Differential Equations with Computer Lab Experiments pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Brooks Cole

作者:Dennis G. Zill

出品人:

页数:478

译者:

出版时间:1998-02-10

价格:USD 153.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534351731

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数值解
• 计算机实验
• 数学建模
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• 科学计算
• 工程数学
• 高等数学

数学分析的严谨探索与应用：一部深度聚焦于理论建构与实际案例的著作 概述：超越表象，直抵核心的数学之旅 本书旨在为读者提供一套全面、深入且极具实践指导意义的数学分析教材。它不仅仅是对微积分概念的简单复述，更是一次对数学思想、严谨证明以及现代科学应用之间深刻关联性的系统考察。全书结构精密，内容覆盖了单变量和多变量函数分析的全部核心议题，并特别强调了极限、连续性、微分、积分以及无穷级数理论的数学基础。我们力求在保持数学严谨性的前提下，用清晰、富有逻辑性的语言阐述复杂的概念，引导读者真正理解“为什么”和“如何”——这是区分熟练计算者与深刻理解者的关键所在。 第一部分：单变量函数——分析的基石 第一章：预备知识与实数系统 本章伊始，我们便着手巩固必要的集合论基础、逻辑推理规则以及对实数系统（$mathbb{R}$）的深入理解。我们将详细探讨实数的完备性公理（特别是确界原理），这被视为后续所有分析论证的逻辑起点。通过对“有界集必有界内子序列”等基本定理的证明，为读者建立起对分析学精确性要求的初步认识。 第二章：极限的严格定义与拓扑初步 极限是整个数学分析的灵魂。本章将用 $epsilon-delta$ 语言对序列极限和函数极限进行严格定义，并通过大量的例子和反例来锤炼读者的证明技巧。我们将引入邻域、开集、闭集等基础拓扑概念，这些概念在后续处理收敛性和连续性时至关重要。重点讨论了柯西收敛准则及其在证明级数收敛中的应用。 第三章：连续性与一致连续性 在建立了极限的概念后，本章转向函数在点上的连续性定义。我们将系统性地证明介值定理、极值定理等经典结论。此外，我们超越了简单的逐点连续性，深入探讨了“一致连续性”的概念及其重要性，并展示了它在保证积分可定义性方面所扮演的角色。对于函数空间的完备性讨论，为高等课程的学习打下基础。 第四章：导数的精确刻画与中值定理 导数被重新定义为函数在某一点的线性逼近能力的度量。本章详细阐述了导数的代数性质、链式法则，并对罗尔定理、均值定理（拉格朗日中值定理）进行了严格的证明。我们还将专门辟出章节讨论高阶导数、凹凸性判断，以及泰勒定理的精确表述及其拉格朗日余项和佩亚诺余项的性质，这为函数的局部逼近和级数展开提供了理论工具。 第五章：黎曼积分的理论与技巧 积分理论是分析学的核心应用之一。本章首先介绍黎曼可积性的充分条件（如连续性、单调性），然后深入探讨了积分的线性性质、中值定理（积分形式）。我们还将分析反常积分（Improper Integrals）的收敛性判定，包括比较判别法和收敛判别法的严格应用，为物理学和工程学中的广义积分问题打下基础。 第六章：序列与级数的收敛性 本章是连接微积分与无穷级数理论的桥梁。我们从最基础的数项级数开始，详尽讨论了正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法。随后，重点聚焦于交错级数的莱布尼茨判别法以及“绝对收敛”与“条件收敛”的本质区别。收敛半径和收敛区间的确定，为幂级数的应用铺平了道路。 第七章：幂级数、泰勒级数与函数逼近 本章将第六章的理论成果应用于函数展开。我们证明了初等函数（如 $e^x, sin x, cos x$）的泰勒级数展开的唯一性和收敛性。关键在于，本章详细论述了如何利用泰勒定理来严格估计函数的近似误差，这对于数值分析和误差分析至关重要。 --- 第二部分：多变量分析——进入更高维度 第八章：向量空间与多元函数的偏导数 本部分引入多维空间的概念，主要在 $mathbb{R}^n$ 空间中展开。我们首先回顾线性代数中关于向量空间、范数和内积的概念，并将其应用于几何直观的建立。在函数部分，我们从偏导数的定义出发，详细讨论了方向导数和梯度向量，将其视为单变量导数概念在多维空间中的自然推广。 第九章：可微性、链式法则与高斯-谢波德公式 多变量函数的可微性比单变量情况复杂得多，本章将严格区分偏可微性与全可微性。我们详细阐述了多变量链式法则的矩阵形式（雅可比矩阵），并利用它来解决复合函数的求导问题。高阶偏导数和混合偏导数的交换性（Clairaut’s Theorem）的证明，体现了分析的细腻性。 第十章：多元函数的极值与最优化 本章致力于寻找多元函数的局部极值点。我们利用二阶偏导数构造海森矩阵，并运用其特征值来判别极值的类型（局部最大值、最小值或鞍点）。随后，我们转向带约束条件的优化问题，引入拉格朗日乘数法，并对其几何意义和代数推导进行了透彻的解析。 第十一章：多重积分与坐标变换 本章将积分的概念扩展到二维和三维空间。我们首先定义了平面区域上的二重积分和空间区域上的三重积分，并讨论了积分的性质。重点是坐标变换，包括直角坐标、极坐标、柱坐标和球坐标下的积分计算。我们对雅可比行列式（Jacobian Determinant）在面积和体积元素变换中的作用进行了严谨的论证，这是多重积分计算的核心技术。 第十二章：线积分、面积分与微积分基本定理的推广 本部分是经典分析与应用数学结合的典范。我们定义了曲线上的线积分和曲面上的面积分。核心内容在于将微积分基本定理推广到高维：格林公式（二维）、斯托克斯公式（三维曲面与曲线的联系）以及高斯散度定理（三维体积与曲面的联系）。这些定理不仅是计算工具，更是理解保守场和保守向量场深层性质的关键。 结语：分析思维的培养 本书的最终目标是培养读者一种严谨的、结构化的数学思维方式。通过对每一个概念的精确定义、对每一个定理的严格证明以及对每一个复杂应用的透彻解析，我们希望读者能够掌握现代数学分析的精髓，并能自信地将其应用于任何需要定量或理论建模的领域。本书为读者构建了一个坚实的分析学知识体系，使其能够从容应对更高级的微分几何、复变函数或偏微分方程等学科的学习挑战。

