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出版者:安徽大学出版社

作者:黄仿伦

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-8

价格:13.50元

装帧:

isbn号码:9787810524452

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 实变函数
• 高等数学
• 分析学
• 数学分析
• 测度论
• 积分学
• 函数论
• 拓扑学
• 极限

《拓扑学基础与应用》 图书简介 本书旨在为读者构建坚实的拓扑学基础，并深入探讨其在数学和相关科学领域中的重要应用。拓扑学，作为几何学的一个重要分支，研究的是空间在连续变形下保持不变的性质。它以其抽象性和普适性，成为现代数学，尤其是分析学、微分几何乃至理论物理的基石。 第一部分：拓扑空间的建立与基本概念 本部分是全书的理论基础，旨在精确地定义拓扑空间及其核心属性。 第一章：预备知识与集合论回顾 在正式进入拓扑学之前，我们首先回顾必要的集合论工具。这包括对集合、映射（单射、满射、双射）、关系的深刻理解，以及极限、序列和完备性的初步概念。我们还将介绍紧凑性、连通性的直观几何意义，为后续的抽象化做铺垫。特别地，对度量空间的复习是至关重要的，它为引入更一般的拓扑结构提供了直观的参照系。 第二章：拓扑空间的定义与构造 拓扑学的核心在于“拓扑”这一概念。本章将详细阐述如何通过开集的族来定义一个拓扑结构。我们将讨论拓扑的四个基本性质：空集与全集是开集、有限个开集的交集是开集、任意多个开集的并集是开集。随后，我们将深入研究如何由其他结构生成拓扑： 子空间拓扑： 当一个拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 继承了 $X$ 的结构时，如何定义 $A$ 上的子空间拓扑。 商拓扑： 这是构造新空间的关键工具。通过等价关系定义一个集合上的商拓扑，理解商映射的性质及其在几何构造（如圆柱、环面）中的作用。 积拓扑： 针对有限或无限多个空间的笛卡尔积，如何定义一个自然的、符合直觉的拓扑结构，这对于函数空间的研究至关重要。 第三章：连续性、同胚与拓扑性质 本章将拓扑学的核心概念——连续性——从度量空间推广到一般拓扑空间。我们将证明拓扑学中连续性的定义与极限操作的兼容性。 拓扑连续性： 连续映射的拓扑定义（原像下开集的保持性）。 同胚（Homeomorphism）： 这是拓扑学中“形状相同”的严格定义。我们探讨同胚的充要条件，并引入拓扑性质（如连通性、紧致性）的概念，即那些在同胚映射下保持不变的性质。 拓扑空间的基本分类： 利用这些性质，我们开始对不同的拓扑空间进行区分。 第四章：关键拓扑性质的深入探讨 连通性和紧致性是拓扑学中最核心、应用最广泛的两个性质。 连通性： 讨论路径连通性的概念，并证明在 $mathbb{R}^n$ 等欧氏空间中，连通性等价于路径连通性。探讨分离集的分解。 紧致性： 详述开复盖引理（Heine-Borel 定理的推广），理解紧致性在处理极限和连续函数时的强大威力。讨论紧致性在积空间和商空间中的继承性。 第二部分：分离公理与度量空间的回归 虽然拓扑学的目标是抽象化，但许多重要的数学结构（如函数空间）依然依赖于更强的结构——分离性。 第五章：分离公理（Separation Axioms） 分离公理是介于一般拓扑空间和度量空间之间的一个重要桥梁。 $T_1$ 空间： 点是闭集。 豪斯多夫空间（$T_2$ 空间）： 任何两个不同的点都可以被不相交的开集分开。本书强调，所有度量空间都是豪斯多夫空间，并且豪斯多夫空间中紧致子集的性质更为优越。 正则性（$T_3$）与完全正则性（$T_3frac{1}{2}$）： 这些性质与“点和不包含该点的闭集可以被分开”相关，为Urysohn等关键定理奠定基础。 第六章：度量空间与完备性 重新审视度量空间，并将其嵌入到分离公理的框架中。 度量空间的拓扑结构： 讨论由度量诱导出的拓扑结构，证明它是豪斯多夫的。 完备性： 深入分析完备度量空间的概念，包括巴拿赫不动点定理的拓扑几何视角。讨论完备性在求解微分方程和分析中的关键作用。 第三部分：构造性工具与应用前奏 本部分将视角转向如何利用拓扑工具来研究函数空间和更复杂的结构。 第七章：可数性、可积性与函数空间 我们关注那些具有可数性的空间，这些空间在泛函分析中具有特殊地位。 可数性概念： 可数紧性、可数紧致性以及第二可数性（Metrizable Space 的重要特征）。 Baire 范畴定理： 这是一个在完备度量空间中非常强大的工具，用于证明某些函数的性质（如稠密的连续性）。 函数空间基础： 引入连续函数空间 $C(X)$ 的概念，讨论其上的紧致-开收敛拓扑（Compact-Open Topology），这是后续研究均匀收敛和函数空间拓扑结构的起点。 第八章：同伦与基本群（拓扑学的高级展望） 本章是本书通往代数拓扑的门户，主要介绍研究“洞”的方法。 路径与链： 定义空间中的路径，引入路径的乘法和逆运算。 基本群（Fundamental Group）： 构造基本群 $pi_1(X, x_0)$，理解它如何度量空间中环路的可形变性。讨论基本群在区分拓扑空间（例如，区分圆和二维流形）上的能力。 覆盖空间初步： 简要介绍覆盖空间的概念，以及它与基本群之间的深刻联系。 总结 本书力求在抽象性与实用性之间取得平衡。通过对拓扑空间结构的层层剖析，读者不仅能够掌握现代数学分析和几何学所需的全部基本工具，还能为深入研究代数拓扑、微分几何以及几何分析打下坚实的基础。书中的例题和习题经过精心设计，旨在培养读者对拓扑直觉的培养和严格逻辑推理的能力。

