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出版者:西安交通大学出版社

作者:程正兴

出品人:

页数:342 页

译者:

出版时间:2000年01月

价格:15.0

装帧:平装

isbn号码:9787560512297

丛书系列:

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• 计算数学
• 学术
• 数值分析
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数值逼近与常微分方程数值解 内容简介 本书旨在深入浅出地探讨数值分析的核心领域——数值逼近理论与常微分方程的数值求解方法。我们期望为读者构建一个扎实的理论基础，并辅以丰富的计算实践，使其能够理解和掌握现代科学计算中不可或缺的关键技术。本书内容涵盖了从基础的函数逼近到复杂的微分方程组求解，力求在理论的严谨性与应用的广泛性之间取得平衡。 第一部分：数值逼近理论 数值逼近是数值分析的基石，它研究如何用简单的函数（如多项式、样条函数等）来近似表示复杂的函数，以及在数值计算中如何处理误差。本部分将系统地阐述数值逼近的理论框架和常用方法。 第一章：函数的逼近 本章将介绍几种主要的函数逼近方法。我们将从最基础的多项式逼近入手，探讨泰勒展开及其局限性。随后，我们将深入研究最佳平方逼近，这是一种在统计意义上最优的逼近方式，它通过最小化逼近误差的平方和来寻找最佳逼近函数。我们将介绍正交多项式（如勒让德多项式、切比雪夫多项式）在最佳平方逼近中的重要作用，并推导相应的逼近算法。 接着，我们将介绍最佳一致逼近（也称为切比雪夫逼近），它旨在最小化逼近误差的最大值，从而确保在整个定义域内达到尽可能均匀的逼近效果。我们将讨论米歇尔（Michel）定理等关键理论，以及如何利用Remez算法等迭代方法来求解最佳一致逼近问题。 此外，本章还将介绍插值的概念，即找到一个函数（通常是多项式）恰好通过给定的离散数据点。我们将详细讲解拉格朗日插值多项式的构造和性质，并分析其在实际应用中的优点和缺点，特别是高次插值可能带来的龙格（Runge）现象。为了克服这一困难，我们将引入牛顿插值多项式，它通过分差表的方式更加直观且易于计算，并且具有递推性，便于增加插值点。 第二章：样条函数逼近 样条函数以其“分段光滑”的特性，在数据拟合和函数逼近领域扮演着至关重要的角色。本章将详细介绍各种类型的样条函数。 我们将从线性样条和二次样条开始，理解它们的基本构造和连续性要求。随后，我们将重点阐述三次样条，这是一种最常用的样条函数。我们将详细推导三次样条的定义条件，包括连续性、一阶导数连续性、二阶导数连续性以及边界条件（如自然三次样条、固定三次样条等）。我们将介绍如何通过求解一个大型线性方程组来构造三次样条插值函数，并讨论其在平滑曲线和数据插值中的优势。 本章还将触及B样条的概念，它提供了一种更加灵活和高效的构造样条函数的方式，尤其在计算机图形学和CAD领域有着广泛的应用。我们将介绍B样条的基函数、控制点以及相关的性质，并说明B样条如何实现局部控制和形状调整。 第三章：有理函数逼近与Padé逼近 多项式逼近在处理某些具有奇点或渐近行为的函数时可能面临困难。本章将介绍有理函数逼近，即用两个多项式的比值来逼近函数。我们将讨论有理函数逼近的理论基础，以及如何构建逼近函数。 在此基础上，我们将深入研究Padé逼近，这是一种特殊的有理函数逼近方法。Padé逼近通过匹配函数泰勒展开式的高阶项来构造有理函数逼近，其收敛性通常优于同次数的多项式逼近，尤其是在函数具有极点的情况下。我们将介绍Padé表的构造及其性质，并讨论Padé逼近在函数展开和数值分析中的应用。 第四章：函数逼近的误差分析 在任何数值计算中，误差分析都至关重要。本章将关注函数逼近的误差。我们将引入误差的定义，并讨论截断误差和舍入误差的概念。 对于多项式逼近，我们将分析拉格朗日插值多项式的余项，并利用中值定理给出一个上界。我们将研究最佳平方逼近的误差性质，并分析其与函数本身的平滑度之间的关系。对于最佳一致逼近，我们将深入探讨切比雪夫定理，并利用该定理来刻画最佳逼近的性质和误差界。 此外，本章还将介绍最优插值的概念，它与最佳逼近有所不同，旨在使插值误差的范数最小。