Fundamental Problems of Algorithmic Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Chee Keng Yap

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:1999-12-30

价格:USD 122.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780195125160

丛书系列:

图书标签:

• Algorithmic Algebra
• Algebraic Algorithms
• Computational Algebra
• Polynomials
• Gröbner Bases
• Resultants
• Field Theory
• Commutative Algebra
• Computer Algebra Systems
• Symbolic Computation

《算法代数基础问题》—— 探索代数运算的计算根基 《算法代数基础问题》并非一本泛泛而谈的代数教材，也非一本专注于纯粹理论证明的书籍。它致力于将抽象的代数概念与严谨的算法思想深度融合，深入剖析代数结构中的核心计算挑战，并提供行之有效的算法解决方案。本书旨在为读者揭示代数问题背后隐藏的计算复杂性，以及如何通过设计高效算法来解决这些问题，从而为数学研究、计算机科学以及相关工程领域提供坚实的基础。 代数与计算的桥梁：为何关注“基础问题”？ 代数，作为数学的基石之一，为我们提供了描述和解决数量关系的强大语言。从最简单的线性方程到复杂的群论、环论，代数研究揭示了数学对象的深刻结构和内在规律。然而，当我们将这些抽象的代数结构应用于实际问题时，计算往往成为瓶颈。如何高效地进行多项式运算？如何在有限域上分解多项式？如何求解抽象代数中的判定问题？这些“基础问题”看似简单，却直接关系到许多现代计算任务的效率和可行性。 本书正是构建在这两者之间的桥梁。它认识到，理解代数结构的计算性质，并开发相应的算法，对于在实际中运用代数理论至关重要。例如，在密码学中，有限域上的多项式运算是加密和解密算法的核心；在科学计算中，求解大型线性方程组是模拟和预测的基础；在几何建模中，多项式方程的求解是曲线和曲面表示的关键。因此，本书并非重复介绍已有的代数理论，而是聚焦于那些在计算层面具有挑战性的“基础问题”，并对其进行深入的算法分析和设计。 内容概览：从多项式到抽象代数计算 本书的内容组织遵循从具体到抽象的原则，逐步深入代数计算的各个层面。 第一部分：多项式运算的算法挑战 多项式是代数中最基本也最常用的对象之一。然而，即使是看似简单的多项式运算，在计算层面也可能变得非常复杂。 多项式的表示与算术： 我们将首先探讨多项式在计算机中的不同表示方法，例如系数列表、根表示等，并分析不同表示下加法、减法、乘法运算的时间复杂度。特别地，我们会深入研究多项式乘法的高效算法，如Karatsuba算法和Schönhage-Strassen算法，这些算法利用了数论中的快速傅里叶变换（FFT）思想，将原本需要 $O(n^2)$ 时间的乘法降低到 $O(n log n)$。 多项式除法与余数定理： 经典的多项式长除法是求解方程组和进行代数简化不可或缺的工具。本书将分析长除法的算法复杂度，并探讨更高效的基于FFT的多项式除法算法。余数定理在多项式运算中的应用，以及如何利用它来加速某些计算，也将是讨论的重点。 多项式求值与插值： 给定一个多项式 $P(x)$ 和一组点 $(x_i, y_i)$，如何高效地计算 $P(x_i)$？如何找到一个穿过给定点的多项式？本书将介绍Horner法则进行高效求值，以及Lagrange插值和Newton插值算法，并分析它们在不同场景下的优劣。 多项式的GCD（最大公约数）： 类似于整数的GCD，多项式GCD在代数化简、方程求解以及代数几何中扮演着重要角色。我们将详细介绍Euclidean算法在多项式域上的应用，并分析其时间复杂度。对于某些特定的多项式环（如有限域上的多项式），我们将探讨更优化的GCD算法。 多项式的根的计算： 这是代数中最具挑战性的计算问题之一。