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我一直在思考如何才能真正掌握“实变函数”这个领域，这本书给了我答案。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师。作者的写作风格非常细腻，它能够捕捉到学生在学习过程中可能遇到的每一个困惑，并且提前给予解答。我印象最深刻的是，在介绍“极限”和“收敛”的概念时，作者用非常形象的比喻，比如“越来越靠近，但永远达不到”来描述极限，这使得我能够快速地理解这些抽象的概念。而且，书中对每一个例子的选择都非常有代表性，它们不仅能够很好地检验我是否理解了某个概念，更能够展示这些概念的强大生命力。我发现，我越来越愿意花时间去思考书中的习题，因为我知道，每一次思考都是对知识的一次巩固和升华。而且，这本书还提供了一些非常详细的索引和参考文献，这为我进一步深入研究提供了便利。总而言之，这本书让我对实变函数有了全新的认识，它不仅仅是一门课程，更是一种看待数学世界的方式。

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这本书的结构安排非常合理，它遵循着一个清晰的逻辑脉络，从最基本的集合论概念开始，逐步过渡到测度、可测函数、积分，最后涉及到一些更高级的主题，比如收敛定理和$L^p$空间。每一个章节的引入都非常自然，并且与前一章节的内容紧密相连，这使得整个学习过程非常流畅。我特别喜欢书中在介绍定理时，会先给出定理的直观意义，然后再进行严谨的证明。这种“先感性，后理性”的学习方式，让我更容易接受和理解那些抽象的数学结论。例如，在介绍“积分的单调收敛定理”时，作者先用直观的例子说明，当一个函数序列单调递增地趋近于某个函数时，它们的积分的极限也等于那个函数的积分，然后再进行严格的证明。这种处理方式让我能够更好地把握定理的核心思想，并且不容易在复杂的证明过程中迷失方向。此外，书中还包含了一些非常有价值的附录，对一些重要的概念进行了补充和拓展，这为我进一步深入学习提供了便利。

