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出版者:高等教育出版社

作者:教育部考试中心

出品人:

页数:241

译者:

出版时间:2005-6

价格:25.0

装帧:平装

isbn号码:9787040171594

丛书系列:

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深度解析：现代高等代数专题精讲与应用 书籍简介 本书旨在为高等代数领域的学习者、研究人员及专业人士提供一套全面、深入且极具实践指导价值的专题教程。我们摒弃了传统教材中对基础概念的冗长铺陈，转而聚焦于现代高等代数中最具挑战性、最富技巧性，并在实际科学与工程应用中扮演核心角色的关键领域。本书的结构设计严格遵循从理论深度到应用广度的递进原则，力求构建一个清晰、连贯的知识体系。 第一部分：矩阵理论的几何化与高级分解 本部分是全书的理论基石，它不再局限于求解线性方程组，而是将矩阵视为线性变换的抽象载体。 第一章：特征值问题的深入探究与稳定性分析 本章对特征值与特征向量的理论进行了高度提炼和深化。我们详细阐述了非对称矩阵的若尔当标准形（Jordan Canonical Form, JCF）的构造原理与唯一性证明，并着重分析了如何利用JCF来判断线性系统的长期行为和稳定性。章节中包含大量关于广义特征向量的构造实例，这些实例来源于常微分方程组的解法。此外，我们引入了谱理论（Spectral Theory）的初步概念，特别是针对实对称矩阵，讨论了施密特正交化在构建正交基过程中的高效性与数值稳定性。一个重点讨论的专题是矩阵微扰理论的基础，分析微小参数变化如何导致特征值和特征向量的剧烈波动，这对于数值计算的鲁棒性至关重要。 第二章：矩阵分解的计算与应用范式 超越基础的特征值分解（EVD），本章聚焦于那些在数据科学和工程优化中不可或缺的分解技术。 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）的几何解释与优越性： 我们从几何角度阐释SVD如何实现对任意线性变换的最佳秩一逼近，详细推导了极分解（Polar Decomposition），并将其应用于刚体变换的分解。 QR分解与最小二乘法的数值优化： 重点讲解了Householder变换和Givens旋转在构建QR分解中的效率对比，并将其直接应用于超定系统（Overdetermined Systems）的最小二乘解的稳定计算，强调其在回归分析中的核心地位。 舒尔分解（Schur Decomposition）与特征值计算的鲁棒性： 解释了如何利用舒尔分解来逼近一般矩阵的特征值，这是现代数值线性代数库（如LAPACK）计算的底层逻辑。 第二部分：向量空间的高级结构与内积理论 本部分超越了对$mathbb{R}^n$的依赖，将抽象的向量空间结构置于核心。 第三章：内积空间、等距变换与谱定理 本章系统地引入了内积空间的概念，并探讨了其对几何直观的推广。 拉格朗日插值与多项式空间的正交化： 以经典的正交多项式（如勒让德多项式、切比雪夫多项式）为例，演示了如何在无限维函数空间中应用Gram-Schmidt过程，并讨论了这些正交基在数值积分和逼近理论中的应用。 傅里叶分析的代数基础： 深入探讨了复指数函数族在$L^2$空间中的完备性，将其视为向量空间的一组正交基，从而为离散傅里叶变换（DFT）的理论合理性奠定基础。 希尔伯特空间（Hilbert Space）的概念引介： 在有限维空间的基础上，探讨了完备性对极限运算和优化问题的重要性。 第四章：双线性型、二次型及其在几何中的表达 本章专注于描述空间中“长度”和“角度”的一般化概念——双线性型。 二次型的规范形与正定性判据： 详细介绍了如何通过合同变换将二次型化为标准形，重点分析了赫斯森矩阵（Hessian Matrix）的正定性判据（包括Sylvester判据和特征值判据），并阐述其在多变量函数极值判定中的作用。 张量（Tensors）的初步概念： 从双线性型的视角自然过渡到张量，引入张量的分量表示法，并解释张量如何描述物理系统中的各向异性属性（如应力张量、惯性张量）。 第三部分：线性映射的深入剖析与同构理论 本部分将线性代数的核心——线性映射——置于更广阔的结构背景下考察。 第五章：模（Modules）与更一般的代数结构 虽然本书主要关注域（Field）上的向量空间，但本章提供了一个视角，将线性代数的概念推广到更一般的代数结构。 模的概念与基本性质： 简要介绍模的概念，以及与向量空间的主要区别（标量乘法域的不同）。这有助于理解为什么在域上能保证“每个线性映射都有特征值”等许多强大的结论。 同构与同态： 严格定义了向量空间的同构，并讨论了同构定理（Isomorphism Theorems）在简化复杂线性结构时的威力。我们分析了如何通过选择合适的基，将任意$n$维向量空间映射到$mathbb{R}^n$或$mathbb{C}^n$，从而实现计算上的简化。 第六章：线性算子的不动点理论与迭代方法 本章关注在函数空间中应用的线性算子。 邦赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）的代数视角： 将其视为在完备度量空间上进行迭代逼近的几何表达，并讨论其在求解微分方程初值问题中的应用基础。 幂法（Power Method）与反幂法（Inverse Iteration）： 详细推导了计算最大/最小特征值的迭代算法，强调其在大型稀疏矩阵求解中的效率优势，并讨论了特征值区间的反向加速技巧。 本书的特色与目标读者 本书的叙事风格侧重于“为什么”和“如何计算”，而非简单的“是什么”。书中包含大量来自物理学、工程力学、信号处理和优化理论的真实世界案例，这些案例被用作理论推导的驱动力。它不包含对初等行列式计算技巧的重复练习，而是要求读者具备扎实的初级线性代数背景。本书的目标读者是准备进入研究生阶段学习，需要掌握高级代数工具来解决实际问题的理工科学生，以及需要深入理解数值算法背景的工程师和科研人员。阅读本书后，读者将能从容面对结构矩阵、大型稀疏系统、以及抽象的数学建模问题。

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