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出版者:第1版 (2007年3月1日)

作者:付以伟

出品人:

页数:77 页

译者:

出版时间:2007年3月1日

价格:17.00

装帧:平装

isbn号码:9787040213393

丛书系列:

图书标签:

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《几何之境：空间、图形与逻辑的深度探索》 本书将带领读者进入一个充满奥秘与魅力的几何世界。我们不再停留于平面图形的简单描绘，而是深入探索三维空间的无限可能，解析点、线、面、体之间错综复杂的关系。从欧几里得公理体系的严谨构建，到非欧几何的奇思妙想；从经典的四大几何（欧几里得几何、射影几何、仿射几何、微分几何）的精妙理论，到现代拓扑学与微分几何在物理学、计算机科学等领域的广泛应用，本书都将进行深入浅出的剖析。 第一部分：欧几里得几何的基石与延伸 我们将从公理化体系出发，回顾欧几里得《几何原本》的核心思想，理解几何学作为一门精确科学的诞生过程。学习如何严谨地定义基本概念，如何通过逻辑推理得出定理。之后，我们将超越课本上的基础内容，探讨一些更深层次的欧几里得几何知识，例如： 圆锥曲线的统一性： 揭示椭圆、抛物线、双曲线为何能被统一在圆锥曲线的概念之下，它们在天文、工程学中的应用。 向量在几何中的应用： 学习如何利用向量来表达点的位置、向量运算来描述直线、平面方程，以及在三维空间中的各种几何关系，如夹角、距离、投影等。 面积与体积的计算： 除了基本的公式，还将深入探讨积分在计算复杂图形面积和体积中的作用，以及几何学在微积分理论中的基础地位。 尺规作图的边界： 了解尺规作图的限制，如“三等分角”、“倍立方”、“化圆为方”等三大几何作图难题的不可解性，以及其背后深刻的数学原理。 第二部分：超越欧几里得的奇幻旅程 当我们将欧几里得的平行公理进行修改，一个全新的几何世界便展现在眼前。本书将带领读者领略非欧几何的魅力： 黎曼几何与双曲几何： 深入理解在曲面上，直线（测地线）的性质如何改变，平行线的行为如何颠覆直觉。我们将探讨这些几何形态如何在广义相对论中描述时空弯曲，以及在宇宙学研究中的重要性。 射影几何的透视之眼： 学习如何在投影变换下保持不变的几何性质。理解投影的中心、消失点等概念，它们如何解释我们视觉感知中的透视现象，并在艺术、计算机图形学中发挥核心作用。 仿射几何的结构之美： 专注于平行线、比例等性质，理解仿射变换如何保持这些属性。本书将展示仿射几何在描述线性代数中的变换，以及在计算机视觉中的应用。 微分几何的无限细节： 借助微积分的强大工具，探索曲线和曲面的局部性质。学习曲率、挠率等概念，理解它们如何刻画空间的弯曲程度。我们将触及曲面之间的映射，以及微分几何在物理学（如广义相对论）中的核心地位。 第三部分：拓扑学的“软”几何 拓扑学被誉为“软几何”，它关注图形在连续形变下不变的性质，即“弹性”的几何。本书将带您领略其独特而引人入胜的视角： 空间的连通性与孔洞： 理解拓扑等价的概念，例如甜甜圈和咖啡杯在拓扑学上是相同的。学习同胚、同伦等基本概念，以及它们在判断两个空间是否“相同”时的作用。 流形与更高维空间： 探索局部看起来像欧几里得空间的“流形”概念。我们将初步了解高维流形，以及它们在数学物理和理论物理中的应用。 纽结理论的奇趣： 深入研究纽结的性质，学习如何判断两个纽结是否相同，以及纽结理论在DNA结构、材料科学等领域的潜在应用。 图论与网络结构： 从图的顶点和边出发，探索网络的拓扑性质。学习欧拉路径、哈密顿回路等概念，理解图论在计算机网络、社交网络分析等领域的广泛应用。 第四部分：几何学的现代应用与前沿 几何学早已不是纯粹的理论学科，它已深深渗透到现代科技的各个领域： 计算机图形学与虚拟现实： 了解几何学如何驱动我们今天看到的逼真三维图像、游戏场景以及沉浸式的虚拟现实体验。学习图形渲染、模型构建背后的几何原理。 机器人学与路径规划： 探讨机器人如何在复杂环境中感知、定位和规划最优路径，这背后离不开计算几何和空间几何的强大支撑。 数据科学与机器学习： 揭示高维几何在理解和分析复杂数据集中的作用。学习降维技术、度量学习等，以及它们如何帮助我们从海量数据中提取有价值的信息。 物理学的几何语言： 从经典力学的辛几何，到量子场论的微分几何，再到广义相对论的时空几何，几何学一直是描述物理世界基本规律的强大语言。 建筑、工程与设计： 深入理解几何学原理在建筑结构稳定性、桥梁设计、产品工业设计等领域的实际应用，以及如何利用几何优化来提升效率和美感。 《几何之境》旨在为读者构建一个系统而深入的几何学知识体系。我们鼓励读者积极思考，动手实践，通过几何的语言去理解世界，发现隐藏在数字与图形背后的深刻规律。无论您是几何学的初学者，还是希望拓展视野的探索者，本书都将为您打开一扇通往几何智慧的大门。

