Geometry of Manifolds (AMS Chelsea Publishing) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Richard L. Bishop

出品人:

页数:273

译者:

出版时间:2001-10-01

价格:USD 41.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821829233

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 流形
• 拓扑学
• 几何学
• 数学
• AMS Chelsea Publishing
• 经典教材
• 高等教育
• 数学分析
• 代数拓扑

好的，这是一本关于拓扑学和微分几何中一些核心概念的图书简介，旨在为读者提供一个坚实的基础，侧重于对流形概念的深入理解和应用。 --- 图书名称：流形几何导论：拓扑与微分的交汇 简介： 本书旨在为高等数学、理论物理学以及相关工程领域的学生和研究人员提供一个全面而深入的关于流形几何的入门指南。流形，作为连接拓扑学直觉与微分分析工具的桥梁，是现代几何学，尤其是微分几何和广义相对论等领域不可或缺的基础结构。本书的编写遵循循序渐进的原则，从最基础的拓扑空间概念出发，逐步过渡到光滑流形、张量分析以及黎曼几何的核心思想。 第一部分：拓扑空间基础 本书的开篇聚焦于拓扑学的基本概念，这是理解流形结构的先决条件。我们将详细介绍拓扑空间的定义，包括开集、闭集、邻域、连续函数以及拓扑的生成。重点将放在紧致性、连通性和分离公理。我们将探讨紧致空间的性质，例如紧致子集的闭性与紧致性之间的关系，以及赫内-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）在 $mathbb{R}^n$ 上的体现。连通性部分，我们将区分连通空间和路径连通空间，并解释它们在几何直观中的区别。最后，我们将深入分析诸如哈斯多夫（Hausdorff）空间、正则空间和正常空间等分离公理，这些性质对于后续定义光滑结构至关重要。 第二部分：度量空间与完备性 在进入流形之前，理解度量空间是必要的。本章将定义度量、开球、闭球，并阐述度量诱导拓扑的构造过程。完备性是分析学中的一个关键概念，我们将详细探讨完备度量空间（如巴拿赫空间）的性质，包括贝尔纲定理（Baire Category Theorem）及其在分析中的应用。通过这些工具，读者可以更好地理解流形上的分析，例如收敛性概念和不动点理论。 第三部分：光滑流形：定义与构造 本书的核心部分致力于光滑流形的构造。我们将从局部欧几里得空间的概念出发，正式引入流形的定义：一个具有拓扑结构的、且局部上看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间。随后，我们将引入图集（Atlas）和转移映射（Transition Maps）。流形的“光滑性”正是通过这些转移映射的微分性质来保证的。我们将详细探讨什么是光滑函数（或 $C^infty$ 函数），并展示如何利用转移映射将 $mathbb{R}^n$ 上的微分工具推广到抽象的流形上。