本书不会提供通用的、精确的代数解法（正如Abel-Ruffini定理所揭示的那样，高次方程没有通用的代数根式解）。相反，我们将聚焦于数值方法，如Newton-Raphson方法，用于逼近多项式的实数根或复数根。我们还会讨论在有限域上求解多项式方程的算法，这在密码学和编码理论中具有核心地位。 多项式的因式分解： 将一个多项式分解为更简单的因式（ irreducible polynomials）是代数化简和理解多项式性质的关键。本书将重点关注在整数系数多项式和有限域系数多项式上的因式分解算法。我们将介绍Berlekamp算法、Lee-van der Waerden算法等经典算法，并分析其计算复杂度。此外，我们还会讨论多项式因式分解在密码学（例如，用于选择性解密攻击）和计算代数几何中的应用。 第二部分：抽象代数结构的计算方法 在掌握了多项式计算的基础后，我们将进一步将计算思想推广到更抽象的代数结构。 有限域的算法： 有限域（Galois Fields）在通信、编码理论、密码学（如椭圆曲线密码学）和科学计算中至关重要。本书将深入探讨有限域的构造算法，如何进行有限域上的加法、乘法、除法和求幂运算。特别地，我们会关注如何在有限域上找到本原元（primitive element）和本原多项式（irreducible polynomial），这些是进行高效有限域运算的基础。 格（Lattices）的计算问题： 格，作为由一组线性无关向量张成的离散点集，在数论、密码学（基于格的密码学）和优化问题中扮演着越来越重要的角色。本书将介绍格的基本概念，如格基（basis）和格约简（reduction）。我们将探讨格约简算法，如Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) 算法，它在解决某些NP-hard问题（如最短向量问题SVP和最近向量问题CVP）的近似解方面发挥着关键作用。 线性代数方程组的计算： 尽管线性代数是基础数学课程的一部分，但对于大规模的线性方程组，高效的求解算法至关重要。本书将回顾经典的Gaussian消元法及其复杂度，并重点介绍更先进的迭代方法，如Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、共轭梯度法等，这些方法在处理大规模稀疏矩阵时具有显著优势。 符号计算（Symbolic Computation）与计算机代数系统（CAS）： 本书还会触及符号计算的理念，即在计算机中处理和操纵数学表达式，而不是数值近似。我们将探讨计算机代数系统（如Mathematica, Maple, SymPy）在解决复杂的代数问题时所采用的核心算法和技术。这部分内容将为读者理解现代数学软件的计算能力提供一个视角。 本书的特色与读者收益 《算法代数基础问题》的独特之处在于： 1. 强调计算效率： 每一项代数运算的讨论都将伴随对其计算复杂度的深入分析，并重点介绍能够显著提升效率的算法。 2. 理论与实践结合： 算法的介绍并非停留在伪代码层面，而是会深入剖析其数学原理，并提供清晰的算法步骤，方便读者理解和实现。 3. 面向实际应用： 书中会适时提及相关算法在密码学、编码理论、科学计算、计算机图形学等领域的实际应用，帮助读者理解这些基础问题的现实意义。 4. 逐步深入的结构： 从熟悉的多项式出发，逐步过渡到更抽象的代数结构，降低了学习曲线，使得读者能够循序渐进地掌握算法代数的精髓。 目标读者 本书适合以下人群： 数学专业学生： 特别是那些对代数、数论、计算数学等领域感兴趣的学生，希望深入了解代数理论的计算实现。 计算机科学与工程领域的研究者和工程师： 尤其是在密码学、编码理论、算法设计、机器学习、科学计算等方向，需要扎实的代数计算基础。 对算法和计算方法感兴趣的任何人士： 即使不是数学专业背景，但对如何用算法解决数学问题抱有强烈好奇心的读者，也能从本书中受益。 通过阅读《算法代数基础问题》，读者将能够： 深刻理解代数运算的计算复杂性。 掌握一系列解决代数问题的核心算法。 为设计更高效、更可靠的计算系统奠定坚实的基础。 拓展在数学、计算机科学及相关工程领域的研究和应用视野。 本书将引导读者踏上一段探索代数计算根基的旅程，揭示隐藏在优美数学理论背后的算法智慧。

