代数几何码/当代数学园地 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:科学出版社

作者:冯贵良

出品人:

页数:216

译者:

出版时间:1998

价格:15.0

装帧:20cm

isbn号码:9787030065261

丛书系列:

图书标签:

• 需要再读一遍
• 代数几何5
• 代数几何
• 代数几何
• 代数数论
• 编码理论
• 信息论
• 密码学
• 数学
• 高等教育
• 计算机科学
• 应用数学
• 现代数学

《现代代数方程组求解理论与计算方法》 一、 引言 代数几何，作为连接代数与几何的桥梁，其核心在于研究代数方程组的解集所构成的几何对象。这些几何对象，即簇（varieties），蕴含着丰富的结构信息，而理解这些结构，往往需要深入探究其对应的代数方程组的性质。长期以来，求解代数方程组一直是数学研究的重点和难点，它不仅是理论研究的基石，更是诸多科学与工程领域不可或缺的计算工具。本书《现代代数方程组求解理论与计算方法》旨在系统梳理代数方程组求解的现代理论框架，并深入探讨与之相关的计算方法。本书的关注点在于代数方程组的求解，而非代数几何的整体理论，虽然两者紧密相连，但本书侧重于方程组的“求解”这一核心问题。 二、 主要内容概览 本书的写作逻辑清晰，从基础概念出发，逐步深入到复杂的理论与计算方法。整体而言，本书涵盖了以下几个核心部分： 第一部分：代数方程组的基础理论 在深入讨论求解方法之前，我们首先需要建立一套坚实的理论基础。这一部分将详细介绍构成代数方程组的基石——多项式环，以及与之密切相关的概念。 1. 多项式环与理想: 域与环: 介绍域（Field）和环（Ring）的基本定义与性质，特别是实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 以及有理数域 $mathbb{Q}$ 的重要性。介绍整系数多项式环 $mathbb{Z}[x_1, dots, x_n]$ 和多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ （其中 $k$ 为域）。 理想（Ideals）: 深入阐述理想的概念，特别是在多项式环中的应用。例如，由一组多项式生成的理想，以及理解理想的结构对于求解方程组至关重要。介绍主理想、生成元组等概念。 基（Bases）: 重点介绍希尔伯特基定理（Hilbert's Basis Theorem）及其在多项式环中的意义，即任何多项式环的理想都是有限生成理想。这将为后续算法的有限性提供理论保障。 商环（Quotient Rings）: 介绍商环 $k[x_1, dots, x_n] / I$ 的概念，其中 $I$ 是一个多项式理想。理解商环的结构与代数方程组解集之间的联系是关键。例如，商环的维数与解集的维数直接相关。 2. 代数簇（Algebraic Varieties）的初步认识: 零点集（Zero Sets）: 定义代数簇为多项式方程组的公共零点集。介绍仿射簇（Affine Varieties）和射影簇（Projective Varieties）的基本概念，并解释它们与多项式方程组的直接对应关系。 根式理想（Radical Ideals）: 介绍根式理想的概念，以及零点集与根式理想之间的关系（即希尔伯特零点定理的初步体现）。理解零点集对应的理想是其根式。 第二部分：求解算法的核心理论——格勒布纳基（Gröbner Bases） 格勒布纳基是求解代数方程组最强大、最系统的工具之一，也是本书的核心重点。本书将详细介绍格勒布纳基的构造、性质及其在求解中的应用。 1. 单项式序（Monomial Orders）: 单项式的定义与比较: 详细介绍各种单项式序，如词典序（Lexicographical Order, lex）、全词典序（Graded Lexicographical Order, grlex）、反词典序（Graded Reverse Lexicographical Order, grevlex）等。解释不同单项式序对格勒布纳基的结构和计算效率的影响。 最大单项式（Leading Monomial, LM）: 介绍在给定单项式序下，多项式的最大单项式的概念。 2. 格勒布纳基的定义与构造: 格勒布纳基的定义: 形式化定义格勒布纳基，即一个理想 $I$，其最大单项式集合 ${ ext{LM}(f) mid f in I}$ 生成了理想 $I$ 的最大单项式集合。 多项式长除法（Multivariate Polynomial Division）: 介绍多变量多项式长除法的概念，以及其在计算多项式模其他多项式时的作用。 S-多项式（S-Polynomials）: 详细介绍S-多项式的定义，这是构造格勒布纳基的关键工具。 Buchberger算法: 详细阐述Buchberger算法，即基于S-多项式和多项式长除法的迭代过程，用于构造一个理想的格勒布纳基。