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为适应21世纪对高等职业技术应用型人才的新要求，提升高等数学在技能和职业指导中作用，我们编写了这本具有高职特色的高等数学教材。《新编高等数学教程》作为教育部高等职业教育基础课规划教材之一，创新点在于把学法融入读本中，把培养学生的职业精神和职业意识写进了数学教材中，突显每章节的技术性内容。《新编高等数学教程》包括一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、向量与空间解析几何、几何级数、常微分方程、数学建模、数学软件Mathematica九个知识模块，全部学完学时不少于120学时。前二个知识模块学完后，就可以根据专业选择所需数学知识模块。《新编高等数学教程》注重对综合知识的应用，突出一定升学应试能力，对参加“专升本”考试具有一定指导意义。《新编高等数学教程》可作为高职高专理工类和财经类各专业的通用教材，也可作为其他各专业的参考资料，同时，也可作为普通高等专科学校和成人高校的通用教材。
《现代数学方法论：从抽象到应用》 第一章 集合论基础与逻辑推理 本章将深入探讨现代数学的基石——集合论。我们将从最基本的集合概念入手，包括集合的定义、表示法（枚举法、描述法）、子集、真子集、空集以及全集。在此基础上，我们将学习集合间的运算，如并集、交集、差集和补集，并理解它们的几何直观和代数性质。皮亚诺公理系统将作为自然数构造的理论基础，帮助我们理解数学对象的严谨定义。 逻辑推理是数学思维不可或缺的工具。本章将重点介绍命题逻辑，包括命题的真假判断、联结词（与、或、非、蕴含、等价）以及它们所遵循的真值表。我们将学习如何构建有效的论证，区分充分条件和必要条件，并理解推理的几种基本形式，如肯定前件、否定后件、假言推理和选言推理。此外，还将触及谓词逻辑，引入量词（全称量词和存在量词），为描述更复杂的数学语句打下基础。通过集合论与逻辑推理的结合，读者将建立起严谨的数学表达能力和分析能力。 第二章 实数系与函数概念 本章将构建起我们熟悉的实数世界。我们将从数的概念的演进出发，回顾自然数、整数、有理数，并着重介绍无理数的引入，理解实数系的完备性。柯西序列的构造方法将作为一种严谨的实数构造方式被介绍，虽然可能不会深入到构造的全部细节，但其思想将帮助读者理解实数系的结构。实数公理系统将详细阐述实数的各种代数和序关系性质，包括加法、乘法、减法、除法的运算律，以及大小关系的传递性、反对称性等。 函数是刻画变量之间依赖关系的核心概念。本章将定义函数的概念，包括定义域、值域、单射、满射和双射。我们将详细介绍一些基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数。每种函数的图像特征、单调性、奇偶性、周期性以及主要性质都将得到深入分析。函数的基本运算，如加、减、乘、除、复合函数，也将被系统讲解。通过本章的学习，读者将能够熟练地分析和刻画各种数学模型中的函数关系。 第三章 数列与极限 数列是函数在离散变量上的一个特例，是理解连续变化的基础。本章将介绍数列的定义、通项公式和递推关系。我们将重点关注等差数列和等比数列，推导它们的通项公式和求和公式。 极限是微积分的核心概念，是理解连续性、导数和积分的基石。本章将从直观的数列收敛概念出发，引入极限的严格定义（ε-δ语言）。我们将学习极限的四则运算法则，以及单调有界数列必有极限的定理。夹逼定理和海涅定理将作为重要的判断和计算极限的工具。本章还将介绍无穷小、无穷大以及无穷小与无穷大之间的比较，为后续的泰勒展开和渐近分析打下基础。对极限存在的分析方法，包括利用单调性和有界性，以及通过构造数列逼近值，将得到详尽的阐述。 第四章 微分学基础：导数与微分 导数是描述函数瞬时变化率的强大工具。本章将从平均变化率的概念出发，引入导数的定义，即函数在一点的极限。我们将学习导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）。 本章将系统介绍求导的基本法则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的导数。导数的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）以及反函数求导法则将得到详尽的讲解和大量的练习。隐函数求导和参数方程求导的方法也将被介绍。 微分的概念将与导数紧密联系，理解微分是导数的线性近似。本章将介绍微分的几何意义，并探讨微分在近似计算中的应用。 第五章 微分学的应用 本章将深入探讨导数的丰富应用。我们将学习如何利用导数判断函数的单调性，找到函数的极值点（局部最大值和最小值），从而绘制函数的图像。函数的凹凸性分析，即利用二阶导数判断函数的形状，也将被详细讲解，并介绍拐点。 洛必达法则作为一种强大的求未定式极限的工具，将得到重点介绍，并分析其适用条件。