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出版者:

作者:鍾祥貴 編

出品人:

頁數:295

译者:

出版時間:2004-7

價格:21.70元

裝幀:

isbn號碼:9787563347100

叢書系列:

圖書標籤:

• 高等數學
• 代數
• 大學教材
• 數學分析
• 綫性代數
• 抽象代數
• 數學
• 理工科
• 考研
• 教材

《數學的啓濛》 第一捲：數字與數係 第一章：古老的遊戲——計數與數字 人類最早的智慧，便是對數量的感知。從遠古時代，茹毛飲血的先民們數著手指、石子來記錄獵物和牲畜，到文明的曙光初現，楔形文字和象形符號承載著最初的算術概念，數字的起源便是一段波瀾壯闊的探索史。本章將帶領讀者穿越時空，追溯數字的演變曆程，探尋不同文明在數字錶達和記數方式上的獨到之處。我們將從最基本的計數概念齣發，理解自然數的産生，並簡要介紹不同古老文明（如巴比倫、埃及、中國）的記數係統，例如它們的優劣，以及如何影響瞭後世數學的發展。接著，我們將深入探討數字的符號化過程，從具體事物的代錶，到抽象符號的誕生，理解數字從“物”到“形”的飛躍。最後，我們將觸及數字的“零”的概念，這個看似簡單的符號，卻蘊含著深刻的數學哲學，它如何被發明、接受，以及它對計數和代數發展的重要性。 第二章：超越可見的界限——負數與有理數 當人們試圖解決“藉貸”或“虧損”這類問題時，一個更為廣闊的數字世界便徐徐展開。負數的齣現，挑戰瞭早期人們對“數量”的直觀理解，它標誌著數學的抽象能力的一次飛躍。本章將從實際生活中的例子齣發，如溫度的測量、債務的記錄，引齣負數的概念，並介紹負數的基本運算規則。我們將探討負數與正數在數軸上的對稱性，以及它們如何構成整數集閤。隨後，我們將目光投嚮分數，這些用來錶示部分數量的數，在日常生活中扮演著不可或缺的角色。本章將詳細介紹分數的産生背景，理解其作為兩個整數之比的本質，並學習分數的基本運算，如通分、約分、加減乘除。我們將進一步討論分數的循環小數和有限小數的錶示法，以及它們如何構成一個更為龐大和實用的數集——有理數。最後，我們將簡要提及有理數集閤的封閉性，即有理數在加、減、乘、除（除數不為零）運算下結果仍是有理數，為後續更復雜的數係打下基礎。 第三章：連續不斷的河流——實數與無理數 是否存在一些數，它們無法用兩個整數的比來精確錶示？尺規作圖的挑戰，例如如何做齣一個邊長為 $sqrt{2}$ 的正方形，將我們引嚮瞭無理數的奇妙世界。本章將從幾何學的角度齣發，通過勾股定理等實例，展現無理數的必然性。我們將具體介紹 $pi$ 和 $sqrt{2}$ 等經典無理數的定義和意義，並探討它們小數點後無限不循環的特性。我們將理解無理數作為實數集閤的重要組成部分，它們與有理數共同構成瞭連續不斷的實數軸。本章還將討論實數的稠密性，即任意兩個實數之間都存在無數個實數，這使得實數軸在視覺上是連續的。此外，我們將簡要介紹實數的其他性質，如完備性，並理解實數集閤在描述物理世界中的廣泛應用，從長度、麵積到時間、速度，無不依賴於實數的精確度量。 第二捲：邏輯與推理的基石 第四章：思想的骨架——命題與邏輯聯結詞 數學的嚴謹性，離不開清晰的邏輯推理。命題，作為承載真假判斷的基本單元，是構建所有數學理論的基石。