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出版者:高教分社

作者:许在库，赵明

出品人:

页数:231

译者:

出版时间:2006-8

价格:22.00元

装帧:

isbn号码:9787030158352

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 计算机实验
• 数学软件
• 数值计算
• MATLAB
• Mathematica
• Maple
• 科学计算
• 理工科
• 大学教材

编程驱动的数学探秘：离散结构与计算思维的交织 书籍名称： 离散数学基础与算法设计 内容简介： 本书旨在为读者构建坚实的离散数学理论框架，并深度探索这些抽象概念在现代计算机科学与工程实践中的具体应用。它超越了传统离散数学教材对纯理论的罗列，而是以“计算思维”为核心驱动力，将逻辑、集合、图论、组合数学以及代数结构等关键领域，紧密地与算法设计、数据结构实现和问题求解能力相结合。 第一部分：逻辑与证明——计算世界的基石 本部分从命题逻辑和一阶谓词逻辑出发，系统阐述了形式化推理的原理与方法。我们着重探讨了逻辑系统的完备性与可靠性，并将其应用于程序正确性证明的初步探索。不同于仅停留在真值表的分析，本书将逻辑推理转化为可执行的程序验证步骤，例如使用归纳法（数学归纳法与强归纳法）来论证递归算法的终止性和正确性。 重点内容： 如何将自然语言描述的问题转化为精确的逻辑公式；如何利用推理规则进行自动推理的初步构想；递归定义的理解与应用。 第二部分：集合、函数与关系——数据世界的抽象模型 本章深入探讨集合论的基础，但着眼于其在数据模型构建中的作用。我们将集合视为任何数据结构的底层支撑，并详细分析各种函数的性质（单射、满射、双射）如何对应于数据转换过程中的信息保持性与覆盖性。关系代数和等价关系的概念，被直接引入到数据库理论和抽象数据类型（ADT）的定义中。特别是对偏序集（Poset）和格（Lattice）的讨论，为理解层次结构和信息流提供了强大的数学工具。 重点内容： 集合运算在数据合并与筛选中的应用；关系矩阵的构建及其在图的表示中的角色；对有限集与无限集的基数比较，为复杂度分析中的渐近行为打下基础。 第三部分：图论——网络与连接的几何学 图论是离散数学中最具应用价值的分支之一，本书将图论的学习完全嵌入到算法设计流程中。我们不仅讲解了图的基本概念（路径、连通性、平面图），更侧重于讲解经典算法的理论基础： 连通性与遍历： 深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的原理，以及它们在网络拓扑分析、迷宫求解中的应用。 最短路径问题： 迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford）的精确推导，并分析其在有向无环图（DAG）中的优化可能性。 树结构与应用： 最小生成树（MST）的普里姆算法（Prim）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal）的贪婪策略分析；应用 AVL 树和红黑树等平衡树结构来理解动态数据的维护效率。 网络流与匹配： 最小割-最大流定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）的直观解释，及其在资源分配和调度问题中的建模。 第四部分：计数与概率——随机性与信息量化 本部分聚焦于组合数学，这是理解算法在大量输入下性能的关键。我们详细讲解了排列、组合、鸽巢原理，以及生成函数（Generating Functions）和递推关系（Recurrence Relations）的解法。 递推关系求解： 如何将动态规划问题（如斐波那契数列、背包问题）转化为线性齐次或非齐次递推关系，并利用特征方程求解，从而获得算法运行时间的封闭形式表达式。 概率基础： 引入离散概率空间，侧重于计算随机算法（如快速排序的平均性能）的期望时间复杂度。 第五部分：代数结构——抽象数据类型的形式化 本章将代数结构视为抽象数据类型的形式化描述。群论（Group Theory）被用来分析对称性和变换。我们着重探讨模运算（Modular Arithmetic）在密码学（如 RSA 加密的基础）和哈希函数设计中的核心作用。环（Rings）和域（Fields）的概念，为理解有限域上的运算和纠错码提供了理论支撑。 学习目标与特色： 本书的特色在于“实践导向的严谨性”。每章末都设计了大量需要结合编程实现（如 Python 或 Java 伪代码）来验证理论的习题。读者不仅需要证明某个算法的正确性，还需要量化其效率（时间与空间复杂度），并将抽象的图结构实例化为内存中的数据结构。本书旨在培养读者将复杂的工程问题，通过离散数学的语言进行精确建模，并利用计算工具进行高效求解的能力。它强调的是“如何用数学语言思考计算问题”，而非仅仅记忆公式和定理。