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坦率地说，这本书的价值远超其定价，尤其对于那些需要快速将数学知识转化为实际项目成果的工程师和科研人员。它的实用性体现得淋漓尽致，它教会的不仅仅是解方程，更是一种解决问题的完整流程。从最初的问题抽象到最后的数值验证与误差分析，每一步都有清晰的指导和丰富的案例支持。我特别欣赏作者对于软件和工具选择的开放态度，它并没有将读者锁定在某一个特定的编程环境内，而是提供了足够灵活的框架，让我们可以根据自己的专业背景和偏好来选择实现工具。这种面向未来的教学理念，保证了这本书的知识不会随着特定软件的过时而迅速贬值。它传授的是一种计算思维，一种面对未知数学模型的通用策略。总而言之，如果你正处于一个需要用微分方程解决实际难题的阶段，这本书是案头必备的宝典，它会成为你从理论到实践的坚实桥梁。

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这本书简直是为那些想要深入理解微分方程的实践者量身定做的！它不是那种枯燥的纯理论教科书，而是巧妙地将抽象的数学概念与实际的计算机实验紧密结合。我记得刚开始接触这些复杂的偏微分方程时，总是感觉像是雾里看花，公式推导令人头疼。但这本书的叙述方式非常直观，它没有直接把一堆公式砸在你面前，而是通过生动的例子，一步步引导你去构建模型，然后利用计算机模拟来“看到”方程是如何描述真实世界现象的。比如，在讨论热传导问题时，作者不仅仅给出了有限差分法的公式，更重要的是，他带你用编程语言去实现它，让你亲眼见证温度是如何随时间扩散的。这种“动手做”的学习过程，极大地增强了我对理论的掌握程度。以前我总觉得学微积分和微分方程就是在做题，但这本书让我明白，它们是解决实际工程和科学问题的强大工具。它的排版和图表设计也相当出色，清晰易懂，即便是初学者也能很快找到重点，不至于在复杂的数学符号中迷失方向。对于我这种偏爱应用型学习的人来说，这本书的价值是无可替代的。

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我必须说，这本书在处理“建模”这一环节上做得尤为出色，这一点是许多传统教材所欠缺的。它深刻认识到，在现代科学研究中，仅仅会解方程是不够的，更重要的是知道“为什么”要解这个方程，以及“如何”将一个物理或生物问题转化为数学语言。书中对各种经典应用场景的剖析深入而细致，从振动的弦到种群动态模型，每一步的转换逻辑都阐述得非常到位。最让我印象深刻的是，它没有回避现实世界中的不完美，比如非线性系统和复杂边界条件的讨论。当涉及到解析解不适用时，它流畅地过渡到数值方法，并且毫不含糊地展示了如何用编程实现这些数值解法，并且探讨了这些解法的稳定性和收敛性。这种对数学严谨性与工程实用性之间平衡的把握，使得这本书不仅仅是一本教材，更像是一本“问题解决的指南”。对于研究生阶段想要从事交叉学科研究的同学来说，这本书提供的思维框架，远比书中的具体知识点更宝贵。

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这本书的叙事节奏非常适合自学者，它有一种循序渐进的亲和力。我过去尝试过几本号称“应用”的教材，结果发现它们要么是理论太浅，要么是代码部分过于晦涩，根本无法独立完成。但这一本则不同，它的语言风格非常清晰，像是一位经验丰富的导师在旁边耐心指导。每章的结构都设计得非常合理，理论介绍后紧跟着的就是一系列精心设计的实验环节。这些实验不仅仅是让你输入一组参数然后输出结果，而是引导你去设计实验、修改参数、分析误差来源，真正参与到科学发现的过程中去。这种互动式的学习体验，极大地提高了我的学习积极性。我特别喜欢它在讨论数值稳定性时，不仅仅给出了公式，还配有对比性的案例，展示了“不好的”数值方法是如何导致灾难性错误的。这种“反面教材”的呈现方式，比单纯的正面讲解更加深刻，让人在实践中吸取教训，记忆深刻。

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从一个纯粹的数学系读者的角度来看，这本书的广度和深度是令人赞叹的。虽然它强调实验，但对基础理论的构建丝毫不放松。它在介绍ODE（常微分方程）的解法时，依然保持了扎实的分析基础，对存在性与唯一性定理的阐述是完整且严谨的。然而，它的独特之处在于，一旦基础理论建立起来，它立刻会转向那些在标准课程中常常被一带而过的“硬骨头”问题，比如奇异摄动理论或者特征函数展开。作者非常擅长将这些高级概念“接地气”，通过具体的、可操作的实验案例来佐证理论的有效性。比如，书中对边界层现象的讨论，如果不借助计算机可视化，仅仅通过分析极限方程是很难直观理解其物理意义的。通过这本书，我不仅巩固了高阶的分析技巧，更重要的是，我学会了如何用计算工具来验证和探索那些仅仅依靠笔算难以触及的数学领域。这对于培养一个全面发展的微分方程专家来说至关重要。

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