详细分析算法的步骤、终止性以及计算复杂度。 F4算法与F5算法: 介绍更高效的格勒布纳基计算算法，如F4算法和F5算法，并讨论其相对于Buchberger算法的优势。 3. 格勒布纳基的性质与应用: 理想成员判断: 如何利用格勒布纳基高效判断一个多项式是否属于一个理想。 方程组求解: 消元: 重点介绍如何利用格勒布纳基实现变量的消元，从而将复杂的多变量方程组转化为一系列变量更少（甚至单变量）的方程组，逐步求解。 求解精确解: 当得到一个格勒布纳基时，如何从其结构中提取出方程组的解。特别是当格勒布纳基具有“三角化”形式时，求解将变得直观。 求解近似解: 介绍在数值计算中，如何利用格勒布纳基求解近似解，特别是处理存在退化情况或方程组系数为浮点数时。 理想的基底表示: 格勒布纳基为理想提供了一种“好”的基底表示，使得研究理想的性质更加方便。 其他应用: 简要提及格勒布纳基在模方程（Congruence Equations）、代数几何问题的判定等方面的应用。 第三部分：求解方法的高级理论与计算技巧 在掌握了格勒布纳基的基本理论和算法后，本书将进一步探讨更高级的求解理论与实际计算中遇到的问题。 1. 特征多项式（Characteristic Polynomial）与解的多样性: 商环的结构与解集: 深入分析商环 $k[x_1, dots, x_n] / I$ 的维数与代数簇的维数的关系。 特征多项式: 介绍如何从格勒布纳基计算出与解相关的特征多项式，以及这些多项式如何帮助我们理解解的数量和分布。 多重根与奇异点: 讨论代数方程组可能存在的重根（multiple roots）和奇异点（singular points），以及如何利用代数方法进行检测和分析。 2. 数值代数几何（Numerical Algebraic Geometry）: 数值格勒布纳基: 介绍在数值精度限制下，如何构造和使用格勒布纳基。 解路径跟踪（Homotopy Continuation）: 详细介绍解路径跟踪法，这是一种强大的数值求解代数方程组的方法，特别是对于高次方程组。它通过构造一个“已知”的简单方程组和一个“未知”的复杂方程组之间的连续变形，跟踪解的变化路径，最终得到复杂方程组的解。 复数值解与实数值解: 讨论数值方法在求解复数域和实数域解时的策略与挑战。 3. 特定类型方程组的求解: 线性方程组: 虽然本书侧重于非线性方程组，但仍会简要回顾高斯消元法等线性方程组的经典求解方法，并指出其与非线性方程组求解方法的区别与联系。 多项式系统: 重点关注一般的非线性多项式方程组。 齐次方程组与非齐次方程组: 讨论不同类型的方程组的求解策略。 第四部分：计算实践与应用实例 理论与实践相结合是本书的一大特色。这一部分将着重于实际计算中的考量以及在各领域的应用。 1. 计算软件与库: 介绍常用的符号计算软件: 如Mathematica, Maple, Macaulay2, SageMath等，以及它们在格勒布纳基计算和代数方程组求解方面的能力。 使用示例: 提供使用这些软件进行格勒布纳基计算和方程组求解的实际代码示例。 2. 性能优化与复杂度分析: 算法效率: 讨论格勒布纳基算法的计算复杂度，以及在实际应用中可能遇到的性能瓶颈。 数据结构与并行计算: 简要介绍影响计算效率的因素，以及并行计算在加速求解过程中的作用。 3. 实际应用领域: 机器人学: 运动学逆解问题的求解。 计算机视觉: 几何约束的求解，如多视图几何。 密码学: 公开密钥密码系统中的代数问题。 几何建模: 曲线和曲面的交点计算。 物理与工程: 各种模型中的非线性方程组求解。 优化问题: 某些优化问题的临界点求解。 三、 结论 本书《现代代数方程组求解理论与计算方法》力求为读者提供一个系统、深入且实用的代数方程组求解知识体系。通过对基础理论的梳理、核心算法的剖析、高级方法的探讨以及计算实践的指导，本书旨在帮助读者理解代数方程组求解的内在数学原理，掌握解决实际问题的计算工具，并为进一步的深入研究打下坚实的基础。本书的重点在于“求解”这一具体过程，通过介绍一套完整的数学理论和计算框架，来阐释如何有效地处理由多项式方程组所描述的数学问题。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大收获，其实是对数学思维方式的重塑，而不仅仅是知识点的累积。作者在处理某些证明时，会非常坦诚地指出“这是我们目前能想到的最优雅的方法，但也许未来会有更深刻的洞察”。这种开放性的态度，让我意识到数学并非一套已经完成的教条，而是一个不断发展的、充满活力的领域。我特别喜欢书中对“动机”的强调，比如为什么我们需要引入概形（scheme）这个概念？它的出现解决了经典代数几何的哪些根本性矛盾？通过对历史脉络和解决问题的紧迫性的深入挖掘，我不再满足于仅仅记忆定义的符号形式，而是开始思考数学家们是如何进行概念创新的。这种“追溯本源”的阅读体验，让我对整个数学知识体系的内在逻辑有了更深层次的体悟。它让我明白了，那些看似冷酷无情的数学推导，背后蕴含着人类对结构和秩序无尽的渴望。

