1. Motivation and preliminaries ............................... 1
1.1 Notation and basic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Sets and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Countable and uncountable sets in R ................. 4
1.1.3 Topological properties of sets in R .................... 5
1.2 The Riemann integral: scope and limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Choosing numbers at random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Measure .................................................... 15
2.1 Null sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Outer measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Lebesgue-measurable sets and Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Basic properties of Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.1 Probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.2 Events: conditioning and independence . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.3 Applications to mathematical finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Measurable functions ....................................... 55
3.1 The extended real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Lebesgue-measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.1 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.2 σ-fields generated by random variables . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.3 Probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.4 Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.5 Applications to mathematical finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4. Integral ..................................................... 75
4.1 Definition of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Monotone convergence theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Integrable functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 The dominated convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 Relation to the Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Approximation of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.1 Integration with respect to probability distributions . . . . 105
4.7.2 Absolutely continuous measures: examples of densities . . 107
4.7.3 Expectation of a random variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.7.4 Characteristic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7.5 Applications to mathematical finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.8 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5. Spaces of integrable functions ............................... 125
5.1 The space L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2 The Hilbert space L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.1 Properties of the L2-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 Inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.3 Orthogonality and projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3 The Lp spaces: completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.1 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.2 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4.3 Conditional expectation (first construction) . . . . . . . . . . . . 153
5.5 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6. Product measures .......................................... 159
6.1 Multi-dimensional Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2 Product σ-fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3 Construction of the product measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4 Fubini’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.5.1 Joint distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Contents xv
6.5.2 Independence again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.5.3 Conditional probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5.4 Characteristic functions determine distributions . . . . . . . . 180
6.5.5 Application to mathematical finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.6 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7. The Radon–Nikodym theorem .............................. 187
7.1 Densities and conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2 The Radon–Nikodym theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.3 Lebesgue–Stieltjes measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3.1 Construction of Lebesgue–Stieltjes measures . . . . . . . . . . . 199
7.3.2 Absolute continuity of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.3 Functions of bounded variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3.4 Signed measures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.3.5 Hahn–Jordan decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.4 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.4.1 Conditional expectation relative to a σ-field . . . . . . . . . . . 218
7.4.2 Martingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.4.3 Doob decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.4.4 Applications to mathematical finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.5 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8. Limit theorems ............................................. 241
8.1 Modes of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.2 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.2.1 Convergence in probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.2.2 Weak law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.2.3 The Borel–Cantelli lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.2.4 Strong law of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
8.2.5 Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.2.6 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.2.7 Applications to mathematical finance . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.3 Proofs of propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Solutions ....................................................... 287
Appendix ....................................................... 301
References ...................................................... 305
Index ........................................................... 307
· · · · · · (
收起)