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我是一位艺术生，数学一直是我的“老大难”，每次看到那些函数图像和微积分符号就头疼。我需要的是一本能够用最直白语言将抽象概念具象化的书，而这本书恰好满足了这一点。它的语言风格非常亲切，完全没有那种高高在上的学术腔调。对于基础薄弱的部分，比如三角函数的图像变换，作者没有直接甩出复杂的公式推导，而是用拖动滑块、旋转坐标轴的比喻来解释，这让我一下子就抓住了核心的变化规律。最让我惊喜的是，它对“审题陷阱”的预警做得非常到位。很多时候我失分不是因为不会算，而是因为没有注意到题目中隐藏的限制条件，比如定义域的边界、变量的取值范围等。这本书在每道典型错题分析的末尾，都会用一个小小的“警示框”，专门指出这类题型最容易被忽略的细节，这对我这种粗心大意的考生来说，简直是醍醐灌顶。现在我对数学的恐惧感少了很多，更多的是一种“我可以掌控”的信心。

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我是一个追求极致效率的学习者，我希望我的每一分钟投入都能在考试中得到最大的回报。这本书在效率优化方面做得相当出色。它有一个非常实用的板块，我称之为“限时冲击训练集”。这些训练集严格按照高考时间限制来设置，要求你在规定时间内完成特定数量和难度的题目。这不仅仅是测试速度，更是训练你在高压环境下保持冷静和准确的能力。更重要的是，它的解析部分对于那些“一题多解”的展示非常到位。对于一道难题，作者会提供至少两种主流解法，并且会标注出哪种方法在特定时间限制下更为快捷。这种对“时间成本”的量化分析，对我调整考试策略起到了决定性的作用。我以前总是死磕一道题直到解出为止，现在我学会了在遇到瓶颈时，迅速切换到第二思路，这在模拟考试中帮我挽回了许多失分。这本书真正教会我的，是如何用最经济的脑力资源，去获取最大的考试分数。

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从结构完整性的角度来看，这本书的编排简直是教科书级别的典范。它没有盲目追求覆盖面广，而是对那些真正具有区分度和高频考点的内容进行了深度的挖掘和拓展。我尤其欣赏它对“模块化学习”的推崇。它将整个数学知识体系划分成了几个核心模块，每个模块内部又做了精细的子主题划分。这种结构使得复习时可以针对性地进行“查漏补缺”，而不是像以前那样，不得不从头到尾翻阅整本书。例如，在立体几何的证明题部分，它不仅教会了你如何用向量法求解空间角，还对比了传统的三垂线定理法在不同空间关系下的适用性。这种多角度、全方位的解析，极大地丰富了我解决问题的武器库。而且，书中的例题选择非常考究，它们往往是不同年份、不同省份优秀试题的“集大成者”，一道题可能融合了多个知识点的考察，对于训练综合应用能力非常有帮助。读完一个模块，我能清晰地感受到自己在那个特定知识领域内思维深度的提升。

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这本书简直是为我这种在数学考试前感到焦虑的考生量身定做的“救星”！我之前总觉得自己的知识点掌握得不够扎实，尤其是那些每年都会换着花样考的综合大题，总是在解题步骤上卡壳。这本书的排版非常清爽，没有那种密密麻麻让人喘不过气的感觉。它不是那种纯理论堆砌的教科书，而是真正从“实战”角度出发，把每一个知识点都嵌入到真实的模拟试题情境中去讲解。我特别欣赏它对“易错点”的剖析，很多我自以为掌握了但实际上理解有偏差的地方，作者都用非常形象的比喻和清晰的逻辑链条给缕出来了。举个例子，关于概率论中的条件概率部分，我之前总是混淆使用乘法公式还是除法公式，这本书里通过几个生活化的例子，让我瞬间明白了背后的逻辑区别，而不是死记硬背公式。而且，它的难度设置也很有层次感，从基础巩固到拔高冲刺，每一步都走得很稳健，让人有一种“我真的可以”的信心。对于那些想在短期内迅速提升应试能力的同学来说，这绝对是值得信赖的参考书。

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说实话，我对市面上大部分的应试辅导材料都抱持着一种怀疑态度，因为很多都是拼凑内容，缺乏系统性和深度。然而，这本让我眼前一亮。它的独特之处在于，它不仅仅提供了“答案”，更重要的是，它提供了“思维路径”。作者在解析复杂题目时，经常会先引导读者思考“这道题到底考察的是哪个核心概念？”，然后才进入具体的运算步骤。这种‘先定性，后定量’的分析方法，极大地锻炼了我的审题能力。我发现，当我开始学会拆解题目结构后，即使遇到全新的题型，也能迅速找到突破口。比如，解析几何部分，书中给出的几种不同坐标系下的解题策略对比，非常精妙，让我明白了在不同情境下，选择最优工具的重要性。它不像有些教辅那样，只是机械地重复高考真题的解法，而是融入了大量经过优化的、更具普适性的解题技巧。阅读这本书的过程，更像是在跟一位经验丰富的数学老师进行一对一的深度辅导，它在不知不觉中把我从“做题机器”塑造成了一个“思考者”。

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