Vector and Tensor Analysis with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Silverman, Richard A. (EDT)

出品人:

页数:288

译者:Silverman, R.A.

出版时间:1979-10

价格:$ 18.02

装帧:

isbn号码:9780486638331

丛书系列:

图书标签:

• 物理
• Physics
• Mathematics
• 向量分析
• 张量分析
• 数学物理
• 应用数学
• 高等数学
• 线性代数
• 微分几何
• 工程数学
• 物理学
• 数学

《多变量微积分与几何初步》 本书旨在为读者构建一个坚实的数学基础，特别侧重于理解和应用多变量微积分的原理。我们将循序渐进地探索多维空间中的函数行为，以及描述和分析几何形状的强大工具。 第一部分：多维空间的结构与函数 向量空间与几何： 我们将从最基本的概念出发，引入向量空间，理解向量的线性组合、内积、外积等基本运算，以及它们在几何上的直观意义。通过对点、线、面的代数表示，为后续的微积分奠定空间感。 多变量函数： 重点在于理解定义在 $mathbb{R}^n$ 上的函数，包括其定义域、值域、图像（曲面）以及极限和连续性的概念。我们将分析如何判断多变量函数的连续性，并探讨一些常见的函数类型，例如多项式函数、指数函数、三角函数等。 偏导数与梯度： 学习如何计算偏导数，理解它们在描述函数沿特定方向变化率时的含义。我们将深入研究梯度向量，阐释其指向函数增长最快方向的几何意义，并介绍其在优化问题中的初步应用。 方向导数： 进一步将偏导数推广到任意方向，定义和计算方向导数，理解它如何更全面地反映函数在空间中的变化趋势。 高阶偏导数与海森矩阵： 探讨二阶及更高阶偏导数的计算和性质。海森矩阵将作为分析函数局部极值的重要工具，介绍其与二阶导数检验的关系。 多元函数的极值问题： 系统学习如何寻找多元函数的局部最大值、最小值以及鞍点。我们将详细介绍使用偏导数和海森矩阵进行极值分析的方法，并探讨如何处理边界条件下的极值问题。 第二部分：多变量微积分的积分与应用 重积分（二重积分与三重积分）： 引入在二维和三维区域上积分的概念。我们将学习不同坐标系（直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标）下的重积分计算方法，以及通过分割区域、近似求和来理解积分的定义。 重积分的应用： 重点展示重积分在计算面积、体积、质量、质心、转动惯量等物理和几何量方面的强大威力。 曲线积分： 定义并计算在曲线上的积分，理解其在计算功、质量分布等问题中的作用。我们将区分标量场和向量场在曲线上的积分。 面积分： 定义并计算在曲面上的积分，理解其在计算流量、磁通量等物理量时的应用。 格林公式、斯托克斯公式与高斯散度定理： 这是多变量微积分的核心定理。我们将深入理解这些定理的内在联系，它们如何将不同类型的积分相互转化，从而简化计算并揭示深刻的数学结构。 场论初步： 引入保守场、无旋场、无散场等概念，并探讨这些场的一些重要性质和应用。 第三部分：几何与微分几何的初步探索 参数化曲线与曲面： 学习使用参数方程描述更复杂的曲线和曲面，理解参数的几何含义。 曲率与挠率： 初步介绍描述曲线弯曲程度的曲率和扭曲程度的挠率，理解它们如何量化曲线的几何特性。 曲面的基本形式： 介绍第一基本形式和第二基本形式，它们是研究曲面几何性质的基础，用于计算曲面上的长度、面积，以及曲面的曲率。 曲率的分类： 探讨高斯曲率、平均曲率等概念，理解它们与曲面内在几何性质的关系。 本书的写作风格将力求清晰易懂，辅以大量的例题和习题，帮助读者巩固所学知识。我们将强调概念的理解，并展示多变量微积分在物理学、工程学、计算机图形学等众多领域的广泛应用。通过学习本书，读者将能够熟练运用多变量微积分的工具，解决复杂的三维空间问题，并为进一步深入学习更高级的数学分支打下坚实的基础。