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这本书的深度和广度，让我这个在相关领域摸爬滚打了数年的“老兵”都感到有些吃力，但正是这种难度，才体现了其不可替代的价值。我尤其欣赏作者在引用和注释部分所展现出的严谨态度。他几乎没有引用任何“时髦”的、未经充分检验的新理论，而是坚守那些经过数十年时间检验的、真正奠定基础的经典文献。这种对学术传统的敬畏，使得全书的基石异常牢固。阅读过程中，我不断地查阅附注引用的那些晦涩难懂的早期论文，这反而成了一种意外的收获——它像一把钥匙，打开了我对某个数学分支更古老、更本质的认识。这种“向上追溯”的阅读体验，极大地丰富了我对知识体系的完整认知。它不是在教你“如何做”，而是在告诉你“为什么是这样”，这种层层剥茧的探寻过程，是任何快速学习指南都无法比拟的深刻体验。

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这本书的语言风格，用一个词来形容，那就是“克制”。它很少使用华丽的辞藻来渲染气氛，所有的表达都服务于清晰和准确。然而，在这份克制之下，却隐藏着一种强大的学术激情。我注意到，在讨论到某个被认为是“不可能”的构造时，作者的笔触虽然依旧保持着冷静的数学语气，但那种试图挑战传统边界的雄心壮志，却透过字里行间隐约透露出来。对我而言，阅读这本书更像是在进行一场与作者跨越时空的、关于数学真理的深度对话。我不得不时常停下来，合上书本，思考作者提出的那个视角是否颠覆了我原有的某种假设。这种需要高度参与和批判性思考的阅读过程，远比被动接收信息来得更有成就感。它不仅仅是一本知识的载体，更像是一份思考的邀请函，邀请你一同深入那些尚未被完全探索的数学前沿。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，封面那种深邃的藏蓝色与烫金的字体搭配在一起，散发着一种沉稳而又富有学术气息的质感。初拿到手的时候，我立刻被它厚重的分量所吸引，这显然不是那种轻飘飘的快餐式读物。内页的纸张选材也很讲究，触感细腻，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这一点对于我们这些需要长时间钻研复杂公式和理论的读者来说，简直是福音。排版上，作者显然也花了不少心思，公式居中对齐，注释清晰地标注在页脚，逻辑流的线条感非常强，使得复杂的数学结构在视觉上得到了极大的梳理和简化。我特别欣赏它在章节开头引入的“历史背景”小栏目，它不仅仅是简单地罗列时间线，而是巧妙地将该理论的发展与当时的数学思潮结合起来，让人在学习技术细节之前，先对这个领域的“灵魂”有了初步的感知。这种对细节的关注，从封面到内页，无不体现出出版方对学术经典的尊重和对读者的体贴。这本书的物理形态本身，就是一种阅读体验的升华。

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从内容组织脉络来看，这本书的叙事结构非常宏大且具有前瞻性。它似乎不仅仅满足于介绍当前已有的成熟算法体系，更像是在为未来的研究指明方向。作者似乎有一种强烈的倾向，总是将看似孤立的理论模块，通过某种深层的结构性关联联系起来。比如，它在介绍完某种基于格的加密方案的理论基础后，紧接着就引申到了其在分布式计算中的潜在应用模型，这种跨领域的跳跃性思考，让人拍案叫绝。我发现，这本书很少会给出直接的“速成秘籍”，相反，它更像是一位经验丰富的向导，他为你描绘出整个大陆的全貌，指明了资源富集区，但最终的探险路线，必须你自己去规划。它强迫读者从更高的维度去审视算法的本质，而不是沉溺于具体的代码实现细节。如果你只是想找一本可以快速复制代码去跑结果的书，这本书可能不适合你；但如果你想理解为什么这些算法会以这种方式存在，以及它们还能演变成什么样子，那么这本书就是一座取之不尽的宝库。

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我最近沉迷于阅读一些关于计算复杂性理论的经典著作，而这本《XX》给我的感觉是，它在处理核心概念时，采取了一种近乎“冷酷”的精确性。它很少使用那种为了鼓励读者而刻意设置的软化措辞，而是直接切入最底层的公理和定义，然后步步为营地构建起整个理论大厦。举例来说，它对“可判定性”和“归约”的阐述，几乎是教科书式的完美，没有一丝模糊地带。我记得我花了将近一个上午的时间，反复推敲其中关于非确定性图灵机的一个证明步骤，那种感觉就像是站在一个极其精密的机械迷宫中央，每一步的逻辑推理都必须与前一步丝丝入扣，错一步则满盘皆输。这种阅读体验是极具挑战性的，它要求读者必须具备极高的抽象思维能力和对符号逻辑的绝对服从。毫不夸张地说，读完其中某几个章节后，我感觉自己的逻辑“肌肉”得到了前所未有的锻炼，思维的敏锐度似乎也提升了一个档次，这种内在的提升远超出了仅仅掌握新知识本身。

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