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我最近在阅读这本《实变函数》，不得不说，它确实是一本让我“又爱又恨”的书。爱它的地方在于，它提供了一个完全不同于我们过去接触的经典微积分的视角。在那里，我们习惯于处理连续、光滑的函数，一切都显得那么“规矩”。但实变函数的世界则更加广阔和复杂，它允许我们处理更一般的函数，比如那些几乎处处连续但又包含许多“怪异”性质的函数。这本书在这方面的阐述非常到位，它不仅定义了测度、可测函数等核心概念，更重要的是，它解释了为什么我们需要这些概念。例如，在积分理论部分，作者详细阐述了黎曼积分的局限性，以及勒贝格积分的优越性，这让我大开眼界。我发现，勒贝格积分在处理极限运算和积分顺序交换时，拥有远超黎曼积分的灵活性和普适性。书中对各个定理的证明也相当严谨，很多地方我都需要反复揣摩，但一旦理解了，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。而且，书中还引入了如“几乎处处”、“测度论”等全新的数学语言，这些语言为描述和分析复杂函数集合提供了强大的工具。我尤其欣赏作者在讲解一些抽象概念时，不忘引用一些经典的例子，比如康托尔集，它既是理解测度概念的绝佳载体，也充满了数学上的美感。

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这本书的写作风格非常吸引我，它不像一些教科书那样枯燥乏味，而是充满了生命力。在学习过程中，我常常会感觉到作者似乎在我身边，用一种非常耐心和友好的方式引导我一步步深入。书中对每一个概念的定义都力求精确，并且会详细解释这个定义的由来和意义，这让我感觉自己不仅仅是在背诵公式，而是在理解数学的真谛。例如，在介绍“测度”概念时，作者并没有直接给出抽象的定义，而是先从长度、面积、体积这些我们熟悉的几何概念入手，然后逐步推广到更一般的集合上的“大小”的度量，并清晰地阐述了公理化测度的好处。我认为这种“由浅入深”的教学方法对于初学者来说至关重要。此外，书中的习题设计也很有梯度，从基础的巩固性练习到富有挑战性的探索性题目，都能够帮助我全面地检验自己的学习成果。我尝试做了一些中等难度的习题，虽然花费了大量时间，但在解决问题的过程中，我对书中概念的理解也得到了极大的深化。而且，我发现在很多地方，作者都给出了多种证明方法，这让我能够从不同的角度去理解同一个结论，也锻炼了我的数学思维能力。

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我一直在寻找一本能够让我真正理解“实变函数”精髓的书，而这本《实变函数》无疑满足了我的期望。作者的语言风格非常吸引人，它不像很多数学书籍那样生硬和死板，而是充满了智慧和洞察力。我尤其欣赏作者在讲解抽象概念时，总是不忘引用一些生活中的类比或者直观的几何图形，这使得那些原本难以理解的概念，变得清晰易懂。例如，在讲解“集合的测度”时，作者用了“沙漏”的比喻来形象地描述了测度的性质，这让我一下就抓住了测度的核心思想。而且，这本书的排版也相当精美，字体清晰，布局合理，阅读起来非常舒适。我还会注意到书中作者的一些“题外话”，这些小小的提示和建议，往往能够点拨我从更深层次去理解某个数学概念，或者提供一些解题的思路。我还会发现，书中一些关键定理的证明，作者都给出了非常详尽的解释，并且会指出每一步的逻辑依据，这对于我这种需要“知其所以然”的学习者来说，是非常宝贵的。

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我必须说，这本书在处理数学证明方面做得非常出色。它不像某些教材那样，把证明过程隐藏起来，或者只给出关键步骤。相反，这本书的作者非常慷慨地展示了每一个证明的细节，从前提条件的使用，到每一步逻辑推理的清晰展示，都让我感到安心。这对于像我这样在学习过程中需要“步步为营”的学生来说，简直是福音。我尤其喜欢它在证明一些复杂定理时，会先给出直观的思路，然后再进行严谨的推导，这种“先有鸡还是先有蛋”的顺序安排，让我在面对看似无从下手的证明时，能够找到一个突破口。例如，在证明勒贝格控制收敛定理的时候，作者先从直观上解释了为什么在满足一定条件的情况下，函数的积分是可以交换极限的，然后才开始进行严格的证明。这种处理方式让我受益匪浅，因为它不仅让我理解了定理的内容，更重要的是，让我学会了如何去思考和构造数学证明。我还在书中看到了一些非常有启发性的注记，它们通常会解释某个定理的重要性和在数学发展中的作用，这让我对这些抽象的概念有了更宏观的认识，也激发了我进一步探索的兴趣。

