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出版者:Springer

作者:Perroton, Laurent; Couprie, Michel; Bertrand, G.

出品人:

页数:470

译者:

出版时间:1999-04-14

价格:USD 88.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540656852

丛书系列:

图书标签:

• 离散几何
• 计算几何
• 计算机图形学
• 图像处理
• 几何建模
• 算法
• 计算机视觉
• 数学基础
• 理论
• 应用

现代拓扑学基础与应用 书籍简介 《现代拓扑学基础与应用》旨在为读者提供一个全面而深入的拓扑学入门，同时侧重于其在现代数学分支以及相关应用领域中的核心概念和实用工具。本书的编排遵循从基础概念到高级主题的自然递进，力求在严谨性与可理解性之间取得平衡，特别适合数学系本科高年级学生、研究生，以及希望巩固拓扑学基础以应对后续专业学习和研究的工程师与理论物理学家。 第一部分：点集拓扑——空间的结构与连续性 本书的开篇聚焦于点集拓扑（General Topology），这是理解所有更高级拓扑概念的基石。我们首先详细阐述拓扑空间的定义，强调开集、闭集、邻域基、和闭包、开核、边界等基本构造。 随后，我们深入探讨连续函数的本质，并将其推广到拓扑空间之间的映射。这部分内容贯穿了商拓扑的构建原理，这是理解识别空间（如圆周、环面）如何通过等价关系形成的必要工具。我们对紧致性（Compactness）进行了详尽的讨论，不仅给出了 Heine-Borel 定理的拓扑版本，还阐明了紧致性在分析学中作为一致收敛基础的重要性。连通性（Connectedness）和路径连通性也被系统地介绍，这些性质是区分空间形态的关键。 为增强读者的直观理解，本书专门设置了一章来讨论度量空间（Metric Spaces）及其拓扑结构，并严格证明了度量空间上的拓扑与一般拓扑的兼容性。此外，对完备性（Completeness）（如 Baire 范畴定理）的探讨，为泛函分析和微分方程的解的存在性理论奠定了基础。 第二部分：代数拓扑导论——洞的代数描述 在构建了点集拓扑的框架后，本书转向更具描述性的代数拓扑（Algebraic Topology）。代数拓扑的核心目标是将拓扑空间上的几何问题转化为代数问题，从而便于计算和区分不同空间。 我们从基本群（Fundamental Group）开始，这是代数拓扑的第一个也是最直观的代数不变量。本书详细解释了路径的乘法、恒等元和逆元，以及同伦类的概念。通过计算常见空间的$pi_1$，如圆周 $S^1$ 和球面 $S^n$（当 $n>1$ 时），读者将深刻理解如何利用基本群来证明非同胚性，例如 Brouwer 不动点定理的简单应用和 Jordan 曲线定理的某些限制性情况。我们还涵盖了覆盖空间理论，证明了基本群与覆盖空间之间深刻的对应关系，并介绍了万有覆叠空间的存在性。 随后，本书引入了同调论（Homology Theory）的经典构造。虽然全套奇异同调（Singular Homology）的构造涉及繁复的代数张量积，但本书采取了更具几何洞察力的方法，首先聚焦于单纯复形（Simplicial Complexes）上的链复形。我们定义了链群、边界算子和循环群，并清晰地阐述了同调群 $H_n(X)$ 的计算过程，展示了其作为拓扑不变量的强大威力。本书将详细讨论玛耶尔-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）的构建和应用，这是计算复杂空间（如球面、环面）高阶同调群的强大工具。 第三部分：同伦论与纤维丛 第三部分则深入探讨了同伦论（Homotopy Theory）的高级方面，以及连接代数拓扑与其他领域的桥梁——纤维丛（Fiber Bundles）。 在同伦论方面，本书超越了基本群，介绍了高阶同伦群 $pi_n(X)$ 的定义和性质。我们重点讨论了 Hurewicz 定理，该定理建立了第一个非零同调群与第一个非零同伦群之间的联系，揭示了低维几何信息与高维代数结构之间的桥梁。 纤维丛部分是本书区别于传统拓扑入门教材的关键。我们定义了纤维丛的结构，包括基础空间、纤维和投影映射。重点分析了向量丛和主丛，并介绍了陈类（Chern Classes）的概念，这些类在微分几何和物理学（如规范场理论）中具有核心地位。我们通过施蒂费尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney Classes）的例子，展示了如何利用拓扑不变量来区分不同的向量丛结构。 第四部分：拓扑学在分析与几何中的应用 最后一部分将理论回归到其实际应用，展示拓扑学如何作为分析和几何学的底层语言。 我们回顾了流形（Manifolds）的概念，强调了光滑结构（Differentiable Structures）的引入如何将拓扑空间转化为可以进行微积分的场所。书中会简要介绍微分拓扑的基本思想，包括嵌入定理和横截性（Transversality）。 在分析应用方面，本书探讨了不动点理论的拓扑基础，例如 Brouwer 不动点定理和 Lefschetz 不动点定理，并简要概述了这些理论在经济学和博弈论中的作用。 总结与展望 《现代拓扑学基础与应用》力求提供一个既严谨又富有启发性的拓扑学学习体验。通过对点集拓扑、代数拓扑核心工具（基本群、同调群）的详尽讲解，以及对同伦论和纤维丛的介绍，本书为读者构建了一个扎实的数学分析框架，使其能够自信地进入微分几何、代数几何、高维物理理论等前沿领域进行更深入的研究。本书的结构确保了读者不仅掌握了计算技巧，更能理解拓扑学作为研究“形状不变性”的深刻哲学内涵。

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