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出版者:郑州大学出版社

作者:卜春霞

出品人:

页数:279

译者:

出版时间:2006-9

价格:29.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787811064124

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深入探索微积分的边界与前沿：现代分析视角下的经典主题 书籍简介 本书旨在为读者提供一个不同于标准微积分或基础数学分析教材的视角，专注于将微积分和实分析的核心思想应用于更广阔的数学领域。我们不聚焦于“数学分析选讲”中通常涵盖的传统实数序列、级数、连续性、可微性及黎曼积分的细致论证，而是将焦点放在这些概念如何作为工具，被应用于理解更高级的结构，例如泛函分析的萌芽、拓扑空间中的函数性质，以及在微分几何和概率论中扮演关键角色的分析工具。 本书的结构和内容选择完全避开了对标准《数学分析选讲》所涉及的经典实数分析基础论证的深入探讨。相反，它假设读者已掌握了基本的极限、连续性、以及导数和积分的定义，并准备好将这些工具提升到更高的抽象层次。 --- 第一部分：泛函的初步与拓扑空间的引入 本部分将分析的舞台从 $mathbb{R}^n$ 扩展到了更一般的拓扑空间，着重于函数空间这一新的研究对象。 第一章：度量空间与完备性概念的泛化 我们从度量空间的定义出发，自然地引入了收敛、开集、闭集和紧致性的新拓扑学意义。重点在于对比有限维欧几里得空间与一般度量空间中“完备性”的物理和数学含义。我们将深入探讨巴拿赫不动点定理，并将其视为一个强有力的分析工具，而非仅仅是解微分方程的技巧。这里的论述将侧重于该定理作为泛函分析的基石，而非对简单实函数不动点的迭代讨论。 第二章：函数空间与拓扑结构 本章探讨函数集合如何组织成空间，特别是赋范向量空间的初步概念。我们引入 $mathcal{C}(X)$（连续函数空间）和 $L^p$ 空间的雏形，讨论如何定义这些空间上的“距离”或“范数”。这里的“距离”是基于积分的（或者说，基于可测函数的概念），避免对黎曼积分的详细构造进行重述。重点在于：范数如何决定函数的收敛性（一致收敛与依范数收敛的区别），这是连接代数结构与分析性质的关键。 第三章：等度连续性与紧致性 我们将阿斯哥拉-阿兹拉定理（Ascoli-Arzelà Theorem）的讨论，从 $mathbb{R}^n$ 上的连续函数推广到更一般的紧致拓扑空间上的连续函数。本书将等度连续性视为一种“全局平滑性”的度量，而非仅仅是 $epsilon-delta$ 定义的组合变体。我们将用它来证明某些函数序列的子序列极限的存在性，这为后面的偏微分方程和变分法打下基础，而无需纠结于基础分析中对有界闭区间上连续函数一致收敛的证明细节。 --- 第二部分：测度论的视角与勒贝格积分的必要性 虽然基础分析中涉及积分，但本部分将完全采用勒贝格测度论的框架来重新审视积分，重点在于积分在极限运算下的良好性质。 第四章：从可数到可积：测度与积分的定义飞跃 本章假设读者已经了解黎曼积分的局限性，直接引入$sigma$-代数、可测函数和勒贝格积分的基本定义。我们不会花费大量篇幅在构造外测度和可测集的精细划分上，而是立即聚焦于其核心优势：单调收敛定理 (MCT) 和 富比尼/法图定理 (Fubini/Tonelli)。这些定理的证明将作为分析工具的展示，强调它们如何使积分与极限的交换变得有保障，这是黎曼积分框架下无法企及的。 第五章：$L^p$ 空间与积分的完备性 将第四章的工具应用于函数空间，我们正式定义勒贝格函数空间 $L^p(mu)$。本章的核心是证明 $L^p$ 空间相对于 $p$-范数是完备的（即巴拿赫空间）。这直接利用了测度论提供的工具来建立一个强大的、具有完备性的函数空间结构，使得函数分析的工具箱得以充实。这里会提到闵可夫斯基不等式，将其视为广义三角不等式在积分意义下的体现。 --- 第三部分：微分、变分与广义导数 本部分将对导数的概念进行拓展，使其能够应用于更“粗糙”的函数，为偏微分方程（PDEs）和变分法提供分析基础。 第六章：函数空间上的导数概念：变分法与弱解 我们抛弃了标准分析中基于极限的切线斜率定义，转而探索变分导数（或泛函导数）和弱导数。本章将探讨为什么一个函数即使在经典意义下不可微，也可能具有有意义的“平均”或“积分”意义下的导数。我们通过引入测试函数（即光滑函数空间 $mathcal{D}$ 或 $mathcal{S}$ 中的函数），定义了分布 (Distributions) 的基本概念，但会避免深入到 Schwartz 分布理论的全部复杂性。重点在于理解Sobolev 空间的引入（即具备弱导数的 $L^p$ 空间）如何解决偏微分方程中的正则性问题。 第七章：积分算子与线性算子理论的萌芽 本章将积分视为一种积分算子，并从线性算子的角度进行分析。我们讨论积分算子的有界性，利用 Höllder 不等式来确定算子在不同 $L^p$ 空间之间的映射性质。这为读者理解希尔伯特空间理论中算子的谱理论奠定了直观基础，我们将算子的研究重点放在其“作用效果”上，而非仅仅是其在有限维空间中的矩阵表示。 --- 结语：分析思维的扩展 全书始终贯穿着一个主题：分析的本质在于研究结构（拓扑和代数）如何影响收敛性，以及极限运算在何种条件下可以与基础的代数或积分运算交换。本书内容的选择性地避开了基础实分析的构造性证明，转而聚焦于如何利用更现代、更抽象的框架（度量空间、测度论、函数空间）来解决经典分析遗留下的、或更高级领域中出现的难题。全书的论证风格是“应用导向”的，侧重于阐述工具的威力与适用范围。