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这本书的深度和广度都给我留下了深刻的印象。它不仅仅是介绍了实变函数的基本概念和理论，更重要的是，它展示了这些概念在数学其他分支中的应用。例如，在介绍$L^p$空间时，作者不仅给出了严格的定义和性质，还阐述了它在傅里叶分析、泛函分析等领域的重要作用。这种“融会贯通”的教学方式，让我对实变函数这门课的价值有了更清晰的认识。我尤其喜欢书中对每一个定理的讨论，作者不仅会给出证明，还会分析定理的条件是否能够被削弱，以及如果削弱了会带来什么样的结果。这种对数学的“探索性”的讨论，极大地激发了我的学习兴趣，让我感觉自己不仅仅是在被动地接受知识，而是在主动地参与到数学的创造过程中。我还在书中发现了一些非常有趣的“历史发展”的介绍，比如测度论的起源和发展，以及一些重要的数学家在这个领域做出的贡献。这些背景知识让我在学习理论的同时，也对数学史有了更深的了解。

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实变函数这本书，坦白说，在我拿到它的时候，我的心情是复杂而又充满期待的。作为一名数学专业的学生，我知道这个领域的重要性，它是理解更深层次分析学概念的基石。然而，它那晦涩的名字也预示着我将要面对的挑战。拿到书的那一刻，我被它的厚重和封面设计所吸引，一种严谨而又不失学术美感的风格扑面而来。我迫不及待地翻开了第一页，映入眼帘的是清晰的排版和细致的公式推导。虽然我知道内容会很难，但作者的语言组织能力和逻辑层次感让我感觉，或许这次我能够真正地征服它。我尤其喜欢书中在介绍新概念时，都会先给出直观的几何解释，然后再进行严格的代数论证，这种循序渐进的方式大大降低了我的畏难情绪。而且，书中穿插的一些历史典故和数学家的小故事，也让我在枯燥的理论学习中得到一丝慰藉，仿佛在与这些伟大的头脑进行跨越时空的对话。我还在书中看到了一些在其他分析学教材中不常见但却非常实用的例子，这让我对这些抽象的概念有了更深刻的理解，也为我解决实际问题提供了思路。总而言之，这本书给我的第一印象是非常积极的，它让我看到了通往更深奥数学世界的希望。

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读完这本书，我最大的感受是，它成功地将一个听起来非常抽象和艰深的数学领域，变得相对易于理解和掌握。作者在写作过程中，仿佛时刻都在考虑读者的感受，力求用最清晰、最简洁的语言来阐述复杂的概念。我印象最深刻的是书中对“可测函数”的定义，它不仅仅是给出数学公式，更重要的是，通过对比非可测函数的存在，突出了可测性在构建积分理论中的关键作用。这种对比式的讲解方式，让我能够更深刻地理解为什么我们需要这样的定义。而且，书中的图示和例子也非常贴切，它们不仅仅是装饰，而是真正帮助我理解抽象概念的工具。例如，在介绍“测度空间”时，书中提供了一些形象的图例，帮助我理解集合的“大小”是如何被度量的，即使是那些形状不规则的集合。我认为，这本书对于那些想要深入了解实变函数，但又担心被高深理论吓倒的读者来说，是一个绝佳的选择。它不仅提供了扎实的理论基础，更重要的是，它培养了读者对数学的兴趣和探索精神。

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我最近在学习这本书，我发现它在阐述某些概念时，使用了非常独特的视角。比如，在介绍“积分”的时候，我们通常想到的是黎曼积分，即把区间分成小块，求和然后取极限。但是，这本书则从“测量”的角度来理解积分，它将函数看作是一种“密度”，而积分则是对这个“密度”在整个区域上的累积求和。这种“测度”的视角，让我对积分有了全新的认识，也为理解更高级的积分理论奠定了基础。我尤其欣赏作者在处理一些“反例”时，会详细地分析这些反例出现的根源，并且说明为什么现有理论在这些情况下会失效，以及如何通过改进理论来克服这些困难。这种严谨的科学态度，让我对数学的认识更加深刻。而且，这本书的排版也非常舒适，字体大小适中，行间距合理，阅读起来不会感到疲劳。我会在学习累的时候，翻阅一下书中的一些“历史背景”介绍，这些小插曲让我的学习过程更加丰富和有趣。

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