现代数学论学程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:教育科学出版社

作者:黄甫全,王本陆

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页数:0

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价格:20

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isbn号码:9787504118387

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• 现代数学
• 数学
• 高等数学
• 数学分析
• 拓扑学
• 代数学
• 复变函数
• 实变函数
• 泛函分析
• 数学史
• 数学哲学

《现代数学论学程》 本书深入探讨了现代数学的基石与前沿，为读者构建了一个严谨而全面的知识体系。全书分为三个主要部分，层层递进，力求为学习者提供一条清晰的学习路径。 第一部分：现代数学的逻辑基石 本部分致力于夯实读者在现代数学学习中的逻辑基础，为后续更复杂的理论学习铺平道路。 集合论基础： 从朴素集合论出发，详细阐述了集合的基本概念、运算（并、交、差、补）以及关系（子集、相等、包含）。在此基础上，引入公理化集合论，重点讲解ZFC（策梅洛-弗兰克尔集合论及选择公理）体系，包括空集、单例集、幂集、并集、交集等基本公理的意义和推论。对无限集合的概念、可数性与不可数性（如康托尔对角线论证）进行了深入分析，并介绍了基数与序数的概念及它们在比较无穷集合大小上的作用。 数理逻辑入门： 审视数学的语言和推理规则。介绍命题逻辑，包括命题、联结词、真值表、重言式、矛盾式以及推理规则（如肯定前件、否定后件）。随后深入到谓词逻辑，讨论量词（全称量词、存在量词）、谓词、项、公式，以及谓词逻辑的等价性和推理。重点讲解证明的概念，包括直接证明、反证法、数学归纳法等，并探讨了哥德尔不完备定理的意义及其对数学基础的哲学启示。 代数结构基础： 建立抽象代数的初步概念。从群论的单群、交换群、子群、陪集、正规子群、商群、同态和同构等核心概念入手，解释了群的对称性和结构。接着引入环的定义、理想、商环、整环、域等概念，揭示了数系（整数、有理数、实数）的代数性质。最后，介绍向量空间的定义、子空间、线性无关、基、维度、线性变换、核与像等，为线性代数打下基础。 第二部分：核心数学领域的发展 本部分将重点介绍现代数学的几个核心分支，展现其丰富的理论内涵和广泛的应用前景。 拓扑学概览： 探索空间在连续变形下的不变性质。介绍拓扑空间的定义、开集、闭集、邻域、基、子基等基本概念。阐述了连续函数、同胚、同态等概念，以及度量空间的性质（如完备性、一致连续）。深入探讨了连通性、紧致性等重要的拓扑性质，并简要介绍了同伦论和同调论的思想，展示了用代数工具研究拓扑空间的方法。 实变函数论： 深入研究实数域上的函数性质，超越了传统微积分的范畴。引入勒贝格测度和勒贝格积分，解释其优越性，特别是对于可测函数和一般集合的积分能力。探讨了收敛性的各种类型（处处收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、Lp收敛），并介绍了勒贝格积分在函数空间（如Lp空间）中的重要应用。讨论了积分的交换顺序、可微性与积分的关系等高级主题。 泛函分析导论： 将代数和拓扑的思想应用于函数空间。详细介绍了赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等重要的函数空间，以及它们的几何与拓扑性质。深入研究了有界线性算子、自伴算子、紧算子等，并阐述了谱理论的基本思想，解释了算子如何描述各种物理和数学过程。讨论了不动点定理在方程求解中的应用。 抽象代数深入： 在群、环、域的基础上，进一步深化对代数结构的理解。重点介绍域扩张、伽罗瓦理论，阐释了多项式根与域扩张之间的深刻联系，以及如何利用群论解决多项式方程的可解性问题。探讨了模（modules）作为环的推广，以及其在表示论等领域的作用。简要介绍格（lattices）的概念及其在序理论中的应用。 第三部分：现代数学的前沿与联系 本部分将视野拓展至更广阔的领域，展示现代数学如何与其他学科交叉融合，并展望未来的发展方向。 概率论与随机过程： 建立理解随机现象的数学框架。从概率空间、随机变量、概率分布、期望、方差等基础概念出发，介绍了独立性、条件概率、贝叶斯定理。深入探讨了随机变量的收敛性、中心极限定理、大数定律等，解释了随机现象的统计规律性。介绍了马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等一阶和高阶随机过程，展示了它们在建模动态系统中的作用。 微分几何初步： 研究光滑流形上的几何性质。介绍曲线和曲面的基本概念、参数化、切空间、法向量。引入流形的思想，将局部欧几里得性质推广到更一般的空间。讨论了向量场、微分形式、外微分、积分等概念，以及流形上的黎曼度量、曲率等概念，展示了微积分工具在几何研究中的强大能力。 数论及其现代应用： 探索整数的奥秘及其在现代科技中的地位。介绍数论的基本概念，如整除性、同余、素数、算术函数。深入探讨了平方剩余、二次互反律、连分数等经典主题。展示了数论在密码学（如RSA算法）、编码理论、计算理论等领域的关键作用。 数学的交叉领域与展望： 简要介绍数学与其他学科的交集，如数学物理（如量子力学中的算子代数）、计算数学（如数值分析、算法设计）、组合数学（如图论、 Ramsey理论）等。探讨了人工智能、大数据、机器学习等领域对数学提出的新挑战和机遇。强调了数学作为科学语言和思维方式的重要性，以及其在解决复杂世界问题中的持续价值。 通过对这些核心领域的系统性梳理和深入浅出的讲解，《现代数学论学程》旨在帮助读者建立扎实的数学功底，培养严谨的逻辑思维，并激发对数学世界更深层次的探索热情。本书适合对数学有浓厚兴趣的本科生、研究生，以及希望系统回顾和拓展数学知识的科研工作者。