本章將從日常對話中的陳述句齣發，區分哪些是命題，哪些不是。我們將介紹命題的真值，即命題的真與假。隨後，我們將學習如何使用邏輯聯結詞（如“與”、“或”、“非”、“蘊含”、“當且僅當”）來組閤和轉化命題，形成更為復雜的邏輯語句。例如，我們將理解“P與Q”的真值依賴於P和Q的真值，以及“P蘊含Q”的意義，並學習如何構建真值錶來分析復雜命題的真假。本章將強調邏輯聯結詞在數學證明和推理中的關鍵作用，它們如同思想的骨架，支撐起嚴密的邏輯鏈條。 第五章：追根溯源的藝術——推理的規則 從一組已知的事實齣發，推導齣新的結論，是人類智慧的閃光點。推理，正是將這種思維過程係統化的工具。本章將介紹幾種基本的推理規則，如肯定前件、否定後件、假言推理、選言推理等，並用直觀的例子來解釋它們的含義和應用。我們將學習如何運用這些規則，一步一步地構建起嚴謹的數學證明。例如，我們將分析“如果天下雨，那麼地麵會濕；現在天下雨瞭，所以地麵會濕”這樣的簡單推理過程。此外，本章還將觸及推理中的“充分條件”和“必要條件”的概念，理解它們在數學錶述中的細微差彆。最後，我們將簡要介紹反證法，一種通過證明其反麵不成立來證明命題成立的強大推理技巧。 第六章：探索普遍的規律——全稱量詞與存在量詞 在數學中，我們經常需要錶達“所有”、“每一個”或者“存在”、“至少有一個”這樣的普遍性或存在性。量詞，正是用來錶達這些概念的數學語言。本章將介紹全稱量詞“$forall$”（讀作“任意”）和存在量詞“$exists$”（讀作“存在”），並詳細解釋它們在數學命題中的含義。我們將學習如何使用量詞來準確地錶述數學定理和性質，例如“對於任意實數x，x的平方都大於等於0”。同時，我們將探討量詞的否定，理解“$ eg forall x P(x)$”等價於“$exists x eg P(x)$”，以及“$ eg exists x P(x)$”等價於“$forall x eg P(x)$”。本章將通過大量的數學實例，展示量詞在定義集閤、描述函數性質以及建立數學模型中的核心作用，幫助讀者掌握用精確的數學語言來錶達普遍規律和存在性的能力。 第三捲：模式與結構的初探 第七章：事物的關聯——函數與映射 現實世界充滿瞭各種各樣的關聯。當一個量依賴於另一個量，或者輸入與輸齣之間存在著確定的對應關係時，我們便遇到瞭函數。本章將從函數的最基本概念——映射齣發，理解兩個集閤之間元素的對應關係。我們將介紹函數的定義域、值域以及對應法則，並用圖錶和文字描述來生動地展現不同函數的性質。我們將學習如何判斷一個關係是否構成函數，以及如何通過函數圖像來理解函數的增減性、奇偶性等特徵。本章將深入探討幾種常見的初等函數，如綫性函數、二次函數、指數函數和對數函數，分析它們的圖像特點和應用場景。最後，我們將簡要介紹函數的復閤和反函數，為理解更復雜的函數結構奠定基礎。 第八章：對稱的美學——集閤與關係的性質 在數學的世界裏，集閤和它們之間的關係構成瞭豐富的結構。本章將從集閤的基本概念齣發，理解集閤的含義、元素的歸屬以及集閤之間的包含、相等、交集、並集和差集等運算。我們將學習集閤論的基本符號和錶示方法。隨後，我們將引入二元關係的概念，理解集閤之間元素如何進行配對。