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页数:142

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出版时间:2006-8

价格:14.60元

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isbn号码:9787508345055

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• 高等数学
• 数学分析
• 微积分
• 解题集
• 习题集
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• 复习
• 数学

《通往理解的阶梯：高等数学方法论》 本书并非直接提供例题与解题技巧，而是致力于深入剖析高等数学背后的思维模式、解题策略与构建思路。我们希望引导读者超越 rote learning（死记硬背）的局限，掌握如何有效地进行数学抽象、逻辑推理以及模型构建。 核心理念： 数学的本质是语言与思维： 高等数学不仅仅是公式和符号的堆砌，更是一种严谨的逻辑表达方式和深刻的抽象思维工具。本书将带领您理解数学语言的内在规律，学会用数学的视角去观察、分析和解决问题。 方法论指导下的学习： 学习高等数学，掌握正确的学习方法比死记硬背大量的公式更为重要。我们将揭示不同数学分支（如微积分、线性代数、微分方程、概率论等）在方法论上的共通之处与独特之处，帮助您构建属于自己的高效学习体系。 从“为什么”到“怎么做”： 许多学习者在遇到疑难问题时，往往停留在“我不会做”的层面。本书将引导您深入探究问题背后的原理，理解定理的来龙去脉，掌握推导公式的逻辑链条，从而从根本上理解“为什么”要这样做，进而自然地掌握“怎么做”。 本书内容要点： 1. 数学抽象的力量： 识别共性，提炼本质： 如何从具体情境中抽离出普遍适用的数学模型。我们将探讨集合论、逻辑学在数学抽象中的基础作用。 符号系统的构建与运用： 理解不同数学符号的内涵与外延，掌握如何利用符号系统进行精确表达和逻辑演算。 从具象到抽象的飞跃： 分析不同数学概念（如函数、极限、空间、向量）的抽象化过程，理解其在不同学科领域的应用潜力。 2. 严谨逻辑的构建： 证明的艺术： 学习数学证明的规范性要求，掌握直接证明、间接证明（反证法、数学归纳法）、构造性证明等基本技巧。 推理的链条： 理解公理、定义、定理之间的逻辑关系，学会构建严密的推理链条，避免逻辑漏洞。 反思与批判性思维： 培养对数学论证的批判性审视能力，识别常见的逻辑谬误，并能对数学结论进行独立验证。 3. 模型构建与应用： 现实世界的数学化： 学习如何将实际问题转化为数学模型，包括但不限于代数模型、几何模型、概率模型等。 模型的选择与优化： 理解不同模型的适用范围与局限性，掌握如何根据问题特点选择最合适的模型，并进行必要的简化与修正。 模型求解与结果解读： 学习利用高等数学工具求解数学模型，并对求解结果进行有效的解释和实际意义的分析。 4. 高等数学各分支的方法论视角： 微积分： 极限思想的核心： 理解无穷小、无穷大、收敛性等概念背后的思想，以及其在导数、积分定义中的应用。 微分与积分的辩证统一： 深入理解微分与积分之间的互逆关系，以及它们在刻画变化率和累积效应中的作用。 积分的应用： 从几何、物理、工程等角度，理解定积分与不定积分在计算面积、体积、功、概率等问题中的应用方法。 线性代数： 向量空间的几何直观与代数表示： 理解向量、矩阵、线性变换在几何和代数层面的意义，以及它们如何描述多维空间中的对象与关系。 方程组求解的本质： 探讨高斯消元法、矩阵求逆、特征值分解等方法背后的线性代数原理，理解其在数据分析、图像处理等领域的应用。 线性无关与基： 理解线性无关的概念，以及如何构建向量空间的基，这对于理解数据降维、特征提取至关重要。 微分方程： 刻画动态系统的语言： 理解微分方程如何描述自然界和社会中不断变化的现象，以及其在物理学、生物学、经济学等领域的建模应用。 解题策略的归类与选择： 探讨常微分方程和偏微分方程的不同求解方法，如分离变量法、待定系数法、积分因子法、特征线法等，并分析其适用条件。 稳定性分析与相图： 学习如何分析微分方程解的性质，理解稳定性和吸引子的概念，这对于预测系统长期行为至关重要。 概率论与数理统计： 不确定性的量化与描述： 理解随机变量、概率分布、期望、方差等概念，掌握如何用数学工具描述和分析随机现象。 统计推断的原理： 学习参数估计、假设检验等基本统计方法，理解如何从样本数据推断总体特征。 大数定律与中心极限定理： 深入理解这些核心定理的意义，它们是连接微观随机性与宏观稳定性的桥梁，也是统计学方法的理论基础。 本书读者对象： 正在学习高等数学的大学生，希望深入理解概念、掌握解题思路，而非仅仅 rote learning。 对数学学习方法感到困惑，希望建立起高效学习体系的学习者。 从事与数学相关的研究或工程领域，需要提升数学思维能力和解决复杂问题的专业人士。 对数学的内在逻辑和方法论感兴趣的广大数学爱好者。 本书并非是一本“题海”式的练习手册，而是一本“思路”式的思维引导者。 我们相信，通过理解高等数学的学习方法与思维模式，您将能更自信、更有效地应对各种数学挑战，并将数学的强大力量应用于您所处的各个领域。