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这本书的纸张质量很好，印刷也十分清晰，给人的阅读体验非常舒适。我之所以选择《数学分析选讲》，是因为我对数学分析中一些抽象的概念有着浓厚的兴趣。例如，我一直想深入理解函数空间的度量和拓扑结构，以及它们是如何在泛函分析中发挥作用的。我还对数学分析中的收敛性理论特别感兴趣，比如各种收敛性判别法的优劣，以及它们在处理函数序列和级数问题时的应用。如果书中能够详细讲解这些判别法的推导过程，并提供一些具有挑战性的例子，那将非常有价值。此外，我对数学分析在数值计算领域的应用也很感兴趣，比如如何利用泰勒展开进行函数逼近，以及如何通过数值积分来近似计算定积分的值。我对这本书的内容充满了期待，相信它能够帮助我构建一个更加完善的数学知识体系，并提升我解决实际问题的能力。

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这本书的排版清晰，字体大小适中，这对于阅读厚重的数学书籍来说是非常重要的。我选择《数学分析选讲》，是因为我对数学分析中的一些“为什么”有着强烈的探求欲。例如，我一直想弄清楚，在定义积分时，为什么要采用黎曼和的极限，而不仅仅是简单的求和？这种极限是如何将离散的和转化为连续的面积的？我还对级数的收敛性问题特别感兴趣，比如阿贝尔判别法和狄利克雷判别法，它们是如何巧妙地处理发散级数的情况的？如果书中能够详细讲解这些判别法的推导过程和适用范围，那将是非常宝贵的。此外，我个人也对数学分析在函数逼近领域的应用很感兴趣，比如最佳逼近、以及如何利用多项式或三角多项式来逼近任意函数。我对这本书的内容充满了期待，相信它能够帮助我理解数学分析的精妙之处，并培养我严谨的数学思维。