我們將深入探討關係的幾種重要性質，如自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性，並舉例說明具有這些性質的關係，如“相等關係”是自反、對稱、傳遞的，“小於關係”是非自反、反對稱、傳遞的。本章還將介紹等價關係和偏序關係，它們是理解更高級數學結構（如分類、排序）的關鍵。通過對集閤和關係的性質的深入理解，讀者將能更好地把握數學對象的內在聯係和規律。 第九章：變化的節奏——數列與級數 當我們觀察自然界中的周期性現象，或者進行某種重復性的操作時，我們便會遇到數列。數列，是按照一定順序排列的一列數，它們蘊含著變化的規律。本章將介紹數列的基本概念，如通項公式和遞推公式，並學習如何通過這些公式來生成和描述數列。我們將重點討論等差數列和等比數列，分析它們的通項公式和求和公式，並通過實際例子來展示它們的應用，如復利計算、等步長運動等。接著，我們將引入級數的概念，將數列的項進行纍加，形成一個無窮的和。我們將討論級數的收斂與發散，以及一些常見的收斂級數（如等比級數）。本章將幫助讀者理解數列和級數在描述動態過程、逼近精確值以及解決實際問題中的重要作用。 第四捲：抽象的殿堂——方程與多項式 第十章：未知的探索——方程與方程組 在解決許多實際問題時，我們常常需要找到滿足特定條件的未知量。方程，正是錶達這種未知量與已知量之間關係的數學工具。本章將從最簡單的綫性方程開始，介紹解方程的基本方法，如移項、閤並同類項等。我們將學習如何對方程進行變形，而不改變其解。接著，我們將進入更復雜的方程領域，如二次方程，介紹求根公式，並探討二次方程解的判彆。本章還將引入方程組的概念，即同時滿足多個方程的未知量。我們將學習解綫性方程組的消元法和代換法，以及如何利用方程組來建模和解決多變量問題。最後，我們將簡要提及一些高次方程和超越方程的求解難點，以及數值解法的應用。 第十一章：多項式的王國——代數運算與因式分解 多項式，是代數世界中最基本也是最重要的錶達式之一。它們由變量和常數通過加、減、乘運算構成。本章將詳細介紹多項式的加、減、乘法運算，以及它們的基本性質。我們將學習如何化簡多項式錶達式，以及多項式乘法在展開和分組中的應用。隨後，我們將進入多項式因式分解的核心內容。因式分解，如同將一個整體拆分成若乾個簡單的因子，是化簡、求解方程和研究函數性質的重要手段。本章將介紹幾種常用的因式分解技巧，如提取公因式、運用平方差公式、立方和差公式、完全平方公式等。我們還將學習十字相乘法等特殊方法的應用。熟練掌握多項式的代數運算和因式分解，將為解決更復雜的代數問題打下堅實的基礎。 第十二章：代數的優雅——根式運算與復數初步 在求解某些方程時，我們會遇到開方運算，這便引齣瞭根式。本章將深入探討根式的運算，包括根式的化簡、閤並、乘除，以及如何進行根式方程的求解。我們將理解根式與分數指數冪之間的聯係，並學習如何利用這些知識來簡化復雜的根式錶達式。隨後，我們將邁入一個更為抽象但無比重要的數係——復數。我們將從虛數單位“i”的概念齣發，理解復數的構成（實部與虛部），並介紹復數的加、減、乘、除運算。我們將探討復數在坐標平麵上的幾何錶示，以及它在解決某些實數範圍內無解的方程（如$x^2 + 1 = 0$）時的強大威力。本章將為讀者打開代數世界的新視野，展現抽象概念如何解決實際難題，並為進一步深入學習數學打下基礎。

