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出版者:Elsevier Science Publishing Company

作者:Roland Glowinski

出品人:

页数:1080

译者:

出版时间:2003-01-01

价格:USD 216.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780444512246

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 计算方法
• 科学计算
• 数学
• 算法
• 工程数学
• 数值模拟
• 高等数学
• 应用数学
• 数学软件

现代计算科学与工程的基石：《数值分析手册》 一部涵盖计算数学核心理论、算法设计与工程应用的前沿综述 本书《数值分析手册》并非一本专注于单一工具或特定软件的指南，而是一部深刻剖析现代计算科学与工程领域核心——数值分析的权威性参考巨著。它系统地梳理了从基础理论到尖端应用的广阔图景，旨在为数学家、工程师、计算机科学家以及从事复杂系统建模的专业人士提供一个全面、深入且实用的知识框架。本书的撰写遵循严谨的学术标准，内容组织逻辑清晰，注重理论的严密性与算法的实际可操作性之间的平衡。 第一部分：基础理论与误差分析——理解计算的本质 本部分奠定了整个数值分析的理论基础，强调了理解误差、稳定性和收敛性是成功进行数值计算的前提。 1. 数值计算的基本概念与误差理论： 详细探讨了有限精度算术（浮点表示）、截断误差和舍入误差的来源与量化。特别深入分析了病态问题（Ill-conditioned problems）对计算结果的放大效应，并介绍了条件数在评估问题敏感度中的关键作用。同时，对稳定性分析（Forward and Backward Stability）进行了详尽的阐述，确保读者能够区分一个问题本身的固有困难和算法引入的额外不稳定性。 2. 函数逼近与插值： 覆盖了经典的多项式插值（如拉格朗日、牛顿插值）及其局限性（如Runge现象）。重点介绍了更具鲁棒性的方法，如分段低次多项式插值（样条插值，特别是三次样条），并结合Toeplitz矩阵理论，分析了样条方法的全局光滑性和局部控制能力。此外，还讨论了有理函数逼近以及函数空间中的最佳逼近理论（如最小二乘逼近）。 3. 数值微分与积分： 系统梳理了数值微分的有限差分公式推导，并严格分析了这些公式的精度和稳定性。在数值积分方面，本书不仅涵盖了牛顿-科茨公式（如梯形法则、辛普森法则）的理论框架和误差界，更深入讲解了高斯求积（Gaussian Quadrature）的构造原理，强调了其最优的精度特性。对于高维积分问题，则引入了蒙特卡洛方法及其在复杂几何区域中的应用。 第二部分：线性代数方程组的求解——矩阵计算的核心 线性方程组是科学计算中最常见的问题类型。本部分专注于高效、稳定地求解这类问题，涵盖了从稠密矩阵到稀疏矩阵的全部范畴。 1. 直接法（Direct Methods）： 详尽阐述了高斯消元法、LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）的算法流程、计算复杂度分析以及在有限精度下的稳定性特性。针对大型矩阵，本书专门辟章讨论了稀疏矩阵的存储格式（如CRS、CCS）以及如何优化稀疏矩阵的LU分解过程，以最小化填充因子（Fill-in）。 2. 迭代法（Iterative Methods）： 这是求解大规模、稀疏线性系统的关键。本书对比分析了经典的一级迭代法（雅可比法、高斯-赛德尔法）的收敛条件，并详细展开研究了二级迭代法，如Krylov子空间方法。