高等代数学习指导与习题详解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:杨振华

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页数:455

译者:

出版时间:2005-9

价格:17.50元

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isbn号码:9787561332900

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抽象代数的深度探索：群、环与域的结构解析 本书导读： 本书旨在为学习抽象代数（Abstract Algebra）的读者提供一本结构严谨、内容详实的参考读物。它聚焦于代数结构中最核心的三个概念：群（Groups）、环（Rings）和域（Fields），并力求在概念的引入、定理的证明以及例题的选取上，达到理论深度与直观理解的完美平衡。 我们深知，抽象代数是数学学科中一座需要攀登的高峰。其抽象性往往令初学者望而却步。因此，本书的核心理念是通过精心的组织和详尽的阐释，将晦涩的数学语言转化为清晰的逻辑路径，引导读者逐步掌握现代代数学的精髓。本书并非一本单纯的习题解答手册，而是致力于构建一个完整的、相互关联的知识体系，帮助读者真正“理解”代数结构的美感与力量。 --- 第一部分：群论基础——对称性的语言 本部分是整个抽象代数学习的基石。我们从最基本的代数结构——群开始，探讨其公理化定义及其在不同领域中的具体体现。 第一章：群的基本概念与例子 1.1 群的定义与基础性质： 首先，我们将严谨地定义一个群所需的四个基本公理（封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性）。接着，我们将推导出所有群都具有的基本性质，例如单位元的唯一性、逆元的唯一性，以及左消去律和右消去律。 1.2 重要的群实例： 为了帮助读者建立直观认识，我们引入了一系列重要的群实例： 整数加法群 ($mathbb{Z}, +$)： 最直观的阿贝尔群。 非零有理数乘法群 ($mathbb{Q}^, imes$)： 展示了乘法结构下的封闭性。 对称群 ($S_n$)： 这是理解非阿贝尔群的关键。我们详细讨论 $S_3$ 和 $S_4$ 的结构，特别是置换的乘法和循环分解。 二面体群 ($D_n$)： 作为几何对称性的代数表示，是理解生成元和关系式表示法的绝佳起点。 一般线性群 ($ ext{GL}_n(F)$)： 矩阵代数中最重要的群结构，为后续的模和表示论打下基础。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 2.1 子群的判定与性质： 如何从一个大群中“提取”出具有相同结构的小群？本章详细阐述子群的充要条件，并区分正规子群和一般子群的本质区别。 2.2 陪集（Cosets）： 陪集的引入是理解群作用和商群结构的关键步骤。我们详细讨论左陪集和右陪集的定义、性质，以及它们如何对原群进行划分。 2.3 拉格朗日定理及其推论： 拉格朗日定理——“子群的阶整除群的阶”——是群论中最具威力的定理之一。我们将提供其清晰的证明，并立即应用该定理得出重要推论，如： 群中任意元素的阶整除群的阶。 任何阶为素数的群必为循环群。 欧拉定理和费马小定理的群论证明。 第三章：群同态、同构与正规子群 本章将群论从集合结构提升到代数结构之间的映射关系。 3.1 群同态与同构： 我们定义保持群运算的映射——同态（Homomorphism）。重点在于同构（Isomorphism）的概念，它意味着两个群在结构上是完全等价的。我们提供了判定两个群是否同构的若干标准（例如，阶、生成元数量、元素阶的分布等）。 3.2 核（Kernel）与像（Image）： 同态的核是群同构理论的灵魂所在，它总是群的一个正规子群。我们深入探讨核与像之间的关系。 3.3 商群（Factor Groups）与第一同构定理： 当一个子群是正规子群时，我们可以在其上构造出商群，这是一个在保留代数结构的同时简化了原群结构的结构。第一同构定理（或称基本同构定理）将同态、核、像与商群联系起来，构成了理解代数结构分解的基础框架。 