Stochastic calculus and applications (Applications of mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Robert James Elliott

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1982

价格:USD 67.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780387907635

丛书系列:

图书标签:

• Stochastic calculus
• Probability theory
• Mathematical finance
• Stochastic processes
• Differential equations
• Martingales
• Brownian motion
• Mathematical modeling
• Quantitative finance
• Applied mathematics

随机微积分与应用 核心内容概览 本书深入探讨了随机微积分这一数学领域，重点关注其理论基础、核心概念以及在众多科学和工程领域中的广泛应用。从随机过程的基本性质出发，逐步构建起随机微积分的理论框架，包括布朗运动、伊藤积分、伊藤引理等关键工具，并详细阐述了它们在解决实际问题中的强大威力。本书旨在为读者提供一个扎实的随机微积分知识体系，使他们能够理解和运用这一强大的数学语言来分析和建模具有随机性的复杂系统。 第一部分：随机过程的基础 在现代科学研究和工程实践中，许多现象的演变都带有内在的不确定性，无法用传统的确定性模型精确描述。随机过程正是为了捕捉和分析这类具有时间演化的随机性而诞生的数学工具。本部分将从随机过程的基本概念入手，为后续的随机微积分学习奠定坚实的基础。 随机变量与概率分布: 我们将从概率论的基石——随机变量开始，回顾其定义、期望、方差等基本性质。重点将放在连续型和离散型随机变量的概率密度函数和累积分布函数，以及它们在描述不确定性方面的作用。在此基础上，将介绍一些重要的概率分布，如正态分布、泊松分布、指数分布等，并探讨它们的实际意义。 随机过程的定义与分类: 随机过程被定义为一系列相互关联的随机变量，它们随时间或其他参数的变化而演变。我们将详细介绍随机过程的数学定义，包括其状态空间和参数空间的概念。在此基础上，将对随机过程进行分类，例如： 马尔可夫过程 (Markov Processes): 强调其“无记忆性”的特性，即未来状态的概率分布仅取决于当前状态，而与过去的状态无关。我们将介绍离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫过程，并讨论它们在状态转移矩阵、稳态分布等方面的分析方法。 平稳过程 (Stationary Processes): 探讨其统计性质不随时间变化的特点。我们将区分弱平稳（或协方差平稳）和强平稳，并介绍如何分析平稳过程的自相关函数，以及它在信号处理和时间序列分析中的重要性。 泊松过程 (Poisson Processes): 重点介绍其在描述单位时间内事件发生次数的模型。我们将阐述泊松过程的泊松分布性质，以及它在排队论、可靠性分析等领域的应用。 高斯过程 (Gaussian Processes): 介绍其所有有限维联合分布都服从正态分布的特性。我们将探讨高斯过程的均值函数和协方差函数，并简述其在机器学习和统计建模中的作用。 布朗运动 (Brownian Motion): 布朗运动是随机微积分中最核心、最基础的随机过程之一，也是连接概率论和微积分的桥梁。我们将对其进行深入的介绍： 定义与性质: 详细阐述维纳过程（标准的布朗运动）的数学定义，包括其路径的连续性、独立增量、正态增量以及均值为零、方差与时间成正比的增量等关键性质。 路径的性质: 探讨布朗运动路径的不可微性、轨迹的处处不连续可导性、分数维性等奇特性质，这些性质是理解随机积分的根本原因。 与物理现象的联系: 简要介绍布朗运动的物理起源，例如气体分子碰撞导致微粒的不规则运动，以及它在物理学、化学、生物学等领域的广泛联系。 第二部分：随机微积分的核心理论 在建立了随机过程的基础之后，本部分将进入随机微积分的核心内容，介绍如何将微积分的工具推广到处理随机过程。核心挑战在于，如前所述，布朗运动等随机过程的路径是高度不规则的，无法直接应用黎曼积分或勒贝格积分。 伊藤积分 (Itô Integral): 伊藤积分是随机微积分中最 fundamental 的概念之一，它是为处理随机过程而设计的积分。 定义与构造: 我们将详细介绍伊藤积分的数学定义，通常是通过“步进函数”逼近的方式来构造，并解释其与普通积分的关键区别。重点将放在伊藤积分的性质，例如其期望为零，以及其方差的计算公式。 随机积分的性质: 探讨伊藤积分作为随机变量的性质，包括其与布朗运动增量的相关性，以及如何在不同时间区间上进行积分。 与风险中性定价的联系: 简要提及伊藤积分在金融数学中的重要性，尤其是在构建和分析期权定价模型中。 伊藤引理 (Itô's Lemma): 伊藤引理是随机微积分的“链式法则”，它允许我们计算随机过程函数的微分。 形式与推导: 详细介绍伊藤引理的数学形式，以及它如何从泰勒展开和伊藤积分的定义中推导出来。特别强调其中新增的二阶导数项，这是由于布朗运动的二次变差（quadratic variation）不为零所致。 