广义度量空间与映射 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:林寿

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:2007-4

价格:48.00元

装帧:

isbn号码:9787030185877

丛书系列:

图书标签:

• 广义度量空间和映射
• 数学
• 数学
• 拓扑学
• 度量空间
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• 高等数学
• 理论数学
• 数学分析
• 几何学
• 映射

《广义度量空间与映射》 本书深入探索数学中的一个核心领域——广义度量空间及其上的映射。我们将从基础概念出发，逐步构建起理解这一复杂而深刻的数学框架所需的工具和直觉。 第一部分：广义度量空间的构建 首先，我们将重新审视我们熟悉的度量空间，并在此基础上进行推广。讨论将涵盖： 度量空间的基础 revisited： 回顾度量空间的定义、性质，如三角不等式、开集、闭集、完备性、紧致性等。通过大量实例，如欧几里得空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间，加深读者对经典度量空间结构的理解。 度量空间的泛化： 引入伪度量空间、弱度量空间、局部度量空间等概念，探讨它们与标准度量空间的异同。分析如何在这些更一般的框架下定义点集间的“距离”或“接近程度”，以及由此带来的新的拓扑和分析性质。 拓扑与度量： 深入研究拓扑空间与度量空间之间的关系。我们将讨论度量诱导的拓扑，以及并非所有拓扑都能由度量诱导的现象。重点介绍可度量化定理，以及不同类型的拓扑空间（如可分度量空间、完备可分度量空间）的特征。 特殊广义度量空间的构造： 关注一类重要的广义度量空间，例如： 拟度量空间 (Quasi-metric spaces)： 探讨其对称性放松后的性质，以及在某些非对称距离模型中的应用，如网络延迟、成本度量等。 近似度量空间 (Approximate metric spaces)： 引入“不精确”的距离概念，分析其在数据分析、模糊集合论等领域的潜力。 拓扑度量空间 (Topological metric spaces)： 考察具有更精细拓扑结构的度量空间，及其在函数空间、泛函分析等分支中的作用。 度量空间的构造方法： 介绍从现有集合和关系构造新的广义度量空间的技术，例如： 子空间与乘积空间： 分析在子空间和乘积空间中度量的继承和构造。 商空间： 探讨在等价关系下构造商空间的度量性质，以及其在分类和识别问题中的意义。 完备化： 详细阐述柯西序列和完备化的概念，以及如何将不完备的度量空间“填充”成完备空间。 第二部分：广义度量空间上的映射 在建立了对广义度量空间的深刻认识后，我们将转向研究这些空间之间的映射。这部分内容将重点关注映射的性质、分类及其在分析问题中的作用： 连续性与一致连续性： 严格定义广义度量空间之间的连续映射和一致连续映射，并深入分析两者的区别和联系。探讨在不同类型的广义度量空间下，这些连续性的表现形式。 Lipschitz 映射与压缩映射： 详细研究Lipschitz连续映射的性质，特别是其在度量扩张和收缩方面的作用。重点阐述压缩映射原理，它是许多分析问题的关键工具，尤其是在方程求解和不动点理论中。 紧致性与映射： 分析连续映射如何将紧致空间映射到另一个空间，以及像Hausdorff度量这样的工具在度量紧致集空间上的应用。 不动点理论： 深入探讨不动点定理在广义度量空间中的推广。我们将从经典的Banach压缩映射原理出发，介绍不动点存在性、唯一性以及迭代逼近不动点的方法。同时，也将涉及更一般的不动点定理，如Kannan映射、房产房产房产等。 度量空间的嵌入与同胚： 研究将一个度量空间嵌入另一个度量空间的可能性，以及同胚映射所保持的拓扑和度量性质。这对于理解不同度量空间之间的结构相似性至关重要。 特殊映射的性质： 收缩映射 (Contraction mappings)： 及其在各种迭代过程中的收敛性。 扩张映射 (Expansion mappings)： 及其在度量空间中的几何意义。 保长映射 (Isometries)： 研究保持距离的映射，它们在对称性分析和几何变换中扮演重要角色。 映射的极限与收敛： 讨论函数序列在广义度量空间上的点态收敛、一致收敛以及度量收敛等不同概念，以及它们对极限函数性质的影响。 第三部分：应用与拓展 最后，我们将展示广义度量空间和映射理论在各个数学分支及相关领域的应用，并展望未来的研究方向。 函数空间： 探讨在函数空间中引入各种度量（如Lp度量、Hausdorff度量）所形成的广义度量空间结构，以及分析其上的算子性质。 拓扑度量： 介绍在拓扑空间上定义的度量，以及度量对拓扑性质的影响，尤其是在度量化理论中的进展。 几何与拓扑： 讨论广义度量空间在黎曼几何、微分几何以及低维拓扑等领域中的应用，例如测地线、曲率等概念的泛化。 数学分析： 梳理广义度量空间在积分方程、微分方程、逼近论、测度论等经典分析问题中的应用。 计算机科学与工程： 探讨广义度量空间在模式识别、机器学习、信息检索、数据挖掘、网络分析等领域的应用，特别是在处理不精确数据、非对称关系和复杂结构时。 其他相关领域： 简要介绍其在代数拓扑、动力系统、概率论等分支的潜在联系。 本书旨在为数学专业学生、研究人员以及对抽象数学结构感兴趣的读者提供一个全面而深入的指导。通过理论阐述、概念辨析和例证分析，帮助读者掌握广义度量空间的核心思想，并为其进一步的学术研究奠定坚实的基础。