我们将讨论Sobolev空间等更高级的数学工具，以便更精确地分析函数逼近的误差。 第二部分：常微分方程数值解 常微分方程（ODE）的数值解是解决许多科学和工程问题（如物理模拟、化学反应动力学、生物过程建模等）的关键。本部分将详细介绍求解常微分方程初值问题的各种数值方法。 第五章：单步法（一） 本章将介绍最基础的常微分方程数值解方法——单步法。我们将从最简单的欧拉法（向前欧拉法和向后欧拉法）开始，详细推导其算法，并分析其局部截断误差和全局截断误差。我们将通过具体的算例，直观地展示欧拉法的收敛性和精度。 为了提高精度，我们将介绍改进欧拉法（斜率法），它通过使用两个点上的斜率的平均值来近似斜率，从而获得更高的精度。 第六章：单步法（二） 本章将深入介绍一类非常重要的单步法——Runge-Kutta方法。我们将从二阶Runge-Kutta方法（如梯形法、中点法）开始，理解其核心思想是通过多次计算函数导数值来达到更高的精度。 我们将重点详细阐述四阶Runge-Kutta方法（RK4），它是工程和科学计算中最常用的Runge-Kutta方法之一。我们将详细推导RK4的四个阶段的计算步骤，并分析其精度和稳定性。我们将提供使用RK4求解常微分方程的详细算例，并与欧拉法进行比较，展示其显著的精度提升。 本章还将介绍高阶Runge-Kutta方法的构造原则，并讨论Clebsch-Gordan系数等概念，为读者进一步深入研究提供线索。 第七章：多步法 与单步法不同，多步法在计算当前步的解时，会利用前面多步的计算结果。这通常可以带来更高的精度和效率。本章将介绍几种经典的多步法。 我们将首先介绍Adams-Bashforth方法（显式多步法）和Adams-Moulton方法（隐式多步法）。我们将推导这些方法的公式，并分析它们的收敛阶和稳定性。我们将强调隐式方法在处理刚性方程组时可能存在的优势。 此外，本章还将介绍预测-校正方法，它结合了显式方法（预测）和隐式方法（校正）的优点，可以在提高精度的同时保持一定的计算效率。 第八章：常微分方程组的数值解 许多实际问题可以用一个或多个耦合的常微分方程组来描述。本章将讨论如何将前面介绍的单步法和多步法推广到求解方程组。 我们将以一个二阶方程组为例，演示如何将其转化为一个一阶方程组，并应用各种单步法和多步法进行求解。我们将讨论方程组求解中的维度灾难问题，以及如何选择合适的数值方法来应对不同特性的方程组。 第九章：微分方程的稳定性与刚性问题 在数值求解常微分方程时，稳定性是一个至关重要的问题。如果数值方法不稳定，即使初始误差很小，计算结果也可能迅速发散，导致完全错误。本章将深入探讨数值方法的稳定性概念，包括局部稳定性和全局稳定性。 我们将介绍截断误差的传播以及它如何影响解的准确性。我们将重点讨论刚性方程组的概念，即方程组中不同尺度的时间演化速度差异巨大。刚性方程组对传统的数值方法（如欧拉法和标准Runge-Kutta方法）具有挑战性，容易导致数值不稳定。 本章将介绍线性多步法和隐式Runge-Kutta方法等专门用于处理刚性问题的数值方法，例如向后微分公式（BDF）。我们将解释这些方法的原理，以及它们如何在数值上获得更稳定的解。 第十章：边界值问题 除了初值问题，常微分方程还存在边界值问题，即方程的解需要在两个或多个点上满足特定的条件。本章将介绍求解边界值问题的常用数值方法。 我们将介绍打靶法，它将边界值问题转化为一系列初值问题，通过迭代调整初值来满足边界条件。我们还将介绍有限差分法，它将微分方程及其导数用差分近似来代替，从而转化为一个大型代数方程组求解。我们将分析有限差分法的精度和稳定性，并讨论其在实际应用中的优缺点。 应用与展望 本书在内容组织上，力求逻辑清晰，由浅入深。每一章都配有概念讲解、理论推导和实例分析。我们强调理论与实践相结合，鼓励读者通过编程实现所学的数值方法，并在实际问题中进行验证。 数值逼近和常微分方程数值解是科学计算领域的核心工具，其应用范围极其广泛，涵盖了物理学、工程学、金融学、生物学、医学等众多学科。随着计算能力的不断提升和算法的持续发展，这些方法将继续在推动科学研究和技术创新中发挥关键作用。本书旨在为读者打下坚实的理论基础，引导他们掌握这些强大的计算工具，并为未来更深入的学习和研究做好准备。

