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出版者:中国青年出版社

作者:任勇

出品人:

页数:552 页

译者:

出版时间:2002-7

价格:18.0

装帧:平装

isbn号码:9787500647935

丛书系列:

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知识的殿堂：数学思维的深度探索与应用 书籍名称： 知识的殿堂：数学思维的深度探索与应用 目标读者： 对数学原理有强烈好奇心，寻求超越应试技巧，深入理解数学思想精髓的自学者、对数学有更高要求的非数学专业学生，以及希望拓展思维边界的职场人士。 --- 第一部分：逻辑的基石与严谨的结构 (The Foundation of Logic and Rigorous Structure) 本书并非旨在教授解题的“套路”，而是致力于构建扎实的逻辑思维框架，这是所有高等数学乃至科学研究的根基。我们将从最基础的数学哲学出发，探讨公理化体系的建立及其内在的严密性。 第一章：数学的本质与思维的演进 1.1 概念的起源：从直觉到形式化 探讨人类如何从对数量和形状的感性认识，逐步过渡到抽象的数学符号系统。重点解析“数”和“形”的哲学基础，以及集合论作为现代数学通用语言的地位。 深度解析： 为什么皮亚诺公理能够构建自然数体系？哥德尔不完备性定理对数学绝对真理观的冲击与反思。 1.2 逻辑推理的艺术：演绎、归纳与反证法 系统梳理经典逻辑规则，并着重分析在数学证明中的实际应用。我们将超越简单的“如果A那么B”，深入探讨量词（全称与存在）的精确使用及其对结论的决定性影响。 案例剖析： 欧几里得几何证明的结构美学，以及在微积分早期发展中对“无穷小”进行反证法处理的经典案例。 第二章：代数结构的抽象之美 2.1 群论初探：对称性的语言 介绍抽象代数中最基础的概念——群。不拘泥于复杂的计算，而是聚焦于群在描述自然界和工程领域对称性中的强大威力（例如，晶体结构、密码学基础）。 应用视角： 如何用群论的视角重新审视基础代数运算（如乘法群、加法群）的内在联系。 2.2 环与域：数字系统的扩展与限制 深入研究环和域的结构，理解不同代数系统（如整数环、有理数域、实数域、复数域）的特性差异，特别是“除法”这一关键操作在不同系统中的可行性限制。 对比分析： 为什么我们必须引入虚数$i$来解决特定二次方程的解集问题？其背后的结构需求是什么？ --- 第二部分：空间的几何与维度的扩展 (Geometry of Space and Dimensional Expansion) 本部分将带领读者跳出二维平面，进入多维空间，理解几何学如何成为描述物理实在和数据结构的核心工具。 第三章：拓扑学的奇特世界：不变量的追求 3.1 连续形变的艺术：拓扑的视角 介绍拓扑学作为“橡皮泥几何”的核心思想，重点讲解连续映射、同胚（Homeomorphism）的概念。我们将使用非专业语言解释拓扑不变量，如连通性和孔洞（Genus）。 趣味实验： 著名的莫比乌斯带和克莱因瓶的构造与内在矛盾，以及如何用拓扑方法区分不同形状的物体，而无需测量长度或角度。 3.2 欧氏空间之外：非欧几何的革命 回顾欧几里得几何的第五公设，并探索当该公设被修改时（如双曲几何和椭圆几何），空间结构会发生何种根本性变化。 物理关联： 黎曼几何的简要介绍，解释其在广义相对论中描述时空弯曲的必要性。 第四章：线性代数：多维世界的通用坐标系 4.1 向量空间与线性变换：几何的代数描述 超越矩阵的运算，重点理解向量空间作为抽象解空间的意义。解析线性变换如何通过矩阵表示，实现对空间（旋转、拉伸、投影）的精确操作。 核心能力培养： 掌握特征值和特征向量的几何意义——它们是描述线性系统“不变方向”的关键。 4.2 正交性与分解：信息压缩与降维 深入探讨内积空间和正交基的概念。解析傅里叶分析和主成分分析（PCA）的数学基础，理解它们如何高效地分解复杂信号或数据集。 --- 第三部分：变化、不确定性与无穷 (Change, Uncertainty, and Infinity) 本部分着重于处理动态系统、极限过程以及概率的本质，这些是现代科学和金融工程的驱动力。 第五章：微积分的极限哲学 5.1 动态的精确描述：导数的本质 探讨微积分的起源——牛顿与莱布尼茨对“瞬时变化率”的深刻洞察。我们将严格审视“极限”的 $varepsilon-delta$ 定义，理解其在数学上消除模糊性的威力。 深度应用： 泰勒级数展开：如何用多项式函数来“逼近”任何光滑函数，以及这在数值计算中的关键作用。 5.2 累积与总和：积分的几何与物理意义 理解定积分作为黎曼和极限的本质，及其在计算面积、体积、功或质心方面的普遍适用性。 对比分析： 讨论定积分与不定积分之间的基本关系（微积分基本定理）的深刻内涵。 第六章：概率论与信息：从随机性到决策 6.1 贝叶斯思维：更新你的信念 区别于古典概率，本书重点介绍贝叶斯统计学的核心——如何根据新的证据（数据）修正我们对事件发生概率的先验认知。 案例推演： 详细解析贝叶斯定理在医学诊断和垃圾邮件过滤等实际场景中的应用逻辑。 6.2 随机过程与马尔可夫链：预测未来的模型 介绍随机过程（如布朗运动）如何描述随时间演变的随机现象。重点讲解马尔可夫链的“无后效性”假设，及其在网络排名算法（如PageRank）中的核心作用。 --- 结语：数学的桥梁作用 本书的最后一部分将总结数学作为一种通用语言和解决问题的工具，如何连接看似不相关的学科。它鼓励读者将所学到的严谨逻辑和抽象思维应用于日常生活、职业挑战和跨学科研究中，将数学视为一种强大的思维“操作系统”，而非仅仅是一门学科。本书的目标是培养一种能力：看透现象背后的结构，并用清晰、严谨的数学语言去表达和解决复杂问题。