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阅读体验上，这本书的排版和用词风格呈现出一种略显老派但极其严谨的学术气质。它不像某些现代教材那样追求花哨的彩色图表或过于口语化的叙述，而是坚持使用清晰、准确的数学语言。这要求读者必须保持高度的专注力，因为任何一个疏忽都可能导致对下一步推导的误解。我发现自己经常需要放慢速度，甚至需要借助其他参考资料来辅助理解某些推导的中间步骤，但一旦成功跨越了那个思维的“坎”，随之而来的成就感是无可替代的。例如，书中对共变导数的定义部分，其逻辑链条之严密，犹如搭建精密的钟表结构，每一个公理和定义都是必不可少的齿轮。对于那些追求扎实理论基础、不畏惧挑战性阅读的读者来说，这本书无疑是一座宝库。它训练的不仅仅是计算能力，更是严密的逻辑思维和对数学结构本质的洞察力。

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这本书的深度和广度确实令人印象深刻，尤其是在应用部分的挖掘上。我特别欣赏它对于高阶张量应用的探讨，这部分内容往往是许多入门教材所避讳的“高深莫测”之地。但这本书却用一种循序渐进的方式，将那些看似抽象的四阶张量、黎曼曲率张量等概念，巧妙地与材料科学中的应力-应变关系、广义相对论中的时空弯曲联系起来。作者在讲解曲率张量时，并没有直接给出复杂的指标运算，而是先用类比的方式，比如想象一个在弯曲表面上滚动的平面，解释曲率是如何体现在向量平行移动路径上的差异。这种“以物理驱动数学”的叙事方式，极大地激发了我继续深究下去的兴趣。最让我感到惊喜的是，书中居然包含了关于有限元方法中刚度矩阵构造的向量化解释，这对于工程背景的我来说，提供了一个非常实用的视角，让我明白这些看似纯数学的工具是如何在数值模拟中发挥作用的。

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这本书在处理坐标变换和指标记法时的系统性让人印象深刻，简直是为那些打算深入研究微分几何或理论物理的读者量身定做的工具书。它不仅仅是告诉你“要用爱因斯坦求和约定”，而是深入剖析了为什么在不同（非惯性）参考系下，我们必须引入协变和逆变分量，以及这些分量如何通过度规张量相互关联。书中关于“协变导数”的章节，用了大量的篇幅去解释平行移动的概念，以及为什么在弯曲空间中，一个向量沿着闭合路径“走回原点”时，其方向可能发生变化。这种对基础假设的深入探讨，让我对什么是“向量”和“张量”有了更深刻的哲学层面的理解。它不再是单纯的数字数组，而是描述物理量在流形上行为的内在属性。虽然有些读者可能会觉得这部分内容过于理论化，但正是这种对内在一致性的坚持，使得这本书在处理更复杂的非欧几里得几何问题时，显得游刃有余，极具说服力。

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我个人认为，这本书最大的价值在于其对“应用”二字的诠释是极其开阔和深刻的。它没有止步于经典的力学和电磁场应用，而是将读者的视野引向了更现代的领域。我尤其喜欢其中关于信息论中费舍尔信息张量的介绍，虽然篇幅不长，但它清晰地展示了如何将度规概念从空间几何推广到概率空间，从而量化统计模型的“信息曲率”。这种跨学科的视角，对于那些试图将数学工具应用于前沿研究的学者来说，提供了极佳的启发。这本书的难度曲线是陡峭的，它假设读者已经具备了一定的微积分基础，并准备好投入大量时间去消化其中的细节。它不提供捷径，但它所铺设的道路极其坚实和平坦，保证了当你最终抵达终点时，你所获得的知识体系是稳固且可以自我延伸的。这更像是一本教科书结合研究手册的混合体，非常适合作为研究生阶段的核心参考资料。

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这本书的封面设计着实吸引人，那种深邃的蓝色调配上简洁的字体，立刻给人一种专业而严谨的感觉。初翻开来，我最先注意到的是它对基础概念的阐述方式。作者似乎非常注重从几何直观入手，而不是一开始就陷入繁复的张量运算符号之中。例如，在介绍梯度和散度时，他们花了大量的篇幅去描绘这些向量场操作在三维空间中实际代表的物理意义——流动的方向、源与汇的分布，这对于初学者来说简直是救星。我记得书中有一张图解，清晰地展示了曲线坐标系下，向量如何随着坐标系的扭曲而相应地伸缩和旋转，那种“看不见但摸得着”的理解过程，远比单纯背诵坐标变换公式要有效得多。而且，作者在例子选择上也颇具匠心，从经典的热传导方程到流体力学中的涡旋描述，无不体现出数学工具与实际物理问题的紧密结合。读完前几章，我对那些曾经感觉模糊不清的微分算子，现在有了一种豁然开朗的清晰认知，感觉自己仿佛真的抓住了向量分析这门学科的“精髓”所在，而不是停留在符号的海洋里漂浮。

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