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出版者:上海辞书出版社

作者:傅伯诚

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-05-01

价格:4.3

装帧:

isbn号码:9787532609376

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 教育

探秘奇妙的数字世界：一本面向未来的数学探索之旅 图书名称： 《代数之光：从基础到前沿的数学思维导引》 作者： [此处可填入一个富有数学气息的虚构作者名，例如：林宇轩] 出版社： [此处可填入一个严肃的学术出版社名称，例如：群英学社] --- 内容提要：跨越时空的数学对话 《代数之光：从基础到前沿的数学思维导引》并非一本单纯的公式汇编，而是一部旨在点燃读者对数学深层结构好奇心的思想指南。本书的构建逻辑，如同探险家绘制未知的地图，从最坚实的基石出发，逐步攀升至现代数学的巍峨高峰，并最终指向信息时代与未来科学的交汇点。 本书的核心目标是培养读者的“数学化思维”——即如何使用抽象、逻辑和模型来理解和解决现实世界中的复杂问题。我们相信，数学的魅力不仅在于计算的精确性，更在于它所提供的洞察力，这种洞察力能够穿透现象的迷雾，直达事物的本质规律。 全书共分为五大部分，层层递进，结构严谨，旨在为具备一定基础知识的学习者提供一个系统化、深入化的学习路径。 --- 第一部分：逻辑的基石与数的起源 (Foundations of Logic and Number Theory) 本部分是全书的理论发轫之地，我们将暂时搁置复杂的运算，转而聚焦于数学的“哲学”和“语言”。 1. 形式逻辑与证明的艺术： 深入探讨命题演算、谓词逻辑，并引入归纳法、反证法等经典证明技巧。重点分析数学家是如何通过严密的推理链条建立起知识体系的，解析“公理”在构建数学大厦中的不可动摇的地位。 2. 数论的古老回响： 追溯整数的内在美感。内容涵盖欧几里得的素数无穷性证明、最大公约数与最小公倍数的深刻联系、同余理论的引入。我们特别关注费马大定理的百年悬案及其最终的解决思路，展现了基础问题背后蕴含的巨大复杂性。 3. 集合论的“创世记”： 从朴素集合论到公理化集合论的过渡。探讨罗素悖论带来的危机，以及策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）如何为整个数学世界奠定了一个稳固的“栖息地”。通过对无限概念的辨析（如可数无限与不可数无限），挑战读者的直觉边界。 --- 第二部分：代数的广袤疆域 (The Expansive Realm of Algebra) 第二部分是本书的重中之重，它致力于揭示代数结构如何成为描述万事万物变化规律的通用框架。 1. 线性代数的几何直觉： 摒弃纯粹的矩阵运算，本书强调线性代数在几何空间中的直观体现。讲解向量空间、线性变换、特征值与特征向量的几何意义——它们是如何描述旋转、拉伸和投影的。重点解析行列式在体积与定向中的作用，并将其与傅里叶分析初步关联。 2. 抽象代数的结构美学： 从群论的对称性世界出发。本书清晰阐述群、环、域这三大基本代数结构的定义、性质及其相互关系。通过对称群（如二面体群 $D_n$）的实例，让读者理解“抽象”并非脱离实际，而是对现象共性的提炼。这部分内容旨在为更高阶的代数学习（如伽罗瓦理论）打下坚实基础。 3. 多项式方程与根的命运： 探讨从二次方程到一般高次方程的求解历史。深入分析根式解的局限性，并引入代数数和超越数（如 $pi$ 和 $e$）的概念，从而自然过渡到更抽象的代数域扩张理论。 --- 第三部分：变化中的世界：微积分与分析 (The Calculus of Change and Analysis) 本部分将聚焦于“运动”与“积累”的数学语言——分析学，并将其提升到严谨的极限视角。 1. 极限的奠基： 严格重构微积分的$epsilon-delta$定义，强调极限概念的严密性，这是理解连续性、导数和积分的逻辑前提。 2. 微分学的洞察力： 导数不仅仅是斜率，它是事物瞬时变化率的量度。本书将讨论高阶导数在优化问题、物理建模（如牛顿第二定律）中的应用，并介绍泰勒级数，展示如何用多项式逼近复杂的函数，这是数值计算的基石。 3. 积分学的累积力量： 从黎曼积分的构造出发，探讨定积分的几何意义和物理意义（功、面积、体积）。随后，引入勒贝格积分的初步概念，解释为何它在现代泛函分析中具有不可替代的优势，以及它如何更优雅地处理“病态”函数。 4. 常微分方程的动力学： 分析一阶和二阶线性常微分方程的求解方法（如拉普拉斯变换的引入）。重点在于理解微分方程如何作为描述自然界中动态系统的通用语言。 --- 第四部分：空间、形状与不确定性 (Geometry, Topology, and Probability) 数学的视野必须超越一维的直线和二维的平面，拥抱更复杂、更多维度的结构，以及面对随机性的勇气。 1. 几何学的演进： 从欧几里得几何的严谨性出发，探索非欧几何（如球面几何与双曲几何）的构造，展示空间本身属性的可变性。 2. 拓扑学的“橡皮泥几何”： 介绍拓扑学的基本概念，如连通性、紧致性、同胚。通过形象的比喻，阐明拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质，这对于理解空间的基本结构至关重要。 3. 概率论与随机过程： 概率论是现代科学的“第三语言”。本书将概率论置于集合论的框架下进行阐述，区分频率学派与贝叶斯学派的观点。深入探讨大数定律和中心极限定理，解释随机性如何服务于确定性的预测。 --- 第五部分：数学与前沿科技的交汇 (Mathematics at the Frontier) 本书的收官部分，将带领读者展望数学如何驱动当今最前沿的技术发展。 1. 离散数学与计算： 探讨图论在网络分析、路径优化中的应用。深入图灵机模型，理解计算的本质限制（不可解性问题），这是计算机科学的理论根源。 2. 信息论与编码： 从香农的信息熵出发，解析数据压缩和错误纠正码的数学原理。理解“比特”背后的信息量度。 3. 现代密码学与数论的联姻： 详细剖析公钥加密系统（如RSA）的安全性如何建立在数论（大数分解的难度）之上，展示纯粹的数学研究如何直接转化为全球金融和通信安全的基础。 4. 机器学习中的数学骨架： 简要介绍优化理论（梯度下降法）、高维空间中的线性代数应用（主成分分析PCA），以及概率模型（贝叶斯网络）在人工智能算法中的核心地位。 --- 结语：通往无限的阶梯 《代数之光》旨在为读者提供一个坚实且富有启发性的数学世界观。我们希望读者在合上本书时，不仅掌握了知识点，更重要的是，拥有了一套强大的、能够适应未来任何知识挑战的逻辑工具箱。数学不是终点，而是探索未知世界的永恒阶梯。 适合读者： 本科阶段理工科学生、对数学有深入学习兴趣的自学者、希望系统化梳理自身数学知识体系的专业人士。

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