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我尝试过好几本不同版本的数学复习资料，很多都存在一个通病：要么是起点太高，直接跳过基础讲解，导致我这个基础薄弱的学生跟不上；要么就是讲解过于冗长，把一个简单的概念讲得像一篇学术论文。这本书恰好找到了一个完美的平衡点。它的难度曲线设计得非常平滑，真正做到了“由浅入深，循序渐进”。最初的几章，它会用非常基础的例子来确保你对每一个基本运算规则都了如指掌，这种回归本源的讲解方式，让我重新审视了那些我以为自己早就掌握的知识点，发现了不少曾经忽略的细微偏差。随着章节的推进，难度才会慢慢攀升，引入一些需要综合运用知识的题目。这种扎实的地基加上逐步攀登的结构，让我对自己数学能力的提升有了非常清晰的认知。它不是那种能让你一夜暴富的“秘籍”，但它绝对是那种能帮你一步一个脚印，稳健迈向高分的“金钥匙”。对于希望系统性梳理、查漏补缺的同学来说，它的价值无可替代。

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这本书简直是中考数学的救星！我记得我拿到手的时候，还抱着将信将疑的态度，毕竟市面上的复习资料太多了，质量更是参差不齐。但这本书的编排方式真的让人眼前一亮。它没有那种堆砌知识点的枯燥感，而是非常注重实用性和针对性。尤其是在基础概念的梳理上，作者似乎特别懂得中学生在哪些地方容易“卡壳”。举个例子，像函数图像的平移、二次函数的最值问题，这些内容往往是很多同学的失分点。这本书的处理方式不是简单地罗列公式，而是通过非常形象的比喻和步骤拆解，让你一下子就能理解背后的逻辑。我最欣赏它的一点是，它并没有一味追求高难度的“偏题怪题”，而是紧密围绕中考的考点和题型进行深度挖掘。每一章节的配套练习，难度设置也非常合理，从基础巩固到能力提升，层层递进，让人感觉每做完一章，自己的数学思维就得到了实质性的锻炼。那种“豁然开朗”的感觉，是其他很多资料给不了的。如果你想在中考数学上稳扎稳打，这本书绝对是值得信赖的伙伴，它真的做到了把“实用”二字贯彻到底。

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我这次暑假给自己定了个目标，就是把初中数学的几何部分彻底搞明白，因为我发现自己总是图形题丢分严重。偶然间听同学推荐了这本资料，抱着试试看的心态翻开了，结果发现里面的解题技巧简直是“神来之笔”。特别是对于空间想象力要求较高的立体几何部分，作者竟然能用如此简洁明了的语言来描述那些复杂的空间关系。我记得我以前看教材时，光理解题意就要花半天时间，但这本书里配的那些示意图和辅助线画法，简直是直击灵魂。它不只是告诉你怎么算，更重要的是教你如何“看”图形。比如在处理圆的有关计算题时，它会强调“构建模型”，引导你去思考隐藏的等腰三角形或者相似三角形。这种思维导图式的讲解，让原本抽象的几何概念变得具体可感。而且，这本书的章节划分非常科学，不像有些资料那样把所有几何知识混在一起，而是清晰地分块突破，让我可以针对性地巩固薄弱环节。我已经把那些经典的例题和变式训练都做了好几遍，现在再看那些几何题，心里就踏实多了，有种胸有成竹的感觉。

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说实话，我是一个对代数式和方程组特别头疼的人，尤其是涉及到应用题，题目稍微一长，我就不知道该从哪里下手设未知数。但是，这本书在处理应用题这块的处理方式，完全颠覆了我的固有印象。它不是那种冷冰冰的“设未知数x，列方程y”的机械流程。相反，它引入了一种“情景分析法”。在每一个应用题的示例前，它会先用大段文字清晰地剖析这个应用题背后的现实情景，帮你把题目中的关键信息、数量关系梳理清楚。比如，关于工程问题，它会让你先在脑海里建立“工作总量=效率×时间”的等式模型，而不是急着去设变量。这种“先理解情境，后构建模型”的步骤，极大地降低了应用题的阅读门槛。我发现，只要我能把题目的“故事”弄明白，设未知数和列方程就成了水到渠成的事情。这本书的巧妙之处就在于，它把数学语言和生活语言完美地结合起来了，让数学不再是脱离实际的空中楼阁。对于害怕应用题的同学来说，这本书简直就是一座心灵的“重建桥梁”。

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这本书的排版设计也值得称赞，它不像很多复习资料那样黑白灰挤在一起，让人一看就觉得压力山大。这本书的用色和布局非常清新，关键知识点和易错点都有特定的颜色和图标来突出显示，视觉引导性很强。我是一个比较依赖视觉记忆的人，这种设计对我帮助太大了。在知识点总结部分，它采用了一种类似思维导图的结构，用流程图把各个定理和公式串联起来，而不是单纯的列表。比如在讲解概率与统计这一块，它把“列举法”、“树状图”和“列表法”之间的关系梳理得非常清晰，让你一眼就能看出什么时候该用哪种方法最省力。更贴心的是，在一些比较复杂的计算步骤中，它会用小小的“温馨提示”框出来，提醒读者注意符号运算的细节或者陷阱。这种细节上的关注，体现了编者对学生的真正理解。长时间面对试卷式的复习材料容易产生疲劳感，但这本书的阅读体验相对愉悦，让人更愿意主动去翻阅和学习。

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