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坦白说，我一开始对“计算机实验”这类书籍是持保留态度的，总觉得它们会牺牲数学的严谨性来换取表面的酷炫。然而，《高等数学计算机实验》完全颠覆了我的看法。它的内容组织极其严谨，实验的设计并非随意的编程练习，而是紧密围绕着高等数学中的核心概念展开。例如，书中讲解如何使用计算机进行泰勒级数展开的近似计算时，它不仅展示了代码如何运行，还详细分析了不同阶数下误差的变化趋势，这无疑加深了对“无穷小”和“收敛性”的理解。我个人认为，这本书的作者显然对教学法有深刻的理解，他们知道如何通过交互式的计算环境来攻克那些最顽固的学习难点。这本书最吸引我的地方在于，它鼓励读者去“试错”，去修改参数，观察结果，从而建立起一种动态的、主动的学习习惯。它提供了一整套方法论，让你在面对更复杂的、书本上没有的标准问题时，也能依靠自己构建的计算模型去迎刃而解。

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这本书的编排思路，可以说是彻底的“去繁就简”与“重塑认知”相结合的典范。它似乎是为那些在传统课堂上感到挫败的读者量身定制的救生圈。我记得有一次为了弄懂定积分的广义应用，我反复在草稿纸上画图，但总感觉抓不住核心。直到我在书上找到了对应的实验环节，用编程语言模拟了黎曼和的求和过程，并且逐渐增加分割的份数，清晰地看到了曲线下面积的逼近过程，那一刻，困扰我多时的迷雾瞬间消散了。这种“眼见为实”的学习体验，是任何枯燥的文字描述都无法比拟的。全书的逻辑流畅，从基础的函数分析过渡到更复杂的多元函数处理，每一步都设计得非常自然，读者不需要有深厚的编程背景也能跟上节奏。它传达的信息是：高等数学不是高高在上的理论，而是可以被我们手中的工具所掌控和运用的强大力量。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位耐心而高明的导师，引导我们跨越理论与实践的鸿沟。

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对于我这种更偏向应用侧的理工科学生而言，传统的《高等数学》教材往往过于侧重于严密的逻辑推导和抽象证明，导致在解决实际工程问题时，总感觉手中握着的工具不够趁手。《高等数学计算机实验》完美地填补了这一空白。这本书的结构设计非常巧妙，它似乎是把整个高等数学体系重新“编码”了一遍，使其能够被现代计算平台所理解和执行。例如，在处理矩阵运算和特征值分解时，它不仅仅是罗列公式，而是深入讲解了背后的算法效率和数值稳定性问题，这对于未来从事数据分析或者建模工作的人来说，是极其宝贵的经验。我用书中的方法对一个简单的振动模型进行了仿真，结果清晰地显示了不同参数对系统稳定性的影响，这种直接的反馈机制，比仅仅通过计算行列式是否为零来判断要深刻得多。这本书的价值在于，它将“计算”这个环节提升到了与“推导”同等重要的地位，真正教会我们如何驾驭高等数学这头猛兽。

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拿到这本厚厚的《高等数学计算机实验》时，我的第一反应是：这下可真要“玩”数学了。以往的高数教材都带着一股浓厚的“学院派”气息，严肃得让人提不起精神，而这本书明显是面向新时代读者的——它充满了实战的火药味。它没有用冗长晦涩的语言去解释那些已经被证明了上百年的定理，而是开门见山地告诉你，面对一个实际问题，比如优化一个工程设计参数，我们应该调用哪些数学工具，以及如何通过计算机高效地实现它。我特别喜欢它对数值方法介绍的那几章，比如用有限差分法求解微分方程，这在纯理论学习中常常是一笔带过，但在实际工程应用中却是至关重要的。书中提供的代码示例不仅清晰，而且组织得非常好，注释到位，即便是初次接触编程的人也能很快上手。最让我感到震撼的是，当书中的实验结果与我们手工推导的结果完美契合时，那种成就感是无与伦比的。这本书真正做到了“用数学解决问题”，而不是“为数学而学习数学”。

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这本《高等数学计算机实验》的出现，简直是为我们这些在数学海洋里挣扎的苦命人点亮了一盏明灯。我记得我刚开始接触这门课程的时候，那些抽象的公式和繁琐的计算简直能让人抓狂，尤其是涉及到多变量微积分和线性代数里的那些复杂操作，脑子里一团浆糊。这本书的精妙之处在于，它没有仅仅停留在理论的讲解上，而是实实在在地把我们带入了计算机操作的实战环节。每当书里介绍了一个新的数学概念，紧接着就会有一个配套的实验环节，手把手地教你如何用编程语言（比如Python或MATLAB，具体用哪个得看实际内容）去模拟、去求解。这种“知其然，更知其所以然”的学习过程，比单纯的刷题有效率高出百倍。我尤其欣赏它在可视化处理上的深度，那些原本只能在纸上画的曲线、曲面，在实验中可以被立体地呈现出来，让你对极限、导数、积分的几何意义有一个非常直观的认识。这不仅仅是学会了一门软件操作，更是对高等数学核心思想的一次深度重塑。对于希望将理论与实践紧密结合，真正掌握现代数学工具的读者来说，这本书简直是不可多得的宝典。

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