重点聚焦于共轭梯度法（CG）、广义最小残量法（GMRES）和双共轭梯度法（BiCGSTAB）的理论推导、收敛速度分析以及预处理技术（Preconditioning）对加速迭代过程的决定性作用。 3. 特征值问题（Eigenvalue Problems）： 系统介绍了求解特征值和特征向量的经典算法，包括幂迭代法、反幂迭代法、QR算法的原理及其收敛性。对于大型对称矩阵，本书深入讲解了Lanczos迭代法的构造和应用，强调其在降维求解中的高效性。 第三部分：常微分方程的数值解法——动态系统的模拟 本部分是工程仿真和物理建模的基础，致力于提供求解初值问题（IVP）和边值问题（BVP）的精确数值方案。 1. 常微分方程初值问题（IVP）： 系统介绍了一步法（如欧拉法、中点法、龙格-库塔方法，特别是经典的RK4）和多步法（如Adams-Bashforth、Adams-Moulton、BDF方法）的构造、稳定性和精度分析。对于刚性方程（Stiff Equations），本书专门讨论了隐式方法的必要性，并详细分析了Backward Differentiation Formulas (BDF) 在处理这类问题中的优势与实现细节。 2. 常微分方程边值问题（BVP）： 重点介绍了求解BVP的两大主流方法：射击法（Shooting Method）和有限差分法（Finite Difference Method）。对于后者，本书详细展示了如何将BVP转化为求解一个大型非线性代数方程组，并利用牛顿法进行求解。 第四部分：偏微分方程的数值方法——连续体的离散化 作为物理学和工程学的核心工具，本部分深入探讨了求解扩散方程、波动方程和泊松方程的数值离散技术。 1. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： 详细阐述了FDM在直角坐标系下的应用，包括对不同类型PDEs（抛物型、双曲型、椭圆型）的迎风格式、中心差分格式以及Upwind格式的构造。重点分析了FDM方案的稳定性和收敛性，引入了Von Neumann稳定性分析工具。 2. 有限元法（Finite Element Method, FEM）： 本书将FEM视为一种强大的、与几何形状无关的离散化工具。它从变分原理和弱形式出发，详细解释了形函数（Shape Functions）的选择、刚度矩阵和载荷向量的构建过程。特别讨论了线性三角形单元和四面体单元的构造，并分析了FEM在处理复杂边界条件和非均匀介质时的优越性。 3. 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）： 主要面向计算流体力学（CFD）应用，本书介绍了FVM如何通过守恒律在控制体积上进行积分。重点讲解了通量计算（Flux Calculation）、黎曼求解器（Riemann Solvers）在处理激波和对流项时的核心作用，以及如何保证解在数值上的守恒性。 第五部分：优化、插值与蒙特卡洛方法 本部分扩展了数值分析在更广阔的计算领域中的应用。 1. 非线性方程组的求解： 除了标准的牛顿法及其在大型稀疏系统中的改进（如信赖域方法），本书还详细探讨了拟牛顿法（Quasi-Newton Methods，如BFGS、Broyden's Method）在计算成本与收敛速度间的折衷方案。 2. 蒙特卡洛方法与不确定性量化： 系统阐述了蒙特卡洛方法的统计基础，包括随机数生成器的质量要求。重点讨论了其在积分计算、敏感性分析以及在复杂系统中量化不确定性方面的应用。 总结： 《数值分析手册》是一部结构宏大、内容精深的工具书。它不仅仅是理论的集合，更是连接纯数学与工程实践的桥梁。全书通过大量的实例、算法的伪代码描述以及对计算复杂性的深入剖析，确保读者不仅知其“是什么”，更能理解其“如何工作”以及“何时适用”，是推动现代科学计算迈向更高精度、更高效率的必备参考资料。