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我最近在研究机器学习中的相似性度量，这方面的文献往往会引用一些更抽象的数学工具来支撑算法的理论基础。因此，我非常希望《广义度量空间与映射》能在这方面有所建树。我主要关注的是，当数据点不再位于简单的向量空间中，而是存在于更复杂的度量结构下时，我们如何定义距离、收敛性和优化路径。书中的“映射”部分，如果能详细讨论各种连续性和等距变换的性质，对我设计新的距离函数将大有裨语。我希望这本书能提供足够的理论深度，让我可以从根本上理解为什么某些度量方法比其他方法更有效，而不是仅仅停留在“经验主义”的层面。我期待它能提供那些隐藏在众多应用论文背后的坚实理论地基。

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从一个侧面来看，一本好的数学专著，其价值不仅在于它告诉我们“是什么”，更在于它如何引导我们思考“为什么是这样”。我好奇作者在引入新的公理系统或拓扑结构时，是如何论证这些选择的必要性和优越性的。例如，在定义某种新的广义度量时，其背后的动机是什么？它解决了传统度量空间的哪些局限？我希望这本书的论述风格是那种鼓励批判性思维的，而不是一味地陈述事实。如果作者能在引言或附录中，简要回顾一下相关领域的发展脉络和历史上的关键争论点，那就更好了。阅读这样的书籍，就像是在与一位沉思的智者对话，我们不仅学习知识，更学习了如何进行严谨的数学思考。

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老实说，我更倾向于那些充满直觉和视觉化解释的数学著作，而这本书的标题听起来就透着一股高深的学术气息，让人既敬畏又有些许压力。我猜想，它一定不会用太多花哨的比喻来“稀释”概念的严谨性，而是会用精确的符号和逻辑链条来构建整个理论大厦。我希望能从中找到一些关于如何“想象”高维空间或非标准度量下的几何形态的线索。毕竟，传统的欧几里得空间已经很难解释很多复杂的物理现象了。如果书中能探讨一些前沿的研究方向，比如黎曼几何与度量空间的结合，或者在泛函分析中的具体应用，那将是极大的加分项。我期望它能像一位严厉但公正的导师，不容许任何模糊不清的理解，逼迫读者去真正掌握那些核心的思想。

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这本书的书名似乎暗示着它将超越传统的分析学范畴，进入一个更加广阔的数学领域。我个人对纯数学领域的研究兴趣更浓厚一些，所以非常期待看到作者是如何巧妙地将集合论、拓扑学和分析学的工具融合在一起，去构造和研究这些“广义”的空间的。我希望它在证明的细节上做到详尽无遗，尤其是那些涉及极限和序列的严格论证。对于读者来说，一本内容充实的数学书，意味着你可以反复咀嚼每一个定义和定理背后的逻辑推导。我期待它能提供一种“百科全书式”的详尽，让我在面对具体研究问题时，能够迅速定位到所需的核心理论工具，并且对这些工具的适用范围和局限性有清晰的认识。

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这本《广义度量空间与映射》的封面设计确实非常吸引人，那种深邃的蓝色调和抽象的几何图形，让人一眼就能感受到其中蕴含的数学魅力。我最近刚刚接触了拓扑学的一些基础概念，所以对这本书的内容充满了期待。尽管我还没有深入阅读，但仅仅是浏览目录，就能感受到作者在构建理论体系上的严谨和细致。从基础的度量空间的定义，到更高级的完备性、紧致性和连续性的讨论，似乎都安排得井井有条，这对于初学者来说无疑是一个巨大的福音。我尤其关注其中关于“映射”的部分，因为在实际应用中，如何衡量不同空间之间的相似性或差异性，往往是问题的关键。我希望这本书能提供一套清晰的工具和框架，帮助我理解那些看似抽象的数学结构是如何与现实世界中的问题建立联系的。如果内容真的能达到我期望的深度，那么它绝对会成为我书架上不可或缺的工具书。

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