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isbn号码:9787500554103

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探索未知的知识疆域：《高等代数在工程中的应用》 简介 本书聚焦于一个至关重要的领域：现代高等数学工具如何渗透并重塑工程科学的每一个角落。 它并非一本传统的数学理论教材，而是一部深度融合了理论深度与实践广度的工具书和思维导引手册。我们的目标是搭建一座坚实的桥梁，连接抽象的数学结构与具体的工程挑战。 第一部分：线性代数——现代工程的骨架 本书的开篇部分将彻底颠覆读者对线性代数的传统认知。我们不再将矩阵和向量视为枯燥的数字排列，而是将其视为描述复杂系统状态和变换的“语言”。 1. 矩阵的物理意义与几何直觉： 我们将详细探讨特征值和特征向量在振动分析（模态分析）、结构稳定性判断中的核心地位。不再仅仅是求解方程，而是理解一个系统“最自然的运动模式”或“关键的受力方向”。例如，如何通过计算对称矩阵的特征分解，来确定一座大桥在不同频率下的固有振型，从而规避共振风险。 2. 矩阵分解的工程实践： 我们将深入解析奇异值分解（SVD）在数据压缩、图像处理（如降噪与特征提取）中的应用。不仅会介绍如何计算SVD，更重要的是阐释SVD如何揭示数据结构中最本质、最稳定的信息——“信号”与“噪声”的分离。此外，QR分解在最小二乘法求解超定系统中的稳定性和效率优势，将被置于大规模传感器数据拟合的背景下进行详尽讨论。 3. 矩阵函数的应用： 对于微分方程组的求解，矩阵指数函数是核心工具。本书将详细展示如何利用矩阵指数来模拟连续时间动态系统的演化，这在控制理论（如状态空间模型）和电路瞬态分析中是不可或缺的。 第二部分：微分方程与动力系统——描述世界的动态法则 工程学的核心在于理解变化，而变化由微分方程支配。本部分将侧重于解析和数值方法在处理实际工程问题中的结合。 1. 常微分方程（ODE）的严谨处理： 我们将超越一阶和二阶常系数线性ODE的基础解法，转向非线性动力系统的定性分析。相平面分析、极限环的识别，以及李雅普诺夫稳定性理论的引入，将为读者提供判断复杂机械系统（如振荡器、反馈控制回路）长期行为（稳定、发散或周期性）的强大工具。 2. 偏微分方程（PDE）的工程视界： 本书不会陷入繁琐的解析解推导，而是聚焦于三大经典PDE在工程中的物理意义：热传导方程（扩散过程）、波动方程（波的传播）和拉普拉斯/泊松方程（稳态场分布）。我们将详细介绍有限差分法（FDM）和有限元方法（FEM）的离散化思想，并强调边界条件和初始条件对解的物理合理性的决定性影响。 3. 扰动理论与近似解法： 在很多情况下，精确解难以获得。本书将系统介绍摄动法（如常数变易法、多尺度法），用以处理带有小参数的非线性系统，例如在流体力学中处理微小粘性效应或在电路中处理微小非线性元件的影响。 第三部分：傅里叶分析与积分变换——从时域到频域的视角转换 现代信号处理、通信和系统辨识完全依赖于频域分析。本部分是连接数学抽象与信息科学的关键枢纽。 1. 傅里叶级数与变换的物理内涵： 读者将深刻理解傅里叶分析的本质——将一个复杂的、任意波形分解为一系列纯净的正弦波的叠加。我们将讨论狄拉克梳和单位阶跃函数在傅里叶变换中的推广应用，这对于处理脉冲信号和系统瞬态响应至关重要。 2. 拉普拉斯变换的应用深度： 拉普拉斯变换是分析线性时不变（LTI）系统的最有力工具。本书将重点讲解其在传递函数（Transfer Function）构建中的作用，如何利用传递函数快速推导系统的时域响应，以及在频率响应分析（Bode图、Nyquist图）中的实际操作。 3. 离散时间系统与Z变换： 针对数字控制和数字信号处理，我们将详细阐述Z变换与拉普拉斯变换的对应关系，并深入探讨离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）算法的工程实现及其在频谱分析中的精度考量。 第四部分：概率论与随机过程——面对不确定性的工程决策 现实世界充满了噪声、测量误差和随机扰动。本部分旨在提供量化不确定性的数学框架。 1. 随机变量与数理统计在质量控制中的应用： 我们将从大数定律和中心极限定理出发，探讨其如何为工程抽样检验和可靠性评估提供理论基础。重点讨论参数估计（最大似然估计、矩估计）在传感器校准中的应用。 2. 随机过程的基本模型： 马尔可夫链、平稳过程和高斯过程将被介绍为描述随时间变化的随机现象的模型。例如，如何利用布朗运动模型描述热噪声，或如何利用马尔可夫链模型化部件的故障与修复过程。 3. 卡尔曼滤波：状态估计的巅峰之作： 本书将花费大量篇幅介绍卡尔曼滤波器——它如何在存在系统噪声和测量噪声的情况下，融合多源信息，对系统的真实状态进行最优线性估计。从基础的离散时间卡尔曼滤波器到扩展卡尔曼（EKF）和无迹卡尔曼（UKF），我们将贯穿于导航、定位和目标跟踪等尖端领域。 总结：构建跨学科的思维模式 本书不仅仅是一本数学公式的集合，它更是一种解决问题的哲学。每一章都以一个真实的工程案例（如结构疲劳分析、PID控制器设计、雷达信号处理）为引子，引导读者主动思考：“我学到的哪个数学工具可以最优雅、最高效地解决这个问题？” 最终目标是培养读者面对未知复杂系统时，能够迅速将其抽象、建模，并利用高级数学工具进行精确分析和优化设计的能力。阅读本书后，工程实践将不再是“套公式”，而是“构建模型”与“求解结构”的有机统一。

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