应用示例: 通过具体的例子，例如随机过程 $X_t = f(t, B_t)$ 或 $Y_t = g(X_t)$，演示如何运用伊藤引理计算其微分 $dY_t$。 随机微分方程 (Stochastic Differential Equations, SDEs): 介绍伊藤引理是求解和分析 SDEs 的关键工具。SDEs 是描述随机过程演化的基本方程，其形式通常为 $dX_t = a(X_t, t) dt + b(X_t, t) dB_t$，其中 $a$ 是漂移项（drift term），$b$ 是扩散项（diffusion term）。 随机微分方程 (Stochastic Differential Equations, SDEs): SDEs 是随机微积分的直接应用，它们是描述许多动力学系统的数学模型。 基本概念与解的存在性: 介绍 SDEs 的基本构成要素，包括驱动过程（通常是布朗运动）、漂移系数和扩散系数。我们将探讨 SDEs 解的定义，以及在何种条件下 SDEs 存在唯一解。 求解方法与分析: 介绍求解 SDEs 的常用方法，例如通过伊藤引理进行变量替换，以及利用数值方法（如欧拉-马尔可夫方法）近似求解。 与金融建模的联系: 重点介绍 SDEs 在金融数学中的应用，例如 Black-Scholes-Merton 期权定价模型就是基于一个 SDEs。 第三部分：随机微积分的应用 随机微积分强大的理论框架使其在众多学科领域具有广泛而深刻的应用。本部分将重点介绍随机微积分在不同领域的具体应用案例，展示其解决实际问题的能力。 金融数学 (Financial Mathematics): 期权定价 (Option Pricing): 详细介绍 Black-Scholes-Merton 模型如何利用几何布朗运动（一种 SDEs）来描述股票价格的演变，并通过伊藤引理推导出期权定价的解析解。 风险管理 (Risk Management): 介绍如何利用随机微积分来建模和量化金融资产的风险，例如 VaR (Value at Risk) 和 CVaR (Conditional Value at Risk) 的计算。 投资组合优化 (Portfolio Optimization): 讨论如何将随机微积分应用于构建最优投资组合，以在给定风险水平下最大化预期收益。 利率模型 (Interest Rate Models): 介绍 Vasicek 模型、Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 模型等随机模型在描述利率动态变化中的应用。 物理学 (Physics): 统计物理 (Statistical Physics): 探讨随机过程在描述粒子运动、相变等现象中的作用，例如 Langevin 方程在模拟布朗运动中的应用。 量子场论 (Quantum Field Theory): 简要介绍随机微积分在路径积分 formulation 中的角色，以及它在理解量子涨落和随机扰动方面的意义。 流体力学 (Fluid Dynamics): 讨论随机扰动在湍流模型中的应用，以及随机微积分如何用于分析不确定性对流体行为的影响。 工程学 (Engineering): 信号处理 (Signal Processing): 介绍如何使用随机过程模型来描述和分析噪声信号，以及如何利用随机微积分的工具进行滤波和估计。 控制理论 (Control Theory): 探讨如何设计鲁棒的控制器来处理系统中的随机扰动，例如在自适应控制和最优控制中的应用。 可靠性工程 (Reliability Engineering): 介绍如何利用泊松过程等随机模型来描述设备故障的发生，并进行寿命分析和风险评估。 生物学与医学 (Biology and Medicine): 种群动力学 (Population Dynamics): 介绍如何利用随机微分方程来建模和分析种群的增长和衰退，考虑环境的随机变化对种群的影响。 神经科学 (Neuroscience): 探讨随机过程在描述神经元发放、信号传播等方面的作用，以及它们如何影响大脑的功能。 药物动力学 (Pharmacokinetics): 介绍随机模型在描述药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程中的应用，考虑个体差异和环境因素的随机性。 其他领域: 机器学习 (Machine Learning): 介绍随机过程在生成模型、高斯过程回归、强化学习等领域的应用。 环境科学 (Environmental Science): 探讨随机过程在建模天气变化、污染物扩散、生态系统演变等方面的应用。 学习路径与读者定位 本书适合具有扎实微积分基础和概率论知识的本科生、研究生以及对随机过程和随机微积分感兴趣的研究人员和从业人员。对于希望深入理解金融建模、物理系统模拟、工程优化等领域中涉及随机性的问题，并希望掌握定量分析工具的读者而言，本书将是宝贵的资源。通过对本书的学习，读者将能够： 理解随机过程的数学描述和基本性质。 掌握布朗运动的核心概念及其路径的特性。 理解并运用伊藤积分和伊藤引理进行随机分析。 熟悉随机微分方程的建立和基本求解方法。 认识并应用随机微积分在金融、物理、工程等领域的实际问题。 本书通过理论推导与实际应用相结合的方式，力求清晰地阐述随机微积分的精妙之处，并展示其强大的分析能力，帮助读者构建起对这一重要数学分支的全面理解。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