中值定理，特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理，作为连接函数值与导数的桥梁，其理论意义和应用将得到阐述。 此外，本章还将涉及函数方程的求解，以及在物理、经济等领域中常见的优化问题，例如如何找到使成本最小或利润最大的条件。速度、加速度等物理量的计算也将作为导数应用的具体实例。 第六章 积分学基础：不定积分与定积分 积分是微分的逆运算，是计算累积量的重要方法。本章将首先介绍不定积分的概念，即找到一个函数的原函数。我们将学习不定积分的基本性质和线性性质。 定积分的概念将通过黎曼积分的定义引入，即利用分割、小区间上的函数值乘以区间长度并求和取极限来定义。我们将深入理解定积分的几何意义（曲边梯形的面积）。牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）将揭示不定积分与定积分之间的深刻联系，成为计算定积分的关键工具。 本章将介绍几种重要的积分技巧，包括第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（变量代换法），以及分部积分法。这些方法将使我们能够计算更广泛函数的积分。 第七章 积分学的应用 本章将展示定积分的广泛应用。我们将利用定积分计算各种几何图形的面积，包括平面区域的面积，以及由曲线旋转而成的旋转体的体积。弧长和曲面面积的计算也将作为定积分应用的拓展。 此外，定积分还可用于计算物理学中的功、引力、压力等。在概率论中，定积分是计算概率密度函数与概率之间的桥梁。本章还将介绍利用定积分处理一些实际问题，如计算质心、转动惯量等。 第八章 空间解析几何与向量 本章将从三维空间出发，介绍空间坐标系及其基本概念。我们将学习点在空间中的表示，以及空间中直线和平面方程的各种形式（点法式、一般式、参数式等）。直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，如平行、相交、垂直，将通过向量运算得到清晰的刻画。 向量是描述方向和大小的数学对象，在物理和工程领域有广泛应用。本章将介绍向量的定义、加法、减法、数乘运算，以及向量的坐标表示。点积（内积）和叉积（外积）是向量运算的重要内容，它们各自的几何意义和代数性质将得到详细讲解，例如利用点积判断向量的夹角和垂直关系，利用叉积计算平行四边形和三角形的面积以及判断向量的平行关系。 第九章 多元函数微分学 本章将把微积分的概念推广到多元函数。我们将定义多元函数的概念，包括定义域、值域，并理解多维空间中的函数。偏导数的概念将作为多元函数局部变化率的刻画。二阶偏导数及其混合偏导数（克莱罗定理）将得到介绍。 梯度向量将作为指示函数增长最快方向的重要工具。方向导数将描述函数在任意方向上的变化率。多元函数的极值问题，包括局部极值和最优化问题，将通过多元函数的二阶偏导数（海森矩阵）来分析。 隐函数定理和反函数定理是多元函数中重要的定理，它们为研究复杂函数关系提供了理论基础。 第十章 多元函数积分学 本章将介绍二重积分和三重积分，它们是计算多维空间中“累积量”的工具。我们将学习二重积分和三重积分的计算方法，包括利用坐标变换（如极坐标、柱坐标、球坐标）简化积分。 雅可比行列式将作为坐标变换中度量体积变化率的关键。本章还将探讨多元积分在计算体积、质量、质心、转动惯量等物理量中的应用，以及在概率论和统计学中的应用。 第十一章 级数 级数是研究无穷项数列之和的数学工具。本章将首先介绍数项级数，包括收敛与发散的概念。我们将学习几种重要的收敛判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼茨判别法。 幂级数是函数展开为无穷项多项式的表示，具有极其重要的理论和应用价值。我们将学习幂级数的收敛半径和收敛域的确定。泰勒级数和麦克劳林级数作为将函数展开为幂级数的重要方法，将得到详细介绍，并展示如何利用它们进行函数近似计算。 第十二章 常微分方程 本章将初步介绍常微分方程的基本概念，即包含未知函数及其导数的方程。我们将学习一些常见的一阶常微分方程的解法，如可分离变量方程、齐次方程、线性方程和全微分方程。 二阶线性常微分方程的解法，特别是常系数齐次和非齐次方程的解法，也将被系统讲解。我们还将介绍常微分方程的初值问题和边值问题，以及它们在描述动态系统中的应用，例如在物理学中的振动、电路分析等问题。 附录 A：部分习题解答与提示 为了帮助读者巩固所学知识，本附录提供了部分习题的解答和解题思路提示。这些解答旨在引导读者理解解题过程，而非直接给出答案，鼓励读者独立思考和探索。 附录 B：数学符号与术语表 本附录整理了书中出现的常用数学符号和术语，方便读者查阅和记忆。 《现代数学方法论：从抽象到应用》 旨在为读者提供一个系统、严谨而又注重应用的数学学习体验。本书力求在理论深度和实际操作之间取得平衡，帮助读者不仅掌握数学工具，更能理解其背后的思想方法，并将其灵活应用于解决各种科学与工程问题。
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