Global Analysis in Mathematical Physics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Yuri Gliklikh

出品人:

页数:231

译者:

出版时间:1996-12-13

价格:USD 99.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387948676

丛书系列:Applied Mathematical Sciences

图书标签:

• 数学物理
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 谱理论
• 量子力学
• 经典力学
• 场论
• 希尔伯特空间
• 算子理论
• 积分方程

《量子场论的几何拓扑基础》 作者： 艾略特·范德沃德 教授 出版社： 普林斯顿大学出版社 出版年份： 2024年 --- 内容简介 本书《量子场论的几何拓扑基础》（Geometric and Topological Foundations of Quantum Field Theory）深入探讨了现代数学物理领域中一个至关重要的交叉领域：如何运用微分几何、代数拓扑以及高维流形理论的精妙工具，为量子场论（QFT）提供一个严谨且具有洞察力的数学框架。本书旨在弥合纯粹的数学抽象与物理学的实际应用之间的鸿沟，特别关注那些在标准模型之外、或在非微扰（non-perturbative）量子引力研究中凸显其重要性的深刻结构。 全书分为六大部分，层层递进，从基础概念的构建到前沿研究课题的探讨。 第一部分：微分几何与规范场论的重温 本部分首先为读者建立必要的几何学基础，但视角完全侧重于物理应用。我们从纤维丛理论出发，详细阐述规范对称性如何在几何上被理解为结构群作用于纤维丛的联络（connection）上。重点分析了主纤维丛和矢量丛的区别，以及杨-米尔斯（Yang-Mills）理论的拉格朗日密度如何自然地从曲率形式（curvature form）中导出。 第三章专门讨论了规范群的结构。对于非阿贝尔规范理论，我们深入考察了李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）的结构，特别是如何利用这些代数工具来理解规范场的微小扰动。拓扑性的非平凡结构，例如Chern-Simons项，在三维和四维时空中如何出现，并与规范场的整体性质（如磁单极子的存在性）相关联，将在本章得到详尽的几何解释。 第二部分：同调论与拓扑不变量 在这一部分，我们将重点引入代数拓扑的强大工具。我们认为，量子场论中的许多稳定特性，特别是那些不依赖于度量（metric）选择的特性，根植于系统的拓扑结构之中。 我们详细介绍了奇异同调（Singular Homology）和德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。特别关注德拉姆上同调与规范场论中电荷和通量的关系。随后，本书转向更高级的拓扑不变量，特别是Chern类和Pontryagin类。我们将展示这些类如何通过Weitzenböck公式与规范场能量密度联系起来，并解释它们在计算瞬子（instantons）数量，即拓扑真空构型方面的核心作用。 此外，对De Rham定理的深刻理解被用来证明了经典场论中一些守恒量与上同调群之间的内在联系。 第三部分：K-理论与非平凡背景 K-理论是理解拓扑绝缘体和规范场论中拓扑相变的关键。本部分致力于构建Atiyah-Hirzebruch谱序列在物理学中的应用。我们首先介绍了向量丛上的K-理论，特别是如何将其与狄拉克算子（Dirac Operator）的指标（Index）联系起来。 Atiyah-Singer指标定理的物理推导是本部分的核心。我们将展示为什么特定维度和规范群组合下的狄拉克算子具有非零指标，这直接对应于拓扑荷（如电荷或手征性）的存在。章节深入探讨了格林-瑟维尔（Green-Schwarz）反常，解释了弦论和高维超对称理论中，为了保证理论自洽性，必须满足的特定的拓扑约束，这些约束直接体现在K-理论的群结构上。 第四部分：Morse理论与量子势能面 本部分将量子场论中的泛函积分（Path Integrals）与经典微分几何中的Morse理论联系起来。我们探讨了如何通过 Morse 泛函（Morse Functional）来分析场论的“势能面”——即经典解的解集。 Morse理论提供了一种计算拓扑学上的“连接性”的方法。我们引入Floer同调理论的初步概念，将其应用于薛定谔方程的解空间分析，特别是在理解孤子（soliton）和畴壁（domain walls）的动力学稳定性方面。我们考察了在某些特定耦合常数下，泛函积分可以被简化为对鞍点（saddle points）周围的积分，而这些鞍点正是 Morse 理论中的临界点。这为非微扰计算提供了严格的几何视角。 第五部分：拓扑场论与共形场论 本部分聚焦于那些对背景度量不敏感的理论——拓扑场论（TFT）。我们从Witten的可拓扑量子场论出发，展示了当作用量（Action）被简化为某种微分形式的积分时，物理学如何完全被拓扑数据所支配。这种简化使得我们能够计算那些在一般 QFT 中几乎不可能直接计算的拓扑不变量。 随后，我们过渡到共形场论（CFT），这是一个在低维（特别是二维）统计物理和弦论中至关重要的理论。我们利用共形块（Conformal Blocks）和模块化群（Modular Group）的数学结构，来描述二维CFT的对偶性。本书详细分析了Sugawara构造，并展示了Verma模和Kac-Moody代数的表示如何精确地刻画了CFT的散射矩阵。 第六部分：高阶流形上的几何：弦论的视角 最后，本书将视角提升到更高维度，探讨在弦论背景下，我们如何需要超越四维时空来构建几何模型。重点研究了卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）。 我们深入探讨了Calabi-Yau流形的Hodge数及其在物理学中的意义，特别是它们如何决定了超对称理论中的有效能级和可观测的粒子味数。随后，我们引入了镜像对称（Mirror Symmetry）的几何起源，这是一种非平凡的对偶性，它将一个Calabi-Yau流形上的物理理论，与另一个“镜像”流形上的理论联系起来。本书旨在展示这种对偶性不仅仅是一个数学技巧，而是深刻地植根于这些高维空间复杂的几何结构之中。 读者对象 本书适合于研究生及以上层次的物理学、数学专业学生和研究人员。读者应具备扎实的经典场论、高等数学（分析、线性代数）基础，并对李群、纤维丛有初步了解。本书对希望在量子引力、拓扑相、高能物理基础理论方面进行深入研究的学者具有极高的参考价值。它不是一本计算手册，而是一部旨在揭示量子场论内在几何和谐之美的著作。