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这本书的封面设计简直让人眼前一亮，那种沉稳又不失深邃的蓝色调，搭配着简洁有力的字体，一下子就抓住了我的注意力。拿到手的时候，那种厚重感和纸张的质感都透露出一种“硬核”的气息。我本来以为这会是一本枯燥乏味的教材，但翻开第一页，我就被作者那种深入浅出的叙述方式所吸引了。它不像很多教科书那样堆砌公式和定义，而是更注重构建一个完整的知识体系。作者似乎非常擅长用类比和生活中的例子来解释那些抽象的数学概念，比如在讲到拓扑学的时候，他竟然把咖啡杯和甜甜圈做类比，一下子就让原本晦涩难懂的概念变得生动起来。而且，这本书的排版也非常讲究，图文并茂，很多关键的证明过程都配上了清晰的图示，这对于我这种视觉学习者来说，简直是福音。读起来一点都不费劲，反而像是在听一位非常资深的教授在娓娓道来，引人入胜。我已经迫不及待想把后面的内容都啃完了，期待它能带我领略更深层次的数学美。

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这本书的阅读体验，说实话，是需要投入精力的，但绝对是物超所值的。我必须承认，有些章节，特别是涉及到抽象代数的部分，我需要反复阅读好几遍，甚至需要借助外部的一些辅助资料才能完全理解作者的意图。但是，正是这种“啃硬骨头”的过程，才让我体会到数学的魅力所在。作者在处理那些复杂理论时，展现出一种超乎寻常的清晰度，他总能找到那个最简洁、最优雅的表达方式来阐述核心思想。而且，书中对历史背景的穿插也非常到位，时不时地会介绍某个重要定理的诞生故事，这让冰冷的数学公式背后有了温度和人文色彩。每次读完一个章节，我都会有一种强烈的满足感，仿佛自己真的触及到了数学世界的本质。这本书不是用来“看”的，而是用来“做”的，它要求读者积极参与到思考的过程中去，这对于提升个人的逻辑推理能力是大有裨益的。

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作为一名非科班出身的爱好者，我一直对高等数学抱有敬畏又好奇的心态。这本书的出现，极大地降低了我学习的门槛，但同时又保证了学术的深度。我特别欣赏作者在章节末尾设置的“拓展阅读与思考”部分，这些内容往往指向了更前沿的研究方向，激发了我对未来学习的规划。这本书的语言风格有一种独特的节奏感，时而激昂，像是在描述一个宏大的数学构造；时而又非常平静，像是在细细描绘一个精妙的证明细节。书中引用的一些经典范例，都经过了作者的精心筛选和优化，它们不仅能有效地支撑起理论，还能让人在实践中感受到数学的实用性。它让我重新审视了自己对数学的理解，不再是死记硬背公式，而是开始欣赏数学的美学和其内在的和谐统一。对于想要系统性地提升数学素养的人来说，这本书绝对是首选之一。

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我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时正在为某个专业课程的学习感到力不从心，急需一本能够系统梳理基础，同时又具备前瞻性的参考书。这本书的出现，简直是雪中送炭。它的内容覆盖面非常广，从基础的集合论到更高级的分析和代数结构，都有涉及，但最让我佩服的是它的逻辑严谨性。作者在推导每一步时都留有充分的余地，让你有时间去思考和消化，而不是一味地被推着走。而且，书中提供的习题设计得非常巧妙，它们不仅仅是检验你是否掌握了知识点，更多的是引导你去思考问题的不同切入角度。我花了大量时间在攻克那些“思考题”上，每一次豁然开朗的瞬间，都让我对数学的敬畏感更深一层。这本书更像是一位严厉又充满智慧的导师，它不会直接给你答案，而是耐心地引导你找到通往答案的路径。这本书的价值，远超乎一本普通的参考书，它是一种思维训练的工具。

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这本书的装帧设计和内容的深度形成了一种奇妙的平衡感。虽然它探讨的是极为严肃和抽象的数学理论，但整体的阅读体验却出乎意料地流畅。作者似乎有一种魔力，能够把那些看似毫无关联的数学分支，用一条条清晰的逻辑线索串联起来，形成一个完整而有机的整体。我特别喜欢它在引入新概念时所采用的“循序渐进”的方法，每一个新的术语或定义，都建立在前面已经扎实掌握的知识基础之上，这极大地避免了学习过程中的“认知断层”。对于我这种时间比较碎片化的读者来说，这本书的结构设计也十分友好，我可以每次专注于理解一个小小的论点，然后将它们拼凑起来，构建起完整的知识图谱。它不是那种读完就束之高阁的书，我发现自己会时不时地拿出其中某几页，重新温习那些精妙的论证。这本书的价值在于它的长尾效应，它教会你的思考方式，将受益终生。

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