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与我之前接触过的几本数值分析教材相比，这本书在处理“不适定问题”和“高维积分”这两个棘手领域时展现出了非凡的洞察力和详尽的讲解。很多教材往往一笔带过，或者只给出结论，但在这里，作者深入剖析了这些问题产生的根源——从理论层面探讨了病态矩阵的影响，并详细对比了Tikhonov正则化、谱方法等多种处理策略的优劣与适用范围。我花费了好几天时间仔细研读了关于有限元方法（FEM）的部分，其对基函数的选择、网格剖分的策略，特别是对局部误差估计的讨论，可以说是教科书级别的细致入微。我尝试着将其中介绍的一种自适应网格细化算法应用到一个我正在处理的流体力学仿真问题中，效果立竿见影，计算资源的浪费显著减少。这本书的价值就在于，它不仅仅告诉你“怎么做”（How to do），更会告诉你“为什么这么做”（Why to do it），以及在特定情况下“不这么做会有什么后果”。这种深入骨髓的理解，才是真正区分工具书和经典参考书的关键所在。

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我必须坦诚，这本书的“阅读体验”与其说是阅读，不如说是“攻坚”。如果你期待的是一种轻松愉快的知识获取过程，那这本书可能会让你失望。它对读者的数学基础要求极高，向量分析、实分析甚至是泛函分析的基础知识，都是在阅读过程中需要不断翻找和回顾的背景知识。例如，在讲解谱方法收敛性的证明时，涉及到了大量傅里叶级数和希尔伯特空间的知识，对于那些多年未接触高深数学的工程师来说，光是理解那些符号的含义就需要花费大量精力。不过，一旦你成功攻克了某一章节，那种成就感是无与伦比的。我发现书中对“稳定性”和“精度”的讨论非常辩证，它清晰地揭示了数值方法的内在矛盾——往往提高精度会以牺牲稳定性为代价，反之亦然。这种对局限性的诚实揭示，比那些只谈成功案例的书籍要负责任得多。它迫使读者去思考，而不是盲目地套用现成的代码模板。

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这本《Handbook of Numerical Analysis》的厚度着实令人印象深刻，光是掂量着分量，就能感受到其中蕴含的知识的广度和深度。初翻开扉页，那种扑面而来的严谨和学术气息，让人立刻意识到这不是一本轻松的入门读物，更像是一本为资深研究人员和高年级研究生准备的工具书。它的排版布局清晰、逻辑严密，每部分之间的过渡都处理得恰到好处，虽然内容本身涉及大量的数学公式和复杂的算法推导，但得益于优秀的编辑工作，阅读体验还算得上是顺畅。我特别欣赏它在理论阐述之后，总会紧接着提供一些经典的算例或者应用场景的简要分析，这使得抽象的数学概念不至于悬浮在空中，而是有了可触摸的落脚点。当然，对于初学者来说，可能需要搭配其他更基础的教材才能完全跟上其节奏，但对于希望深入探究特定数值方法背后的数学原理和收敛性分析的读者而言，这本书无疑提供了一个坚实且全面的参考框架。它的参考文献部分也做得极为详尽，几乎每一章后面都列出了该领域最具影响力的里程碑式的文献，这为我们进一步追踪前沿研究指明了方向。

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这本书给我的最深印象是其对“错误分析”这一核心环节的近乎偏执的关注。在讲解任何一种算法时，作者都会花费大量篇幅来量化误差的来源，区分截断误差和舍入误差，并讨论如何通过误差估计来指导算法的选择和参数的调整。例如，在处理偏微分方程的有限差分法时，它不仅给出了泰勒展开的级数，还详细讨论了不同阶数的近似如何影响到边界条件的有效处理。我曾将书中描述的一种基于 Richardson 迭代的外推法应用到我过去的一个速度求解器中，通过这本书的指导，我终于能够精确地预测出何时应该停止迭代以达到预定的精度要求，从而避免了不必要的计算浪费。这种对“不确定性”的量化和管理能力，正是数值分析的灵魂所在，而这本手册在这一点的阐述上，达到了极高的水准，让人感觉自己掌握的不再是生硬的步骤，而是一种深刻的工程哲学。

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这本书的编排结构有一种古典的、百科全书式的严谨感。它似乎遵循着一种从基础到前沿、从一维到多维的递进逻辑。我注意到，它对矩阵计算的介绍并非停留在基本的LU分解或QR分解，而是花了相当大的篇幅去讨论大规模稀疏矩阵的求解技术，比如预处理器的设计、Krylov子空间方法的变体（GMRES, BiCGSTAB等）的收敛加速策略。这表明编者团队对当前高性能计算（HPC）领域的实际需求有着深刻的理解。特别是它对并行化和GPU加速数值算法的讨论，虽然篇幅不算特别多，但提供的洞察力极强，它没有给出具体的CUDA代码，而是讨论了数据依赖性、通信开销等核心限制，这对于规划软件架构的人来说是极其宝贵的。总而言之，它更像是一座知识的宝库，需要你有合适的工具（即深厚的数学功底）才能挖掘出其中真正的金子。

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