具体描述
数学机械化研究的兴趣，是当代数学科学发展的趋势。本书分五章系统地、深入浅出地介绍了吴文俊先生在机械化数学研究中的学术创造，包括代数方程组求解和数学定理机器证明的基本原理和方法。书中还介绍了若干实例，以加深对这些原理和方法的理解。
本书以教材的形式编写，可做为大学数学第高年级及研究生的教材，也是有关科学工作者较适宜的参考书。
《几何的诗篇：数学的另一种语言》 本书并非一本介绍机械化数学的著作，而是邀您一同踏上一场非凡的数学探索之旅，一次关于数学本质与美学的深度沉思。我们将告别枯燥的计算与繁复的符号，回归数学最纯粹、最直观的表达——几何。通过对几何图形、空间关系以及形态变化的深入剖析，我们旨在揭示数学背后蕴藏的优雅逻辑与深刻智慧，让读者在视觉的享受中领略数学的魅力。 第一章：点、线、面的对话——空间的基石 我们从最基本的几何元素——点、线、面——开始。但这并非简单的定义与公理的罗列。我们将探索点如何定义位置，线如何描述方向与延伸，而面又如何构成边界与填充。我们会追溯古希腊几何学的光辉，从欧几里得的《几何原本》中汲取灵感，理解为何这些看似朴素的概念构成了整个数学世界的基石。 点的本质：我们不仅仅将点视为一个无量纲的位置，而是探讨其在坐标系中的投影，以及在矢量空间中的抽象表达。从笛卡尔坐标系到更高级的流形，点的概念是如何不断扩展和深化的？我们将观察点如何通过运动描绘出线，线如何通过平移或旋转生成面，从而理解“生成”这一数学动词的深刻含义。 线的律动：直线是空间的脊梁，曲线则是自然的韵律。我们将解析直线的方程，理解斜率与截距如何精确地描述其方向与位置。但我们不会止步于此。我们会深入研究各种曲线的方程，从圆的和谐到抛物线的优雅，再到双曲线的无限延伸，探寻它们背后隐藏的数学规律。我们将探讨参数方程如何捕捉曲线的动态美，以及微分几何如何描述曲线的弯曲与扭转。 面的构建：面是空间的容器，也是我们感知世界的框架。我们将从最简单的平面开始，理解方程如何定义一个平面，以及平面之间的相对位置——平行、相交还是重合。然后，我们将跨入三维空间，探索曲面的奇妙世界。球面的完美对称，圆柱面的无限延伸，以及更复杂的二次曲面，它们是如何被数学语言精确描述的？我们将借助微积分的工具，理解曲面的切线、法线，以及曲率如何量化其光滑度与弯曲程度。 第二章：形状的变奏——从静态到动态的解析 几何不仅仅是对静态形状的描述，更是对形状变化规律的探索。本章将聚焦于几何变换，展示数学如何精确地描述和分析形状的运动。 刚体变换：平移、旋转、反射，这些简单的变换如何组合起来，精确地描述物体在空间中的位移？我们将学习如何用矩阵来表示这些变换，理解矩阵乘法如何代表变换的复合。这将让我们看到，即使是复杂的运动，也能够被简洁的数学语言所捕捉。 相似与全等：相似变换（缩放）和等距变换（平移、旋转、反射）是理解形状大小和位置关系的关键。我们将探讨相似三角形的性质，以及它们如何在比例的世界里保持不变。全等则意味着形状的绝对一致，我们将学习如何通过边角关系来判定图形的全等。 形变的艺术：形变，即非刚体变换，是更具挑战性但也是更富表现力的几何工具。我们将初步接触仿射变换和投影变换，理解它们如何在保持直线性和平行性的前提下，扭曲和拉伸形状。这将让我们看到，即使一个圆，在经过特定的形变后，也可能变成椭圆。我们将探讨这些变换在图像处理、计算机图形学等领域的应用，领略数学在创造视觉奇观方面的力量。 第三章：度量的智慧——长度、面积与体积的奥秘 测量是数学与现实世界最直接的联系。本章将深入探讨如何精确地度量几何对象的各个维度，并从中发现数学的量化之美。 长度的测量：从毕达哥拉斯定理勾勒出直角三角形的边长关系，到弧长公式揭示曲线的曲折程度，我们将在不同的几何情境下学习长度的计算方法。我们将探讨黎曼几何中度量张量的概念，理解在弯曲空间中，长度的定义如何变得更加复杂而精妙。 面积的计算：我们将回顾并深入研究不同形状面积的计算公式，从简单的矩形、三角形到复杂的圆形、扇形。微积分的出现极大地拓展了我们计算不规则图形面积的能力。我们将学习定积分如何通过“累加”无限小的面积元素来计算任意形状的面积。 体积的探寻：将面积的计算方法推广到三维空间，我们便能理解体积的度量。从立方体、球体到圆锥、圆柱，我们将学习它们各自的体积公式。同样，多重积分将成为我们计算复杂三维物体体积的强大武器。我们将通过切片、旋转等方法，体会数学如何将抽象的体积概念具象化。 第四章：对称之韵——几何中的和谐与秩序 对称性是宇宙中最普遍、最令人着迷的现象之一。本章将从几何的角度，深入剖析对称性的概念及其在数学和自然界中的重要性。 对称的类型：我们将区分轴对称、中心对称、旋转对称以及平移对称等不同的对称形式。我们会学习如何利用变换的语言来描述这些对称性，理解对称群是如何系统地刻画一个物体的对称性质。 对称与美学：从古希腊雕塑的完美比例到现代建筑的简洁线条，对称无处不在，是美的基本元素之一。我们将探讨为何对称会带给我们一种和谐、稳定和愉悦的感受。 对称在科学中的应用：对称性并非仅仅局限于美学，它在物理学、化学、生物学等领域扮演着至关重要的角色。我们将看到，物理定律往往具有高度的对称性，而分子的结构和晶体的排列也离不开对称性的规律。 第五章：拓扑的遐想——超越度量的几何 本章将带领读者进入一个更抽象但同样迷人的几何领域——拓扑学。拓扑学关注的是图形在连续形变下保持不变的性质，它研究的是“连通性”而非“度量”。 连续变形的魔法：在拓扑学中，一个杯子可以被看作和一个甜甜圈是“同一个”物体，因为它们都可以通过连续的拉伸、弯曲而相互转化，而无需撕裂或粘合。我们将理解“同胚”这一概念，以及它如何定义拓扑等价。 不变量的探索：我们将学习一些基本的拓扑不变量，例如连通分支的数量、孔洞的数量（即亏格）。这些不变量在连续形变下保持不变，因此可以用来区分不同的拓扑空间。 魔幻的曲面：我们将探索一些奇特的拓扑曲面，例如克莱因瓶和莫比乌斯带。它们独特的性质，例如单侧性，将挑战我们对空间的直观理解，展现数学的奇思妙想。 结语：几何的未来，数学的诗意 《几何的诗篇：数学的另一种语言》并非提供一套解决具体问题的机械方法，而是旨在唤醒读者对数学内在逻辑与美学的感知。我们相信，通过对几何本质的深入理解，读者能够以一种全新的视角审视数学，感受其作为一种通用语言的深刻力量，并从中获得智识的愉悦和灵感的启迪。本书所揭示的，是数学那永恒不变的诗意，是隐藏在数字与公式背后，关于宇宙秩序与和谐的深刻洞见。
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