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作为一名数学本科高年级的学生，我一直试图寻找一本能衔接理论基础和实际编程实现之间的桥梁。这本书在这方面做得非常出色。它在介绍完算法原理后，经常会附带一些伪代码或者算法的结构描述，这极大地帮助了我将数学模型转化为计算机可执行的代码。我尝试着跟着书中的步骤，自己动手实现了一个牛顿迭代法来求解非线性方程组，整个过程非常顺畅。更让我惊喜的是，作者在讨论计算效率时，并没有停留在渐近复杂度的讨论上，而是引入了实际计算时间和内存占用的考量，这在很多纯理论的书中是看不到的。这种对计算实践的关注，让这本书的指导意义大大增强，真正做到了“学以致用”。

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这本书的难度曲线设置得非常巧妙，它似乎考虑到了不同知识背景读者的需求。开篇部分对于数值逼近的基础概念铺陈得非常扎实，即便是初次接触数值分析的同学也能快速入门，建立起对误差、收敛性等基本术语的准确理解。但随着章节的深入，它对有限元方法的引入和对偏微分方程时间离散化的讨论，立刻将读者的思维导向了更前沿的研究领域。这种从基础到前沿的渐进式学习路径，使得它既可以作为一本高质量的本科教材，也能充当研究生和青年研究人员的案头参考书。我特别欣赏作者的严谨性，每一个定理的提出都伴随着清晰的证明思路或关键引理的引用，保证了知识体系的内在逻辑的完整和可靠。

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我是一个偏向应用数学背景的研究生，这本书的后半部分关于常微分方程数值解的部分，简直是为我量身定做的。特别是对高精度Runge-Kutta方法的详细推导和稳定性区域的图示分析，做得极其到位。很多教材只是简单地列出公式，但这本书却深入挖掘了每种方法背后的限制和适用场景。我记得我曾经在处理一个刚性ODE系统时遇到了收敛困难，查阅了许多资料都没能找到满意的解释。而这本书中关于隐式方法的稳定性分析，清晰地揭示了问题所在，并给出了选择BDF（后向微分公式）族方法的理由。这种结合了理论深度和工程实用性的叙述风格，让我觉得物超所值。它不仅仅是一本教科书，更像是一本“疑难解答”手册，能有效指导我在实际计算中做出最优选择。

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坦率地说，这本书的排版和印刷质量也给我留下了深刻的印象。在阅读大量数学公式时，清晰的符号表示和合理的间距至关重要。这本书的公式编辑得非常规范，无论是上标、下标还是希腊字母，都清晰可辨，这极大地减少了阅读中的认知负荷。此外，书中大量的图表，比如误差随步长变化的对数坐标图、特征值区域图等，都制作得非常精美且富有信息量。它们不仅仅是公式的视觉补充，更是理解某些抽象概念（比如数值积分的精度阶次）的有效工具。我通常习惯在书页空白处做笔记，这本书的纸张厚度适中，墨水不易洇开，这对于我这种习惯深度阅读和批注的读者来说，是一个非常贴心的设计。

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这套书真把我带入了一个全新的数学世界。刚翻开前几页，就被作者深入浅出的讲解方式深深吸引了。他没有急于抛出复杂的公式，而是用非常直观的例子来阐述数值分析的核心思想。比如，在讲到误差分析时，作者居然引用了工程上的实际案例，让我立刻明白了理论知识在实际应用中的重要性。我之前对数值方法总有一种畏惧感，觉得它们太过抽象，但这本书完全打破了我的固有印象。它更像是一位经验丰富的导师，手把手地带着你一步步构建起对这些复杂概念的理解框架。无论是插值算法的收敛性探讨，还是迭代方法的稳定性分析，都被讲解得井井有条，层次分明。读完第一部分，我感觉自己对数值计算的内在逻辑有了前所未有的清晰认识，对后续内容的学习也充满了信心。

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