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《数学分析选讲》这本书的质感很好，拿在手里有一种踏实的感觉。我一直认为，数学分析是理解现代科学和工程的基石，它不仅仅是关于计算，更是关于逻辑的严谨性和抽象的推理能力。我之所以选择这本书，是因为我希望能够深入理解数学分析中的一些基本定理，例如中值定理的深刻含义，以及它在函数性质分析中的重要作用。我还对勒贝格积分的理论框架充满兴趣，它在处理一些非黎曼可积函数时展现出的强大能力，一直让我感到惊叹。如果书中能够详细介绍勒贝格测度和勒贝格积分的构造过程，以及它们与黎曼积分的区别和联系，那将极大地开阔我的视野。此外，我个人对函数空间的理论也很感兴趣，比如希尔伯特空间和巴拿赫空间，它们在泛函分析和量子力学等领域扮演着至关重要的角色。我对这本书的内容充满了好奇，相信它能够帮助我建立起更扎实的数学分析基础，并为我日后更深入的学习打下坚实的基础。

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《数学分析选讲》这本书的封面传递给我一种沉稳而又充满智慧的感觉。我选择这本书，是因为我一直对数学分析中一些看似“自然”的结论背后的深刻证明感到好奇。例如，为什么任何一个有界实数集合都存在上确界？这种性质是如何保证了实数系的完备性的？我希望书中能够详细解答这些疑问。我还对多变量微积分中的一些重要定理，例如格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理，它们的统一性和在物理学中的应用很感兴趣。如果书中能够清晰地阐述这些定理的推导过程，并提供一些生动的几何解释，那将极大增强我对这些理论的理解。我对这本书的期望很高，相信它能够帮助我深入理解数学分析的逻辑体系，并从中获得解决复杂问题的启示。

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这本书的封面给我一种很古典的感觉，仿佛一本承载着厚重知识的传世之作。我之所以选择阅读《数学分析选讲》，是因为我一直对微积分背后的严谨逻辑感到好奇。在大学初学微积分时，我更多的是掌握计算技巧，但内心深处总觉得缺少了对“为什么”的透彻理解。我希望这本书能够填补这方面的空白，深入剖析极限、连续、导数和积分等基本概念的严格定义，以及它们之间的内在联系。例如，我一直想弄清楚ε-δ语言究竟是如何精确地捕捉“无限接近”这一概念的，以及它是如何支撑起整个数学分析大厦的。此外，我对泰勒展开的几何意义也充满了兴趣，它将复杂的函数局部地近似为多项式，这在科学计算和工程应用中有着广泛的用途。书中若能探讨一些应用层面的数学分析技巧，比如如何利用傅里叶级数分析周期性信号，或者如何运用微分方程模拟自然现象，那将是非常令人兴奋的。我对这本书的期望很高，希望它能成为我理解数学分析精髓的有力助手，让我能够以更严谨、更深刻的视角去审视这个我们赖以生存的数学世界，并从中汲取知识的养分。

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《数学分析选讲》这本书的装帧设计虽然朴实，却透着一股不容置疑的专业感。我一直认为，数学分析是所有高等数学的基础，它不仅仅是一门学科，更是一种严谨的思维方式。我希望这本书能够帮助我建立起这种思维模式。我尤其关注的是书中对一些抽象概念的处理，比如集合论中的基数理论，它如何区分不同“无穷”的大小，这对我来说一直是一个充满魅力的领域。我还对实数系的完备性感到好奇，是什么使得实数系能够填补数轴上的所有“空隙”，并且保证了数学分析中的各种重要定理的成立？如果书中能够详细阐释这些深层次的理论基础，那将极大地提升我的数学认知水平。此外，我一直对收敛性在数学分析中的核心地位深有体会，各种级数和数列的收敛性判别，以及它们在函数逼近等问题中的应用，都令我着迷。我对这本书的内容充满期待，相信它能够带领我深入理解数学分析的精髓，并培养我独立思考和解决数学问题的能力。