第四章：群的作用与西洛夫定理 4.1 群在集合上的作用： 群作用将抽象的代数结构与具体的几何或排列对象联系起来。我们定义了群作用的两个基本性质（兼容性与单位元作用）。 4.2 轨道与稳定子： 通过群作用，集合被划分成互不相交的轨道（Orbits）。对于轨道上的任一点，其稳定子（Stabilizer）给出了对该点具有保持作用的元素集合。轨道-稳定子定理是计算群作用中特定结构数量的强大工具。 4.3 西洛夫定理（Sylow Theorems）： 这是有限群论中最强大的结构分析工具。本书将详细介绍西洛夫第一、第二和第三定理： 第一定理： 保证存在阶为素数幂 $p^k$ 的子群（西洛夫 $p$-子群）。 第二定理： 保证所有西洛夫 $p$-子群相互共轭。 第三定理： 提供了西洛夫 $p$-子群数量的精确计算公式，该公式是判断群是否为阿贝尔群或单群的关键依据。 --- 第二部分：环论——拓展的代数结构 群论主要处理一个二元运算，环论则引入了第二个运算，使得结构更加丰富，更接近于我们熟悉的数域。 第五章：环的基本概念与构造 5.1 环的定义与例子： 环是在加法群的基础上，引入一个满足结合律和分配律的乘法运算的代数结构。我们将区分交换环和非交换环，单位环和无单位环。重点分析 $mathbb{Z}$（整数环）、多项式环 $F[x]$ 和矩阵环 $M_n(F)$ 的结构。 5.2 子环与理想（Ideals）： 类似于子群，我们定义了子环。更重要的是理想，它是环中“吸收”乘法元素的重要概念，对应于群论中的正规子群。我们将区分左理想、右理想和双边理想。 5.3 商环（Quotient Rings）与同态： 理想使得构造商环成为可能，这与群论中的商群结构高度平行。环同态的性质和第一同构定理在环论中得到了完美的继承和推广。 第六章：特殊的环结构与域 本章聚焦于那些在代数和数论中具有特殊意义的环。 6.1 整环（Integral Domains）： 我们引入了零因子（Zero Divisors）的概念，并定义整环为无零因子的交换环。我们将探讨 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 作为典型例子。 6.2 域（Fields）： 域是最“完全”的环结构，其中所有非零元素在乘法下都有逆元。我们探讨有限域（如 $mathbb{Z}_p$）和特征（Characteristic）的概念。 6.3 主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）与欧几里得整环（Euclidean Domains）： 我们将研究那些具有良好除法性质的环。欧几里得整环（如 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$）是PIDs，而PIDs又是唯一因子分解整环（UFDs）的特例。我们通过欧几里得算法来展示这些结构的相互包含关系。 --- 第三部分：域论与伽罗瓦理论的预备 本部分开始接触代数在求解方程中的应用，这是抽象代数最激动人心的部分之一。 第七章：域的扩张（Field Extensions） 7.1 域扩张的基本概念： 给定一个域 $F$，域 $E$ 如果包含 $F$ 且 $E$ 本身也是一个域，则称 $E$ 是 $F$ 的扩张。我们引入扩张次数 $[E:F]$ 的概念，并使用构造多项式环 $F[x]$ 来生成新的扩张域。 7.2 代数元与超越元： 一个元素 $alpha in E$ 如果是某个以 $F$ 中元素为系数的多项式的根，则称 $alpha$ 为代数元。我们详细分析最小多项式的概念及其在构造域扩张中的核心作用。 7.3 构造有限域： 利用不可约多项式，我们可以明确地构造出任意阶为素数幂 $p^n$ 的有限域 $ ext{GF}(p^n)$，这对于密码学和编码理论至关重要。 --- 总结与展望： 本书通过清晰的逻辑链条，从最基础的对称性（群）到更复杂的算术结构（环），再到对多项式方程根的研究基础（域），为读者构建了一个坚实的抽象代数知识框架。对每个关键定理，我们不仅提供了严格的证明，更结合了丰富的、具有代表性的例子，确保理论学习能够扎根于可操作的数学对象之上。完成本书的学习，读者将具备深入研究更高阶代数分支（如表示论、代数几何或伽罗瓦理论）的必备素养。