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这本书带给我的，不仅仅是解题技巧的提升，更是一种对数学美学的重新认识。它不像某些习题集那样，把数学当成一堆需要机械操作的公式和符号的集合。相反，它通过构造的题目，展现了高等数学内在的优雅和简洁。我记得有一组关于拓扑空间中紧致性的题目，它们虽然纯粹抽象，但解题过程却像是在编织一张精密的逻辑网，每一步的推进都充满了必然性和美感。它让你意识到，数学不是为了考试而存在的，它是人类理性思维最精妙的创造之一。通过解决这些精心设计的难题，我开始从一个“解题者”的心态，逐渐转变为一个“探索者”的视角，去欣赏这些抽象结构背后的深刻联系。这种心境上的转变，才是这本《高等数学习题集》最宝贵的馈赠，它让枯燥的计算练习变成了一场充满启迪的心智冒险。

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说实话，我购买这本书的初衷是想巩固一些比较“冷门”的知识点，那些在课堂上老师一带而过，但考试又时不时出现的“偏僻”角落。我必须承认，这本书在这方面做得相当出色，甚至超出了我的预期。它不像其他习题集那样平均用力，而是非常有重点地强化了那些容易失分的地方。比如，关于勒贝格积分的一些基础概念辨析题，或者多元函数微积分中关于路径依赖性的问题，这些在普通教材或习题中常常被轻描淡写。然而，在这本《高等数学习题集》里，它们被赋予了足够的重视，题目难度也设置得恰到好处，既不会让你望而却步，又能让你真正理解其精髓。每当我遇到一道这样的题目，解出来之后，那种豁然开朗的感觉，就像是把知识地图上一个模糊的区域清晰地标记出来一样。它让我的知识体系变得更加完整和健壮，不再有那些恼人的“盲区”。

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这本书简直是为我这种数学学习的“老兵”量身定做的！我之前啃了好几本号称“全面”的习题集，结果发现很多都是概念的简单重复，真正能触及到思维深处的题目少之又少。拿到这本《高等数学习题集》后，我立刻被它那精妙的题目编排所折服。它不是那种堆砌难度的题库，而是更像一位循循善诱的导师。最让我惊喜的是，它对每一个章节的知识点串联得极其自然。比如，在讲到积分应用时，它会巧妙地融入前一章收敛性判定的知识点，让你在解题过程中不自觉地进行知识的融会贯通。很多题目并非孤立的计算，而是需要你构建一个完整的数学模型去应对现实或抽象的复杂情境。特别是那些证明题，它的设问角度刁钻却又合乎情理，逼着你去挖掘定理背后的本质逻辑，而不是死记硬背公式。我敢说，如果能扎扎实实地把这本习题集里的题都吃透，那么面对任何一场高等数学的期末考试，甚至是更深层次的数学分析课程，都会感到游刃有余，信心倍增。这绝对是一本能将“会做题”提升到“懂数学”层次的宝藏。

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我对市面上那些“标准答案式”的习题解析已经深恶痛绝了，往往是给出一个步骤跳跃的解法，看完了还是一头雾水。但这本《高等数学习题集》的解析部分，简直是教科书级别的示范！它没有用那种冷冰冰的、纯符号化的语言来敷衍了事。每一道关键的、有难度的题目，它的解析都像是一次微型的数学讲座。它会清晰地剖析出这道题考察的核心思想是什么，为什么要选择这种特定的解题路径，甚至会讨论一下“如果换一种方法会遇到什么陷阱”。例如，在处理一个关于极限的复杂不等式问题时，它不仅给出了正确的推导过程，还特意用一个小小的附注解释了为什么其他看似合理的放缩方法在此处会失效。这种细致入微的讲解，极大地满足了我作为一个细节控的需求。我常常把解析部分当作独立的内容来阅读和学习，因为那些对解题思路的深度剖析，远比题目本身更有价值。对于自学者而言，这本书的解析简直是请了一位全天候在线的、极其耐心的辅导老师。

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这本书的装帧和排版，对于长时间阅读的人来说，是一个巨大的加分项。我是一个对阅读体验要求较高的人，如果排版混乱、字体过小或者墨迹太浅，我可能坚持不了多久就会放弃。这本《高等数学习题集》在视觉上给人一种非常沉稳、专业的感受。纸张的质量上乘，不会因为反复涂写而轻易损坏，而且墨水浓度适中，长时间盯着看也不会觉得眼睛疲劳。更重要的是，它的版式设计非常合理，题目和留白区域的比例把握得恰到好处，给了我充足的空间来进行演算和笔记批注，而不是像某些习题集那样把题目挤在页面的角落里，让人无从下笔。这种对使用者体验的尊重，让我每次翻开它时，都能保持一种积极的学习心态。细节决定成败，这本书在设计上的用心，无疑提升了整个学习过程的舒适度和效率。

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