应用数学基础(下册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787040080643

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• 线性代数
• 微分方程
• 概率论
• 数值计算

好的，这里为您提供一份针对不包含《应用数学基础（下册）》内容的图书简介，旨在详细介绍其他相关或不同领域的数学主题。 --- 图书名称：现代概率论与随机过程：从理论基础到实际应用 内容简介 本书旨在系统、深入地探讨现代概率论的核心概念、理论框架及其在复杂系统建模中的应用。它不仅仅是一本传统的概率论教科书，更是一部连接纯粹数学严谨性与工程、金融、物理等交叉学科实际需求的桥梁。全书结构清晰，内容涵盖了从基础测度论概率到高级随机过程理论的广阔领域，力求在理论深度和应用广度上达到平衡。 第一部分：概率论的测度论基础 本部分着重于建立现代概率论的坚实数学基础。我们从集合论和测度论的初步回顾开始，迅速过渡到概率空间的严格定义。重点内容包括： 1. $sigma$-代数与可测空间：详细阐述了 $sigma$-代数在定义随机现象样本空间时的必要性与作用。我们探讨了波雷尔 $sigma$-代数（Borel $sigma$-algebra）的构造及其在实数线上的重要性。 2. 随机变量的定义与性质：对随机变量的定义进行了严格的数学表述，区分了离散型、连续型以及混合型随机变量。特别关注了随机变量的分布函数（CDF）和特征函数（Characteristic Function）的理论特性，后者是分析随机变量和极限定理的关键工具。 3. 积分与期望：基于勒贝格积分（Lebesgue Integration）的框架，重新定义了期望（Expectation）。这不仅为处理复杂分布提供了更强大的工具，也为后续引入条件期望和鞅论奠定了基础。我们详细分析了 Fubini 定理在联合分布期望计算中的应用。 4. 收敛概念与极限理论：这是概率论的核心之一。本书详尽讨论了依概收敛（Convergence Almost Surely）、依概率收敛（Convergence in Probability）和 $L^p$ 收敛之间的关系与区别。重点阐述了大数定律（Law of Large Numbers, SLLN 和 WLLN）的严谨证明及其意义，以及中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）的多种形式，包括 Lindeberg-Feller CLT。 第二部分：随机过程：描述动态系统 第二部分将研究随时间演化的随机现象——随机过程。这部分内容是理解金融市场波动、物理粒子扩散、通信系统噪声等复杂动态系统的关键。 1. 基本随机过程：系统介绍了最基础且应用最广泛的过程。 马尔可夫链（Markov Chains）：涵盖离散时间马尔可夫链（DTMC）的转移概率矩阵、平稳分布（Stationary Distribution）的求解方法（如 $pi$ 迭代法），以及遍历性（Ergodicity）的条件。同时，也引入了连续时间马尔可夫链（CTMC）及其生成元矩阵（Infinitesimal Generator Matrix）。 泊松过程（Poisson Process）：从定义出发，探讨其无记忆性（Memoryless Property）的深刻含义。分析了复合泊松过程（Compound Poisson Process）在风险理论中的应用。 2. 连续时间过程进阶： 布朗运动（Wiener Process）：作为最基本的连续时间随机过程，我们详细分析了布朗运动的路径性质（如处处不可微性、二次变差）。着重讲解了布朗运动与常微分方程（ODE）的联系，特别是其在随机微分方程（SDE）理论中的基础地位。 伊藤积分（Itô Integration）：这是理解随机微积分的核心。本书提供了对伊藤积分的直观解释和严格定义，特别是如何处理半鞅（Semimartingales）。 伊藤公式（Itô's Formula）：详细推导并展示了在随机微积分中函数变换的基本工具，这是应用随机分析解决实际问题的基石。 3. 鞅论（Martingale Theory）：鞅论是现代概率论的精髓之一，它提供了一个框架来处理信息不断增加的随机过程。 鞅、超鞅与下鞅的定义：清晰界定这三种过程的条件。 鞅的收敛定理：如上鞅收敛定理（Doob's Martingale Convergence Theorem），及其在停止时间问题中的重要性。 Doob-Meyer 分解：将任意局部鞅分解为鞅、可积过程和有限变差过程的和，是分析复杂过程结构的重要手段。 第三部分：随机过程的应用建模 本部分聚焦于如何运用前述理论工具解决实际问题，特别是金融数学和统计推断中的前沿课题。 1. 金融衍生品定价：以布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型为核心案例，展示随机微积分如何用于推导欧式期权和美式期权的定价公式。讨论了风险中性定价（Risk-Neutral Pricing）的原理及其与鞅论的关系。 2. 随机控制与最优停止问题：引入动态规划的思想，探讨如何利用随机过程在不确定环境下做出最优决策，例如投资组合的最优再平衡问题。 3. 平稳性与谱分析：针对时间序列分析，引入了广义平稳性（Wide-Sense Stationarity）的概念，并讨论了功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）在信号处理中的应用，以及如何利用 Wiener-Khinchin 定理连接时间域与频率域。 本书特点： 数学严谨性：所有关键定理均提供详尽的证明，确保读者对理论的理解深入到位。 跨学科视野：大量精选的例题和习题直接来源于物理、工程和经济学，展示了概率论作为“科学的语言”的力量。 结构逻辑性强：从基础测度论平滑过渡到高级随机微积分，层次分明，便于自学和课堂教学使用。 本书适合高等院校数学、物理、统计学、金融工程、应用力学等专业的高年级本科生、研究生以及需要深入理解随机现象建模的科研人员和工程师阅读。它将使读者不仅掌握随机过程的计算技巧，更能理解其背后的深刻数学结构。 ---

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