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出版者:Springer

作者:Jean-Pierre Serre

出品人:

页数:224

译者:P. Ion

出版时间:2001-10-23

价格:GBP 44.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540421924

丛书系列:Springer Monographs in Mathematics

图书标签:

• 数学
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《伽罗瓦上同调》 内容概述 本书深入探讨了代数数论和代数几何交叉领域中的核心概念——伽罗瓦上同调。它旨在为读者提供一个全面而严谨的视角，理解这一强大工具在解决经典数论问题以及在现代代数几何中扮演的关键角色。本书从基础概念出发，逐步构建复杂的理论框架，涵盖了从局部域上的伽罗瓦上同调到更一般的概形上的伽罗瓦上同调。 理论基础与发展 本书的起点是伽罗瓦理论，着重于域扩张的结构以及其对应的伽罗瓦群。在此基础上，引入了上同调群的构造，特别是作为与伽罗瓦群作用相关的链复形（cochain complexes）的同调群。书中会详细阐述何谓“上同调”，以及它如何捕捉域扩张的某些深刻性质。 接着，本书将聚焦于局部域（p-adic fields）上的伽罗瓦上同调。这是伽罗瓦上同调理论最早也最为成功的应用领域之一。我们将探讨局部域的代数封闭延拓（algebraic closure）的伽罗瓦群，以及其上同调群的计算与性质。特别地，局部域上的幂零（nilpotent）伽罗瓦群以及类域论（class field theory）中的上同调解释将是重点。我们会详细介绍局部类域论中的重要结果，例如希尔伯特绕射（Hilbert symbol）和局部 L-函数（local L-functions）的伽罗瓦上同调表述。 随着理论的深入，本书将转向更一般的伽罗瓦上同调，包括数域（number fields）以及由代数簇（algebraic varieties）或概形（schemes）定义的伽罗瓦上同调。我们将讨论恩氏上同调（Enriques-Severi-Chow groups）和布赫伯格-古伊上同调（Borel-Moore homology）等相关概念，以及它们与伽罗瓦上同调的联系。 核心内容板块 1. 基础概念与伽罗瓦理论回顾： 域扩张、伽罗瓦扩张、有限伽罗瓦扩张。 伽罗瓦群的表示与作用。 李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）在伽罗瓦上同调中的初步接触（若篇幅允许）。 2. 上同调理论入门： 链复形与上同调群的定义。 作用在链复形上的群作用与上同调。 函子（functors）与上同调函子。 谱序列（spectral sequences）在计算上同调群中的应用。 3. 局部域上的伽罗瓦上同调： p-adic 域的结构与伽罗瓦群。 局部域代数封闭延拓的伽罗瓦群。 极小代数封闭延拓（minimal algebraic closure）及其重要性。 局部类域论的伽罗瓦上同调解释。 共轭（Duality）在局部域上的体现。 4. 数域上的伽罗瓦上同调： 数域的伽罗瓦群。 理想（ideals）与素约（prime divisors）在伽罗瓦上同调中的角色。 整体类域论（global class field theory）的伽罗瓦上同调视角。 阿贝尔扩张（Abelian extensions）和非阿贝尔扩张（non-abelian extensions）的上同调。 泽塔函数（Zeta functions）和 L-函数（L-functions）的伽罗瓦上同调。 5. 概形上的伽罗瓦上同调： 代数簇与概形的定义。 基本群（fundamental group）与伽罗瓦上同调的联系。 层（sheaves）与上同调。 层上的伽罗瓦上同调。 算术簇（arithmetic varieties）和数论中的概形。 应用与意义 伽罗瓦上同调理论提供了一种强大的语言和工具，用于理解域扩张的结构、研究代数方程组的解以及探索数论中的基本问题。本书将展示该理论在以下方面的应用： 类域论：深刻理解整体数域和局部域的阿贝尔扩张结构。 代数几何：研究代数簇的几何性质，例如它的基本群、自同构群以及与数论相关的性质。 算术几何：处理涉及数论性质的代数对象。 表示论：理解伽罗瓦群的表示。 数论函数的性质：与 L-函数、谢瓦列群（Chevalley groups）等概念的联系。 读者对象 本书适合具有扎实代数数论和抽象代数基础的研究生和高年级本科生。对于对代数几何、数论和表示论有浓厚兴趣的研究人员，本书也将是一个宝贵的参考资源。 阅读体验 本书力求在概念的清晰性、理论的严谨性和内容的深度之间取得平衡。通过精选的例子和练习，读者能够逐步掌握复杂的证明技巧，并培养独立分析问题的能力。数学符号的定义和使用将遵循标准约定，以确保阅读的流畅性。本书的编写旨在激发读者对伽罗瓦上同调这一迷人领域的探索热情，并为其在相关领域的进一步研究奠定坚实的基础。