这一部分会涉及嵌入定理，特别是施瓦茨的嵌入定理（Whitney Embedding Theorem），它奠定了将抽象流形视为可以嵌入到高维欧几里得空间中的几何对象的基础。 第四部分：向量场、切空间与张量代数 一旦流形被赋予了光滑结构，我们就可以在其上进行微分运算。本章将引入切空间（Tangent Space）的概念。我们将通过曲线法线和微分算子（导数在特定方向上的作用）两种视角来理解切空间 $T_p M$ 作为向量空间的存在性。随后，我们将讨论如何通过图集坐标来构造全局的切空间结构。 张量代数是微分几何和物理学的核心语言。我们将从基础的多重线性代数出发，定义张量积，并引入张量场的概念。张量场是流形上定义在每个切空间上的特定类型的多重线性映射的集合。我们将重点区分协变张量（余切空间上的线性泛函）和反变张量（切空间上的向量）。理解张量场的坐标变换规则是后续学习的关键，本书将对此进行详尽的推导和解释。 第五部分：微分形式与外微分 与张量场相对应的是微分形式（Differential Forms）。微分形式是处理流形上积分和微分运算的自然工具。我们将定义楔积（Wedge Product），并系统地构建 $k$-形式空间 $Omega^k(M)$。 外微分（Exterior Derivative） $d$ 是微分形式代数的核心操作符。我们将详细介绍 $d$ 的定义、性质，特别是其关键性质 $d^2 = 0$。这一性质直接引出了德拉姆上同调（De Rham Cohomology）的概念。我们将解释为什么闭微分形式（$domega = 0$）与恰当微分形式（$omega = deta$）之间的关系构成了流形拓扑信息的重要指标。我们将简要介绍德拉姆定理（De Rham's Theorem），它将代数拓扑的同调群与微分几何的分析工具联系起来。 第六部分：向量场、流与积分 向量场可以被视为微分流形上的“速度场”。我们将回顾向量场的定义，并展示如何利用其与光滑函数和微分形式的交互来研究流形上的动力学。流（Flow）的概念描述了一个向量场在时间参数下如何演化流形上的点。我们将探讨积分曲线的存在性和唯一性定理，并展示流如何诱导出流形之间的微分同胚（即流微分映射）。 第七部分：黎曼几何简介 本书的最后一部分将引入黎曼度量（Riemannian Metric）。黎曼度量 $g$ 是一个光滑的、正定的、对称的二阶协变张量场。它赋予了流形局部长度、角度和体积的概念。我们将详细解释如何利用黎曼度量来定义拉回（Pullback）和升拉（Pushforward）操作。 我们将介绍升成（Raising）和降成（Lowering）指标，这是在黎曼流形上进行几何计算的关键技巧。最后，本书将展望联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），该联络是唯一能保持黎曼度量平移不变性的无挠（torsion-free）联络。 目标读者与先决知识： 本书面向具有扎实的微积分、线性代数和基础拓扑学知识的读者。虽然我们从拓扑基础开始，但对多变量微积分中链式法则的深刻理解将非常有帮助。本书旨在为读者建立一个坚实的、可应用于理论物理（如广义相对论、规范场论）和先进数学研究（如微分拓扑、代数几何）的几何分析框架。通过本书的学习，读者将能够熟练地在抽象流形上进行微分、积分和几何分析。