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这本厚厚的书摆在书桌上，光是看着就让人觉得脊背挺得更直了些。我拿到它的时候，其实对“高等代数”这个词心里还是有点打鼓的，毕竟它听起来就充满了各种抽象的概念和复杂的公式。但是，当我真正翻开第一页，开始阅读那些对基本概念的解释时，心里的不安感渐渐消退了。作者显然非常清楚初学者的困惑点在哪里，他们不是简单地罗列定义和定理，而是用一种近乎“对话”的方式来引导你进入这个数学领域。比如，在讲到线性空间的构造时，作者没有直接抛出公理系统，而是先从向量、矩阵这些具象的例子入手，慢慢引导读者理解为什么需要这些公理，这些公理背后隐藏着怎样的几何直觉。这种层层递进的讲解方式，让那些原本晦涩难懂的理论知识，变得可以触摸、可以理解了。特别是那些几何意义的阐释，非常到位，仿佛给冰冷的数学公式注入了灵魂。

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我之前在自学高代时，最大的障碍就是概念之间的相互关联性不强，总感觉像是在啃一堆孤立的知识点。这本书的编排结构，巧妙地解决了这个问题。它不是简单地按照教材的章节顺序进行罗列，而是引入了一种基于“核心主题”的串联方式。例如，在线性变换和矩阵对角化这一部分，作者会反复回顾前面学过的内积空间、特征值等概念，并用更高级的视角去整合它们，让你清晰地看到知识是如何层层递进、相互支撑的。这种结构上的匠心，极大地提升了我的宏观把握能力。当我合上书本，尝试在大脑中构建整个高等代数的知识地图时，发现这本书已经帮我铺设好了主要的干道和次级分支，这对于建立稳固的数学知识体系至关重要。它培养的不仅仅是解题技巧，更是数学思维的框架。

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这本书的阅读体验，从装帧设计到排版细节，都体现出一种严肃而友好的态度。纸张的质量很好，长时间阅读眼睛也不容易疲劳，这对于动辄需要花费数小时攻克一个章节的学习者来说，是一个非常贴心的设计。更重要的是，字体和图表的清晰度极高。高等代数中涉及大量的分数、矩阵和希腊字母，任何模糊不清的印刷都可能导致理解上的偏差。这本书在这方面做得非常到位，每一个符号都清晰锐利，特别是那些手写体的向量符号，区分得非常明确。此外，书中的例题和习题的编号系统设计得十分合理，方便在查阅或者与同学讨论时快速定位。总的来说，它不仅仅是一本学习工具书，更像是一位陪伴你度过高代学习“攻坚战”的可靠伙伴，让人感到踏实和信赖。

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对于那些准备参加专业考试的读者来说，这本书的价值更是难以估量。我注意到，书后附带的那些模拟测试卷和历年真题的解析部分，其深度和广度都远超一般参考书。解析部分不仅仅是给出步骤，而是深入到“考察意图”的层面。比如，一道关于正交基变换的题目，解析会详细分析出这道题考察的是学生对施密特正交化过程的理解程度，以及在具体计算中如何避免舍入误差。这种深层次的解读，让我在做题时不再是被动地套用公式，而是主动地去揣摩出题人的意图，从而更好地组织自己的解题策略。读完这些解析，我感觉自己不再是仅仅在应对“一道题”，而是在学习一个“知识点”的完整应用场景。这对于提升考试的应变能力和拿到高分，无疑起到了决定性的作用。

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说实话，我接触过不少数学学习资料，很多都存在一个通病：理论讲得头头是道，但一到实际应用或习题环节就戛然而止，留给学生一个“自己悟去”的尴尬局面。然而，这本书在这方面做得实在太出色了。它不仅仅是“指导”和“详解”，它更像是一个耐心的陪练。我尤其欣赏它在每一个章节末尾设置的那些“陷阱题”分析。这些题目往往是教科书里不会明确指出的，但却是考试中最容易失分的地方。作者会把一个常见的解题误区剖析得淋漓尽致，不仅告诉你“为什么这样做是错的”，更重要的是告诉你“正确的思路应该是什么样的”，并且会追溯到最初的原理去论证。这种对细节的打磨，让我感觉作者是真正站在一个经历过无数次考试和教学失败的老师的角度来编写这本书的。每一次攻克一个难题，都会有一种被“点拨开”的豁然开朗的感觉，这远比单纯记住答案要来得有价值。

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