我注意到这本书在引用和参考文献方面做得相当详尽和溯源清晰，这表明作者在编撰过程中进行了非常彻底的文献回顾工作。它不仅仅是在介绍一个领域，更像是在梳理这个领域的发展脉络。每当引入一个重大定理时，总能找到其最初的提出者和关键的改进者。这种历史的维度感非常棒，让人明白了今天的随机微积分是如何一步步建立起来的。通过这些引用，我甚至找到了一些早期更具直觉性的讨论，这对于理解某些晦涩概念的“灵感”来源非常有帮助。不过，对于习惯了查阅最新研究进展的读者而言，这本书的“新近”引用可能略显不足，它更像是一部奠基之作的权威总结，而非紧跟前沿突破的动态报告。它成功地为你打下了坚不可摧的地基，但后续的装修和内部设计，可能还需要读者自己去查阅近十年来发表的期刊文章。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我买这本书更多是冲着它在金融建模领域的“传说”去的，希望能在其中找到一些能够直接应用于期权定价或者风险管理的实用工具箱。然而，这本书的侧重点显然更偏向于基础理论的严谨性构建，而不是快速的“配方式”应用。我花了大量时间去研究布朗运动的各种变体以及伊藤积分的定义和性质。这些内容无疑是构建后续复杂模型的基础，但对于急于出成果的实践者来说，可能会感到有些枯燥和迂回。书中的例子大多是纯数学的，比如关于鞅的收敛性证明或者测度论的铺垫，这使得我对如何将这些理论“翻译”成实际的市场行为描述感到有些困惑。如果书中能穿插更多贴近实际金融市场波动性和跳跃现象的例子，哪怕是简化的，我想读者的代入感会强很多，学习的动力也会更足。它更像是一本扎实的数学系教材，而不是一本应用导向的参考手册。

评分☆☆☆☆☆

这本我最近淘到的书，封面设计颇具年代感，那种老派的学术书籍质感扑面而来。我首先被它封面上那个复杂到让人眼花缭乱的希腊字母和数学符号吸引住了。我本以为这会是一本纯理论的艰深读物，但翻开后发现，内容编排上似乎还是下了番功夫去试图建立一些直观的理解框架。特别是前几章，作者似乎很努力地在用更“人性化”的语言去解释那些看似冷冰冰的随机过程的动态变化。虽然我个人的数学背景可能无法让我完全领会每一个细节的精妙推导，但那种试图将抽象概念具象化的努力是值得肯定的。阅读过程中，我时常需要停下来，对着草稿纸演算一番才能跟上作者的思路。这感觉就像是攀登一座技术壁垒极高的山峰，每向上一步都需要付出极大的心力，但一旦理解了一个关键的引理或定理，那种豁然开朗的成就感是无与伦比的。这本书对于那些真正想深入随机分析核心的读者来说，无疑是一份宝藏，只是这份宝藏需要用汗水和时间去挖掘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧质量，坦白地说，有点跟不上现代学术出版的标准了。字体选择偏小，行距也比较紧凑，对于需要反复研读的复杂公式来说，眼睛非常容易疲劳。更让我感到不便的是，书中对一些关键术语的定义和符号的引入，似乎没有一个统一的、清晰的标记系统。有时候，同一个符号在不同章节中可能代表略微不同的概念，需要读者自己去上下文进行甄别，这在处理复杂的随机微分方程时，极大地增加了出错的风险。我经常需要翻回前面的章节去确认某个符号的确切含义，这打断了阅读的流畅性。对于这样一本高度依赖精确定义的学科书籍来说，清晰、一致的格式是至关重要的，这一点上，这本书的处理略显粗糙，或许是早期出版物遗留下来的问题，但对于当代读者而言，确实是一个需要适应的挑战。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者展现出了一种非常古典的数学家风范，逻辑链条极其严密，每一步的推导都力求无懈可击，这对于追求数学完备性的读者来说是极大的享受。特别是关于随机控制理论的部分，作者对最优停止问题的处理，简直是一件艺术品。他用一种近乎哲学思辨的方式，探讨了信息如何在不确定性下引导决策。我特别欣赏作者在介绍完基础概念后，总会用几页篇幅去讨论该理论的局限性或者在不同假设下的行为差异。这表明作者并非只是机械地罗列知识点，而是对随机分析的哲学基础有着深刻的理解。然而，这也带来了阅读门槛的提高——如果你对测度论的基础知识掌握得不够牢固，那么在阅读到中后部分时，会感觉自己像是在迷雾中前行，每一步都需要极高的专注度来保证自己没有踏错地方。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