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《Geometry of Manômios》这本书，它的书名本身就带有一种神秘而引人入胜的魅力，仿佛指向了理解宇宙结构和物质运动的深层数学语言。作为一名对数学物理交叉领域，特别是广义相对论和量子场论有着浓厚兴趣的爱好者，我深知流形几何在这些领域中的核心地位。我希望这本书能够为我提供一个系统而深入的理论框架，从最基础的拓扑概念出发，逐步构建起光滑流形的定义，并详细阐述切空间、向量场和张量场等关键概念。我尤为关注书中关于曲率的论述，因为我知道曲率是描述时空弯曲，进而解释引力的关键。我想深入了解黎曼度量张量是如何在流形上定义距离和角度，以及里奇曲率和斯卡尔曲率又如何揭示空间的内在几何特性。我希望书中能够提供清晰的数学推导过程，并辅以直观的几何解释，帮助我理解这些抽象的概念。此外，我也对书中可能涉及的更高级的流形，如李群、微分同胚等，以及它们在物理学中的应用充满期待。这本书的厚度暗示了其内容的丰富性，我渴望能够在这本书中找到解答我关于时空结构和基本粒子相互作用的疑问的线索。

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我一直对那些能够将抽象数学概念与我们所处现实世界联系起来的领域感到着迷，而流形几何无疑是其中最引人注目的之一。《Geometry of Manifolds》这本书，单是书名就足以唤起我对这个领域的无限好奇。我从一些科普读物中了解到，我们生活的时空本身就可以被看作是一个高维的流形，而引力则是时空弯曲的表现。这本书的出现，对我来说就像是打开了一扇通往更深层理解的大门。我迫切地希望在这本书中找到关于流形的基本定义和构造方法，比如如何通过“图册”来定义一个光滑流形，以及切空间和向量场的概念是如何产生的。我尤其对书中可能涉及的曲率概念感到兴奋，因为我知道曲率是度量一个流形弯曲程度的关键。究竟是什么样的数学工具能够量化这种“弯曲”？又如何通过这些量化指标来描述时空的几何性质？这些问题都在我脑海中盘旋。此外，我还希望能在这本书中学习到关于测地线的内容，它们是否就是我们直观理解的“直线”在弯曲空间中的对应物？它们又如何与粒子在引力场中的运动轨迹相关联？当然，更高级的概念，比如共形几何、辛几何，以及它们在物理学中的应用，也是我非常期待的。我希望这本书不仅能提供严谨的数学定义和定理，更能辅以直观的几何解释和物理背景，让我能够真正地“看到”这些抽象的数学对象，并理解它们在我们宇宙中所扮演的角色。

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购买《Geometry of Manifolds》这部作品，很大程度上源于我对数学物理交叉领域，尤其是广义相对论和弦理论的浓厚兴趣。我知道，在这些前沿理论中，流形几何扮演着至关重要的角色。这本书所承载的，不仅仅是纯粹的数学理论，更是一种理解宇宙本质的语言。我期望书中能够深入阐述流形这一抽象概念的构造方式，从拓扑空间到光滑流形，再到微分结构，层层递进，构建起一个严谨的数学框架。我尤其期待书中对于切丛、余切丛以及各种张量场（如度量张量、曲率张量）的详尽介绍。这些概念是理解流形上几何性质的基石。例如，度量张量如何定义距离和角度，而曲率张量又如何揭示空间的弯曲程度，以及这些弯曲如何影响粒子的运动。我希望书中能够通过具体的例子，例如球面、圆柱面等，来阐释这些抽象的概念，让读者能够有一个直观的认识。此外，我对于书中可能涉及的微分几何中的经典理论，例如高斯-博内定理、平均曲率等，也充满了期待，因为这些定理往往能够揭示流形内在的深刻性质。而对于更现代的内容，如纤维丛、联络以及黎曼流形上的微分算子，我更是充满了求知欲，希望能够借此窥见现代数学物理研究的冰山一角。

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从书名《Geometry of Manifolds》中，我仿佛就能感受到一种探究空间本质的雄心壮志。在接触这本书之前，我对“流形”这个概念仅停留在一些非常基础的认识层面，例如它是“像一个弯曲的欧几里得空间”的东西。但这本书，作为一本来自AMS Chelsea Publishing的出版物，无疑预示着它将带领我深入到流形几何的腹地。我期待它能够提供一个清晰的路径，从最基本的集合论和拓扑学概念出发，逐步构建起光滑流形的定义，包括局部坐标系、图册以及光滑映射的含义。我希望书中能够详细解释切空间的概念，因为我知道这是理解向量场和微分算子的关键。那些在空间中“移动”的向量，它们是如何在流形上被精确定义的？又如何通过切空间来描述物理量，例如速度和力？我对书中关于曲率的讨论尤其感兴趣。平坦的空间和弯曲的空间，它们的几何性质究竟有何不同？曲率又是如何量化这种差异的？我希望书中能够介绍黎曼几何中的核心概念，如黎曼度量、里奇曲率和斯卡尔张量，并解释它们在描述时空几何中的作用。此外，我非常希望书中能够包含一些重要的流形作为例子，例如超球体、环面、射影空间等等，并通过这些例子来展示流形几何的丰富性和多样性。