评分☆☆☆☆☆

这本书，说实话，拿到手的时候我还有点忐忑。我对这类专业性强的数学著作总有一种敬畏感，生怕自己的基础跟不上，最后沦为“看不懂的砖头”。然而，当我翻开第一页，尤其是看到引言部分时，那种感觉立刻就消散了。作者的叙述方式非常精妙，他没有一上来就抛出那些晦涩难懂的定义和定理，而是从一些非常直观、甚至可以说是“古老”的几何问题入手，像剥洋葱一样，层层递进地引入现代代数几何的核心概念。特别是对于那些经典例子——比如椭圆曲线的某些性质——的讲解，简直是教科书级别的清晰。我记得我以前在别的地方学到过相关内容，但总是感觉隔着一层纱，读完就忘。这本书的厉害之处在于，它不仅告诉你“是什么”，更深入地阐述了“为什么是这样”，并且总是在关键节点处穿插一些历史背景或者与其他数学分支的联系。这让整个学习过程不再是枯燥的符号推导，而更像是一场深入探索数学思想源头的旅程。我尤其欣赏作者在处理那些复杂的拓扑结构时，所采用的类比和视觉化描述，这对非专业的读者来说，简直是福音。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，对于那些希望快速获得解题技巧的读者来说，这本书可能不是最优选。它更像是一部“内功心法”的秘籍，而不是速成手册。书中涉及的许多证明步骤需要反复咀嚼，有些章节的难度梯度跳跃较大，确实需要读者投入大量的时间和精力去消化吸收。我个人在阅读过程中，不得不频繁地查阅一些预备知识的参考书，这证明了作者对“当代”的理解是建立在深厚的基础之上的。但是，正是这种不妥协的深度，才保证了这本书的价值能够穿越时间。它不仅仅是描述了某一领域的现状，更像是为后来者搭建了一个稳固的平台，让我们得以窥见更深远的数学景观。这本书的阅读体验是漫长而充实的，它要求你停下来思考，而不是被动地跟随。最终的感受是，读完它，你对“几何”和“代数”的理解已经上升到了一个全新的、更加统一的维度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧设计也给我留下了深刻的印象。在这个信息爆炸的时代，很多专业书籍为了追求内容密度，往往牺牲了阅读体验，字体小、行距密，读久了眼睛生疼。这本书显然在这方面下了不少功夫。纸张的质感非常舒服，不是那种反光的廉价纸，而是略带亚光的质地，即使在光线稍弱的环境下阅读，也不会感到刺眼。更重要的是，公式的排布非常讲究，那些复杂的积分符号、矩阵表达式，都得到了充分的“呼吸空间”。作者似乎深知一个公式如果拥挤地挤在一起，会多么地打击读者的求知欲。每当引入一个新的核心定理，总会有一个独立的段落或者一个清晰的图示来辅助说明，这极大地提高了我的理解效率。说真的，能把如此高深的内容做到兼顾美观和实用，这本身就是一种艺术。我常常带着这本书去咖啡馆，它放在桌面上，本身就是一件赏心悦目的物品，让人更愿意静下心来与之对话。

评分☆☆☆☆☆

我个人特别关注的是书中对“范畴论”引入的恰当性。很多入门级的代数几何书籍，要么为了简化而完全跳过了范畴论，导致读者对现代数学的结构性理解有所欠缺；要么就是过早地将范畴论作为前提抛出来，把初学者直接淹没在抽象的海洋里。这本书的处理方式简直是教科书式的平衡艺术。它将范畴论的工具，比如函子和自然变换，巧妙地融入到具体问题——比如如何从代数结构过渡到几何对象——的讨论中。它不是在讲解范畴论本身有多么优美，而是在展示范畴论是如何作为一把“瑞士军刀”，精准地解决了特定的数学难题。这种“工具的应用导向”的学习路径，让我感到每掌握一个新概念，都能立刻看到它在解决实际问题中的威力，极大地激发了我的学习动力。我甚至会时不时地停下来，回顾一下前面章节是如何铺垫这些抽象结构的，这种前后呼应的设计非常高明。

评分☆☆☆☆☆

本书看点在于目录和参考文献 作者假设你具备了所需知识，几页几页的直接从参考文献上搬过来，错漏很多，若有能看懂此书的水平就该直接去看参考文献

评分☆☆☆☆☆

本书看点在于目录和参考文献 作者假设你具备了所需知识，几页几页的直接从参考文献上搬过来，错漏很多，若有能看懂此书的水平就该直接去看参考文献

评分☆☆☆☆☆

本书看点在于目录和参考文献 作者假设你具备了所需知识，几页几页的直接从参考文献上搬过来，错漏很多，若有能看懂此书的水平就该直接去看参考文献

评分☆☆☆☆☆

本书看点在于目录和参考文献 作者假设你具备了所需知识，几页几页的直接从参考文献上搬过来，错漏很多，若有能看懂此书的水平就该直接去看参考文献

评分☆☆☆☆☆

本书看点在于目录和参考文献 作者假设你具备了所需知识，几页几页的直接从参考文献上搬过来，错漏很多，若有能看懂此书的水平就该直接去看参考文献