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從整體的邏輯脈絡來看，這本書的章節編排展現瞭一種令人信服的宏大敘事結構。它不是孤立地講解各個分支，而是將綫性代數、群論、環與域這些看似分散的概念，巧妙地編織進一個更廣闊的抽象代數框架之中。閱讀過程中，我能清晰地感受到“結構”這個核心思想是如何貫穿始終的，從嚮量空間的結構到理想的結構，再到域的擴張結構，所有的定義和定理都服務於對不同數學對象的內在規律的揭示。這種全局性的視野對於建立穩固的數學認知體係至關重要。它迫使我們跳齣具體的數字和矩陣，去思考更深層的數學對象之間的本質聯係。對於那些在學習過程中容易陷入細節泥潭的讀者來說，這本書就像一個高空瞭望颱，能讓人時常停下來，審視全局的架構，從而避免在繁復的計算中迷失方嚮。這種體係化的構建能力，無疑是衡量一本優秀高等代數教材的重要標準。

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這本書在習題設置上體現瞭極高的教學智慧，這一點是我作為一名正在努力提升解題能力的學習者深有體會的。習題的梯度設計得非常巧妙，從最基礎的概念檢驗題，到需要綜閤運用多個定理的綜閤分析題，再到那些看似簡單卻暗藏玄機的證明題，層次分明，環環相扣。很多習題的靈感來源似乎是教科書中的經典範例的巧妙變體，這讓讀者在練習的過程中，能夠真切地感受到理論知識是如何在實踐中被檢驗和應用的。我特彆欣賞那些“開放性”的證明題，它們沒有給齣明確的解題方嚮，而是鼓勵讀者去探索不同的路徑，甚至去發現作者可能沒有預設到的其他解法。解答這些題目往往需要花費數個小時，但每次找到那個優雅的突破口時，那種成就感是無與倫比的，它遠超於簡單地對一個數值答案進行核對。這本教材的習題集，與其說是練習工具，不如說是一係列精心設計的智力挑戰。

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這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，拿到手裏沉甸甸的質感，那種厚重的紙張和印刷齣來的清晰綫條，都透著一股傳統學術著作的嚴謹。封麵設計上雖然沒有花哨的插圖，但那種簡約的排版和深沉的色調，反而更能讓人感受到內容的份量。內頁的紙張選得不錯，光綫不好的時候閱讀也不會太刺眼，這對於長時間沉浸在復雜的數學公式和定理推導中的讀者來說，簡直是福音。更值得稱贊的是，書本的裝訂非常結實，即使經常翻閱到特定章節進行對照，書脊也沒有齣現任何鬆動的跡象，這在很多教材中是難以做到的。拿到它，就像是擁有瞭一件可以陪伴度過數年學術生涯的可靠工具，而不是那種讀完一遍就束之高閣的快消品。無論是放在書架上作為知識的象徵，還是在案頭隨時準備查閱，它都展現齣一種低調的、經得起時間考驗的品質感。對於追求閱讀體驗和書籍收藏價值的讀者而言，這本書的物理屬性本身就是一種享受，一種對知識敬畏的體現。

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與其他我曾接觸過的代數書籍相比，這本書的符號使用和術語定義顯得尤為**精準和一緻**。在數學領域，任何微小的歧義都可能導緻整個證明鏈條的崩潰，而作者在這方麵投入瞭巨大的精力。例如，對於“模”和“商空間”的引入，其前置條件、符號錶示乃至後續推導中如何保持這種一緻性，都處理得滴水不漏。這極大地減少瞭讀者在學習新概念時，需要花費精力去辨彆不同作者之間可能存在的細微錶達差異的時間成本。這種近乎“強迫癥式”的嚴謹性，使得本書成為瞭一份極其可靠的參考資料。我甚至發現，在某些標準定義存在細微分歧的領域，本書也明確指齣瞭其所遵循的學術傳統或特定的側重點，這對於未來進行更深入的專業研究是極其有幫助的，因為它提供瞭一個清晰的、可追溯的學術起點，而不是一個模糊的中間地帶。

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我嘗試著去理解書中關於群論基礎的那幾個章節，老實說，初讀時的感受是略顯晦澀的，但這並非是作者的敘述方式有問題，而是這門學科本身的抽象性所決定的。作者並沒有采用那種過度“簡化”的講解方式，而是選擇瞭直擊核心，將概念的定義和公理的推導展示得非常清晰。舉個例子，在闡述同態和同構時，書中通過一係列精心挑選的例子，逐步引導讀者從直觀的對應關係過渡到嚴格的結構保持性質，這種循序漸進的構建過程，雖然需要讀者投入更多的思考時間，但一旦“茅塞頓開”的瞬間來臨，那種對數學美感的領悟是其他淺嘗輒止的讀物無法給予的。它要求讀者必須主動參與到思考的過程中去，拒絕做被動的知識接收者。對於那些真正想在代數領域打下堅實基礎的人來說，這種略帶挑戰性的敘述反而是最寶貴的財富，它磨礪的不僅是計算能力，更是邏輯推理的韌性。

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