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初拿到《数学分析选讲》这本书，我便被其典雅的封面设计所吸引，一种沉静而又充满智慧的气息扑面而来。翻开书页，我首先被其排版所打动，字体大小适中，行距疏朗，即使是面对复杂的数学公式，阅读起来也丝毫不会感到疲惫，反而能让你沉浸在数学的逻辑海洋之中。虽然我尚未深入研读其中的具体内容，但仅从书的整体呈现方式，便能感受到编著者对数学之美的尊重与追求。这种对细节的打磨，预示着这是一本值得细细品味的佳作。我特别期待书中能够对一些经典的数学问题进行深入浅出的讲解，比如黎曼积分的几何意义，或是勒贝格积分的出现如何解决了黎曼积分的局限性。我个人对数学分析中的收敛性理论尤为感兴趣，比如各种判别法，以及它们在函数序列和级数分析中的应用。如果书中能够穿插一些数学史的小故事，讲述这些理论是如何在历史长河中孕育、发展并最终成熟的，那将更能激发我的阅读兴趣。我对本书的内容充满了期待，相信它能为我打开一扇通往数学更深层领域的大门，让我对数学分析有一个更全面、更深刻的理解，并从中获得治学上的启发。

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这本书的封面设计非常简洁大气，给我一种沉静而深邃的感觉。我选择阅读《数学分析选讲》，是因为我渴望对数学分析有一个更系统的、更深入的认识。在本科阶段，我学习了一些基础的数学分析内容，但总觉得许多概念的理解不够透彻，尤其是在处理一些复杂的证明时，总会感到力不从心。我希望这本书能够系统地梳理数学分析中的核心概念，例如实数系的构造、序列与函数的极限理论、连续性、微分和积分等。我特别想了解，为什么需要引入极限的概念来定义连续性和可导性，以及这些概念在几何上究竟代表着什么。此外，我对多变量微积分中的一些概念也充满了好奇，比如向量值函数的微分和积分，以及它们在物理和工程学中的应用。如果书中能够对这些内容进行详尽的阐述，并提供一些经典的例题分析，那将对我非常有帮助。我对这本书的期望很高，希望它能成为我深入探索数学分析世界的宝贵向导。

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《数学分析选讲》的封面设计非常低调，却蕴含着一种不容置疑的学术气息。我选择这本书，是因为我渴望能够更深刻地理解数学分析的内在逻辑。尤其是一些抽象的概念，比如集合论中的基数和序数，它们是如何精确地描述无穷的？还有实数系的完备性，它究竟是如何通过戴德金分割或柯西序列来完成的？我对这些基础理论的严谨构造一直感到好奇。同时，我也对函数序列和函数项级数的均匀收敛性概念特别感兴趣，它与逐点收敛有着本质的区别，并且在交换极限和积分时起着关键作用。如果书中能够对这些概念进行深入浅出的阐释，并提供一些具有启发性的例子，那将对我非常有益。我对这本书的期望很高，相信它能够带领我领略数学分析的逻辑之美，并帮助我构建一个更加完整和系统的数学知识体系。

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这本书的装帧十分精美，有一种经典的学术书籍的质感。我选择阅读《数学分析选讲》，是因为我希望能够从更基础的层面去理解数学分析。我一直对数学分析的严谨性感到敬畏，尤其是在处理极限和连续性的时候，ε-δ语言的出现，让数学的精确性得到了前所未有的提升。我希望这本书能够详细解释这些基本概念的严格定义，以及它们是如何构成数学分析的理论基础的。我还对微积分基本定理的深层含义很感兴趣，它是如何将微分和积分这两个看似独立的运算联系起来的？这种联系在几何和物理上又意味着什么？如果书中能够深入探讨这些问题，并给出清晰的证明，那将是极好的。此外，我对多元函数微分学中的隐函数定理和反函数定理也充满好奇，它们在解决复杂的数学问题时起着关键作用。我对这本书的内容充满期待，相信它能帮助我打下坚实的数学基础，并培养我严谨的数学思维。

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