑是为初学者量身定做的。尤其是在处理导数的几何意义时，作者巧妙地引入了切线斜率的概念，并通过一系列精美的插图来辅助说明，即便是对几何不太敏感的读者，也能迅速领会其精髓。整体而言，这本书的叙事节奏把握得非常好，没有为了追求“高深”而牺牲了“易懂”，实属难得。对于那些希望打下一个扎实基础，而非追求快速解题技巧的读者来说，这本书无疑是一个绝佳的起点，它让人感受到学习数学的乐趣，而非仅仅是应对考试的工具。

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深入阅读后，我发现作者在处理一些常见的学习难点时，展现出了极高的洞察力。比如，对于不定积分的求解，书中系统地分类总结了各种技巧，如分部积分法、三角代换法等，并且每一种方法都提供了多个不同复杂程度的实例，确保读者能够完全掌握。更让我觉得贴心的是，每当介绍一个新概念后，作者都会穿插一个“常见误区”的小版块。这些误区往往是学生在学习过程中最容易犯的错误，比如混淆了微分与导数、或者错误地应用了积分的线性性质等。作者用简短而精炼的语言指出了这些陷阱，并给出了正确的辨析方法，这极大地避免了我走弯路。这种前瞻性的防错设计，让这本书不仅仅是一本知识的传授者，更像是一位细心的学习伙伴，时刻提醒着我注意那些隐藏的“暗礁”。阅读体验非常流畅，几乎没有遇到需要反复查阅前后章节来厘清概念的地方，这充分体现了其优秀的结构组织能力。

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读完这本书的中段部分，我对作者的教学理念有了更深层次的理解。他似乎非常注重概念之间的内在联系，而不是将各个知识点孤立地讲解。例如，在讲解定积分时，他没有简单地停留在黎曼和的定义上，而是花了大量篇幅去解释为什么定积分是导数的“逆运算”，这种联系的建立，使得微积分的整体框架变得异常清晰。我特别欣赏作者处理“微积分基本定理”的方式，他没有像有些教材那样直接抛出结论，而是先通过一个关于“变力做功”的具体物理情境来铺垫，让读者在解决实际问题的过程中自然而然地感受到这个定理的强大威力。在练习题的设计上，也能看出作者的用心良苦。每章末尾的习题并非千篇一律的重复计算，而是穿插了许多需要灵活运用多种工具才能解决的综合题。这些题目往往需要将极限、导数和积分的概念融会贯通，极大地锻炼了读者的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。这本书的难度设置恰到好处，既不会让新手感到过于挫败，也不会让有一定基础的人觉得索然无味，成功地在“普及”与“深入”之间找到了一个微妙的平衡点。

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讀了一點，感覺很簡單，設計也讓人很舒服。

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