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这本被誉为数学物理领域里程碑式的著作，其深度与广度令人惊叹。初捧此书，便被其严谨的逻辑和宏大的叙事结构所吸引。作者似乎拥有化繁为简的魔力，能将那些看似晦涩难懂的数学概念，以一种既精确又充满洞察力的方式呈现出来。书中对于泛函分析在量子场论中的应用探讨，尤其引人入胜。它不仅仅是对现有理论的梳理，更像是对未来研究方向的一次深刻预言。章节之间的过渡自然流畅，如同高山流水，层层递进，让人在不知不觉中，对整个数学物理的图景有了更为立体的认知。我尤其欣赏作者在处理复杂证明时所展现出的耐心和清晰度，即便是初次接触这些前沿课题的读者，也能找到清晰的指引。这本书无疑是为那些渴望在理论物理前沿有所建树的研究者量身定制的，它需要的不仅仅是时间，更是一种沉浸式的精神投入。

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这本书的后半部分，专门辟出章节探讨了量子信息与引力理论的交叉领域，这部分内容展现了作者超前的学术敏感度。许多当前热门的研究方向，例如 AdS/CFT 对应背后的几何构造，都在书中得到了早期且深刻的数学化表达。作者对张量网络结构在量子场论中的解释，尤其具有启发性，它提供了一种直观的方式来理解高维纠缠的复杂性。然而，也正因为其前瞻性，部分章节对读者的知识背景要求极高，需要读者对现代微分几何和代数拓扑有深入的理解才能完全领会其精髓。总的来说，这是一部极具野心且大获成功的著作，它不仅记录了数学物理的现状，更像是为未来数十年的研究设定了基调和标准。它会成为许多研究生和青年学者的案头必备，一个持续提供挑战和灵感的源泉。

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坦白说，这是一本“硬核”到极致的作品，它毫不留情地要求读者具备扎实的数学功底。如果你期待的是一本能够轻松入门的导论，那么你可能会感到挫败。这本书更像是对资深学者的一次智力挑战。它在处理对称性和守恒定律方面的论述，达到了近乎艺术的高度。作者并未止步于李群理论的常规应用，而是进一步探讨了无限维李代数在规范场论中的微妙作用。那些关于无穷维空间中算子谱理论的讨论，其深度足以让任何一位偏微分方程或泛函分析的专家感到震撼。这本书的价值不在于“读完”，而在于“消化”——它强迫你重新审视自己熟悉的理论，用更深刻、更统一的数学语言去理解物理现象。它不是一本可以放在床头消遣的书，而是一部需要被反复研磨的工具书和参考手册。

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从学术贡献的角度来看，这本书的创新之处在于其整合性。在很多领域，学者们往往倾向于将数学和物理割裂开来，各自发展各自的符号体系和研究范式。然而，这本书成功地构建了一座坚实的桥梁，展示了两者之间内在的、不可分割的联系。特别是关于统计物理学中相变现象的描述，作者引入了一种非常新颖的拓扑方法来刻画临界行为，这在主流教科书中是罕见的。这种跨越不同物理分支的统一视角，极大地拓宽了读者的视野。它不是简单地堆砌前沿进展，而是试图建立一个更基础的理论框架，用以解释诸多看似不相关的现象。这本书的行文风格非常正式，信息密度极大，每一句话似乎都承载了大量的数学信息，因此阅读速度需要放得很慢，以确保对每一个论点的精确把握。

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阅读体验上，这本书的排版和细节处理体现了出版方的专业素养。纸张的质感、字体的选择，都为长时间的阅读提供了舒适的基础。内容方面，书中对非线性偏微分方程在经典力学中的应用部分，提供了一套非常系统且富有启发性的分析框架。它没有满足于给出标准的解法，而是深入挖掘了这些方程背后的几何直觉。其中关于辛几何在哈密顿系统中的作用的论述，简直是教科书级别的典范，它将抽象的代数结构与具体的物理图像完美地结合在了一起。对我而言，最宝贵的是它所倡导的研究方法论，即如何将纯粹的数学工具巧妙地“嫁接”到物理问题上，这种跨学科的思维模式，远比书本上的具体公式更有价值。我发现自己频繁地停下来，在笔记本上反复推敲作者提出的类比和论证路径，每一次回顾都能发现新的层次。

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