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坦白说，拿到《Geometry of Manifolds》这本书，我更多的是一种敬畏感。我知道，流形几何是现代数学中最抽象、也最深刻的领域之一，它构成了许多现代物理学理论的数学基石。这本书的出版方AMS Chelsea Publishing，以其出版高质量数学著作而闻名，这让我对这本书的内容深度和严谨性充满了信心。我希望这本书能够系统地介绍流形的基本概念，从拓扑空间开始，逐步过渡到光滑流形，并详细阐述如何通过图册和光滑函数来定义流形的“光滑性”。我特别期待书中能够深入讲解切空间和向量场的概念，因为这是理解流形上微积分的基础。一个向量场如何在曲线上“滚动”，又如何在空间中“指向”？这些问题都需要精确的数学定义。我对书中关于曲率的论述更是充满期待。我听说，曲率是衡量空间弯曲程度的关键，而这种弯曲正是引力在爱因斯坦理论中的体现。我希望书中能够清晰地解释黎曼度量张量，以及它如何决定流形上的距离和角度，进而引出里奇曲率和斯卡尔曲率，并展示这些曲率不变量如何揭示流形的内在几何性质。此外，我也希望书中能够介绍一些重要的流形，如李群、微分同胚等，并探讨它们在数学和物理学中的重要性。

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当翻开《Geometry of Manifolds》这本书时，我首先被它散发出的学术气息所吸引。书名本身就预示着一次深入探索空间结构本质的旅程，而AMS Chelsea Publishing的出版社背景，更是让我对其内容的严谨性和深度充满了信心。我一直对数学中那些能够“看透”抽象结构的工具感到着迷，而流形几何无疑是其中的佼佼者。我希望这本书能够清晰地阐述流形的基本概念，包括如何从拓扑空间过渡到光滑流形，以及局部坐标系、图册和光滑映射在其中的作用。我尤其期待书中对于切空间和向量场的详细介绍，因为我知道它们是理解流形上微分性质的基础。向量场如何在曲面上“流动”，又如何描述物理量的变化？这些都是我想要弄清楚的问题。我对书中关于曲率的讨论更是充满了期待。平坦的空间和弯曲的空间，它们的几何性质究竟有何不同？曲率又是如何量化这种差异的？我希望书中能够详细介绍黎曼度量张量，以及它如何引出里奇曲率和斯卡尔曲率，并解释这些曲率不变量如何揭示流形的内在几何性质。此外，我也非常希望书中能够包含一些重要的流形作为例子，例如球面、环面、射影空间等，并通过这些例子来展示流形几何的丰富性和多样性。

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这本书的封面设计就带着一种古老而庄重的气质，深蓝色的封面上印着烫金的几何图形，隐约让人联想到某种宇宙的奥秘。拿到手中，厚实的纸张和精装的封面便给予了人一种“硬核”的学术触感，这不是一本可以随意翻阅的快餐读物，而是一份值得沉下心来细细品味的知识宝藏。我选择购买它，很大程度上是被书名所吸引。《Geometry of Manifolds》——仅仅是这两个词组合在一起，就勾勒出了一幅宏伟的图景：在无垠的空间中，那些错综复杂、曲折蜿蜒的“流形”是如何被几何的语言所描绘和理解的？这是一种将抽象的数学概念与我们对物理世界的直观感受相结合的尝试。我对于黎曼几何，特别是其在广义相对论中的应用一直有着浓厚的兴趣，而这本书无疑为我提供了一个深入探究其理论基础的绝佳机会。我期待着能够在这本书中找到关于流形的拓扑结构、微分结构以及度量结构的详细阐述，希望能理解那些高维空间的几何性质，以及它们如何影响着光线在宇宙中的传播，或者黑洞的奇点。同时，我也很好奇书中是否会涉及一些更高级的专题，比如凯勒流形、辛流形，甚至是与弦理论和量子场论相关的几何概念，这些都是我一直想要深入了解的领域。收到书后，我做的第一件事就是浏览目录，那些熟悉的术语和陌生的符号交织在一起，仿佛预示着一段充满挑战但又极其诱人的学术旅程即将展开。我对于书中的数学推导和证明过程充满了期待，希望它们能够严谨而清晰，能够帮助我一步步地掌握这些深刻的理论。