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我个人对这本书中关于范畴论在代数几何中应用的章节尤为着迷。作者在这里展现了惊人的洞察力，将原本看似孤立的理论块巧妙地编织在一起。他没有仅仅停留在概念的罗列，而是深入剖析了这种结合如何为解决经典难题提供了全新的视角和强大的工具。举例来说，在讨论某些特定代数空间上的上同调理论时，书中给出的一个构造性证明，简洁得令人拍案叫绝。我对比了手边其他几本更侧重于纯代数拓扑的教材，发现它们在解释某些拓扑空间的性质时，总显得有些“力不从心”，而这本书则凭借其广博的视野，将这些问题置于一个更宏大的代数框架下进行审视，使得那些原本晦涩难懂的内在联系变得清晰可见。可以说，这不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的大师在向你展示他如何“看见”数学世界的内在结构，那种由结构之美带来的震撼感，是其他地方难以体会的。

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说实话，这本书的阅读体验可以说是“痛并快乐着”。它绝不是那种可以轻松翻阅的休闲读物，每一个定理的证明都要求读者全神贯注，甚至需要反复揣摩作者的每一步逻辑推导。有那么几次，我被一个看似简单的引理卡住了整整一个小时，不得不暂时放下书本，起身在房间里踱步，试图从不同的角度去理解那个精巧的构造。但正是这种挑战性，使得最终豁然开朗的瞬间变得格外激动人心。那种感觉，就像是攀登一座陡峭的山峰，每一步都异常艰难，可一旦抵达顶端，俯瞰脚下云海的壮阔，所有的汗水和努力都化为了无上的满足感。作者在处理一些经典但繁复的证明时，采取了一种分层解析的策略，先给出整体框架，再逐层细化，这种教学方法极大地降低了理解的门槛，尽管整体难度依然很高。我发现，这本书的价值并不仅仅在于它提供了知识点，更在于它训练了一种深入、审慎的数学思维方式，教会我如何去“问对问题”。

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这本书给我的整体感觉是，它成功地搭建了一座连接基础代数与前沿研究的坚实桥梁。它以一种近乎诗意的严谨，描绘了数学世界中一个极其专业且深奥的分支。我发现自己阅读这本书时，不再仅仅是忙于记下公式和术语，而是开始思考那些更本质的问题：为什么是这个特定的上同调理论？它揭示了底层空间怎样的不变性？作者对这些问题的探讨，往往是点到为止，但留给读者的思考空间却极为广阔。我身边的几位同行也都在阅读它，我们私下交流时发现，每个人都有自己特别受触动或感到困惑的章节，这恰恰说明了这本书内容的丰富性和启发性。它迫使你走出舒适区，用一种全新的、更具几何直觉的方式去理解纯粹的代数构造。对于任何想在这方面达到精深境界的人来说，这本书绝对是绕不开的里程碑式的经典，它不仅是知识的载体，更是一种思维方式的导师。

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这本书的封面设计得非常引人注目，那种深邃的蓝色调配上银色的字体，给人一种既古典又现代的感觉，仿佛预示着即将踏入一个充满未知与挑战的数学领域。拿到手里掂量了一下分量，就知道这绝非泛泛之作，纸张的质感也相当不错，印刷清晰锐利，那些复杂的数学符号排版得一丝不苟，看得出出版方在细节上的用心。我特地找了一个安静的下午，泡上一杯浓郁的黑咖啡，准备沉浸其中。一开始，章节的组织结构就展现出编纂者的深厚功力，从基础概念的娓娓道来，到逐步深入到更精妙的构造，过渡自然流畅，像是一条精心铺设的河流，引导着读者的思绪向前涌动。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先给出一个直观的几何或代数解释，这对于初学者来说无疑是一剂强心针，避免了在抽象的符号海洋中迷失方向。整本书的写作风格保持了一种严谨而不失温度的平衡，学术的严谨性毋庸置疑，但字里行间又流露出对数学美学的由衷赞叹，让人在攻克难题的同时，也能感受到数学思想的无穷魅力。

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从排版和装帧的耐用性来看，这本书绝对是为那些打算长期收藏和反复研读的严肃学习者准备的。我注意到，内文的参考书目部分极其详尽，列出了一系列相关的经典著作和前沿论文，这对于希望沿着某个特定方向深入研究的读者来说，简直是无价的导航图。更贴心的是，书的末尾附带的习题部分，设计得非常有层次感。基础的计算练习巩固了基本功，中等难度的推导题则用来检验对核心概念的掌握程度，而那些标记为“研究性”的难题，明显是为研究生甚至青年学者准备的挑战。我试着做了几道中等难度的题目，它们的设置目的性极强，每道题都在考察你对前面某个关键定理的理解和应用。做完后，我感觉自己对那些抽象概念的掌握程度又上了一个台阶，而不是像做一些机械性的计算那样空洞无物。这本书的“实战性”体现在它不仅告诉你“是什么”，更引导你去“怎么用”和“为什么”。

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大师的讲稿，太简练。不懂的人看了还是不懂

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太干了，要一边看别的讲义才能看下去

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