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拿到《Geometry of Manifolds》这本书，首先映入眼帘的是其经典而低调的封面设计，没有花哨的插图，只有淡淡的文字和抽象的几何图案，这本身就传递出一种对内容本身的专注和尊重。作为一名长期在数学领域深耕的研究者，我深知“流形几何”是现代几何学中最核心、也是最具挑战性的分支之一，它不仅是理解微分几何和拓扑学的关键，更是连接数学与物理学（特别是广义相对论和量子场论）的桥梁。因此，当我在AMS Chelsea Publishing的目录中看到这本书时，便毫不犹豫地将其列入了我的必购清单。我曾经阅读过一些介绍流形几何的教材，但很多都侧重于某个特定的方向，或者在理论深度上有所保留。而这本书的标题，以及其出版机构的声誉，让我对其内容的高度概括性和理论的系统性充满了信心。我希望它能提供一个全面而深刻的视角，从最基础的概念，如开集、闭集、拓扑空间，逐步过渡到光滑流形、切空间、张量场，再到更复杂的曲率、测地线、同调论等。我特别关注书中关于黎曼度量和数量曲率的论述，因为这些概念在理解引力场和时空结构方面至关重要。同时，我也渴望书中能够详细介绍一些重要的流形，例如球面、环面、射影空间，以及它们各自独特的几何性质。这本书的篇幅（从重量感上就能初步判断）暗示了其内容的丰富性，我期待它能够包含大量的定理、引理和证明，并且在解释过程中做到清晰易懂，即便是对于初次接触流形几何的读者，也能有一个循序渐进的学习过程。

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《Geometry of Manifolds》这本书，当我第一次看到它的时候，就有一种想要深入了解的冲动。它所指向的“流形”这个概念，听起来就充满了数学的深度和宇宙的奥秘。我一直对那些能够用严谨的数学语言来描述复杂几何结构的领域抱有极大的兴趣，而流形几何恰恰是这样一门学科。我希望这本书能够为我提供一个扎实的理论基础，从最基本的拓扑空间概念开始，逐步构建光滑流形的定义，并详细阐述局部坐标系、图册以及光滑映射的意义。我对于书中关于切空间和向量场的介绍尤其充满期待，因为我知道这是理解流形上微分性质的关键。一个向量场如何在曲面上“行走”，又如何在空间中“指向”？这些都需要精确的数学定义。我对书中关于曲率的讨论更是充满兴奋。平坦的空间和弯曲的空间，它们的几何性质究竟有何不同？曲率又是如何量化这种差异的？我希望书中能够详细介绍黎曼度量张量，以及它如何引出里奇曲率和斯卡尔曲率，并解释这些曲率不变量如何揭示流形的内在几何性质。此外，我也非常希望书中能够包含一些重要的流形作为例子，例如球面、环面、射影空间等，并通过这些例子来展示流形几何的丰富性和多样性，让我能够更好地理解这些抽象概念。

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这本《Geometry of Manifolds》吸引我的地方在于它所承诺的探索，一种超越我们日常直观感受的几何探索。我一直对“流形”这个词抱有强烈的好奇心，它听起来就像是宇宙画布上那些复杂而优雅的纹理，隐藏着时空的秘密。《Geometry of Manômios》这本书，我希望它能够成为我的引路人，带领我走进这个奇妙的世界。我希望从书中能够学到如何形式化地定义一个流形，如何用数学语言来描述它的“局部欧氏性”，以及光滑函数和映射在流形上的意义。我期待着能够理解切空间的真正含义，它不仅仅是物理上的“切线”，更是一个支撑起整个微分几何大厦的关键结构。书中关于曲率的论述，尤其令我激动。如何用数字来量化一个空间的弯曲程度？无论是正曲率的球面，还是负曲率的双曲面，它们是如何在数学上被精确描述的？我希望书中能够详细介绍黎曼度量、曲率张量等概念，并解释它们如何影响着测地线的行为。我非常好奇，书中是否会涉及一些更复杂的流形，例如卡拉比-丘流形，它们在弦理论中扮演着重要角色。我期待本书能提供清晰的例证，以及严谨的数学推导，帮助我逐步构建起对流形几何的深刻理解，并最终能将其与物理世界中的现象联系起来。

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