Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Elias M. Stein

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:1971-2-1

价格:USD 105.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691080796

丛书系列:

图书标签:

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好的，这是一本关于《拓扑群上的调和分析与非交换几何导论》的图书简介： --- 书名：拓扑群上的调和分析与非交换几何导论 作者：[此处可填写作者姓名] 出版社：[此处可填写出版社名称] 出版年份：[此处可填写年份] --- 内容简介： 本书旨在为读者提供一个关于拓扑群上的调和分析（Harmonic Analysis on Topological Groups）及其与非交换几何（Noncommutative Geometry）之间深刻联系的全面且深入的介绍。全书结构严谨，从基础概念出发，逐步过渡到现代研究的前沿领域，力求在保持数学严谨性的同时，清晰阐释这些复杂概念背后的直觉与应用。 第一部分：拓扑群与表示论基础 本书伊始，首先系统性地回顾了拓扑群的必要背景知识。我们详细讨论了李群（Lie Groups）、拓扑向量空间（如巴拿赫空间、弗雷歇空间）以及拓扑群上的泛函分析结构。重点放在紧致群与局部紧致阿贝尔群（如 $mathbb{R}^n$, 环面 $T^n$）的性质上，这些是后续傅里叶分析的基础载体。 随后，我们深入探讨了群表示论（Representation Theory）。这部分内容是理解函数空间上算子结构的关键。我们详细阐述了酉表示（Unitary Representations）的概念，这是调和分析的核心工具。针对紧致群，我们详述了彼得-外尔定理（Peter Weyl Theorem）及其对离散化傅里叶级数的重要性。对于非紧致群，如 $mathbb{R}^n$ 或更一般的李群，我们侧重于其无穷小表示和化简性（Irreducibility）的判定，为接下来的傅里叶变换的推广做铺垫。 第二部分：拓扑群上的傅里叶分析 在奠定了群论和表示论的基础后，本书的核心——拓扑群上的傅里叶分析——得以展开。 对于阿贝尔群，我们从经典的傅里叶变换推广到庞特里亚根对偶理论（Pontryagin Duality）。我们展示了如何将欧几里得空间 $mathbb{R}^d$ 上的傅里叶变换自然地推广到任意局部紧致阿贝尔群上，并讨论了卷积定理在对偶群上的体现。 随后，我们将目光投向非阿贝尔局部紧致群，如 $SU(2)$ 或 $SL(2,mathbb{R})$。这里，调和分析的复杂性显著增加。我们引入了矩阵系数函数（Matrix Coefficients）的概念，这些函数构成了群上函数空间的基石。本书详细分析了如何利用群的既约酉表示来构造群上的傅里叶分析框架，并讨论了所谓的“非交换傅里叶变换”的性质，包括酉性、逆变换公式的构建，以及与群卷积之间的关系。 关键章节专门用于处理卷积算子在这些群上的性质。我们探讨了平移不变算子（Translation-invariant operators）的谱分解，并引入了群扩张（Group Extensions）背景下的 Weyl乘法。 第三部分：函数空间与微分算子 调和分析的实际应用往往依赖于在特定函数空间上研究算子的性质。本部分聚焦于分析函数空间，如 $L^p$ 空间、索伯列夫空间（Sobolev Spaces）以及更一般的贝索夫空间（Bessel Potential Spaces）在拓扑群上的推广。 我们详细研究了群上的微分算子。对于李群，这涉及李代数（Lie Algebra）上的无穷小生成元。我们阐释了拉普拉斯-柯斯特里茨算子（Laplace-Beltrami Operator）在群流形上的推广形式，以及其在广义傅里叶空间中的对角化。通过谱理论，我们分析了这些微分算子在 $L^2$ 空间上的自伴随性与紧致性。 此外，本书还涵盖了核方法（Kernel Methods），如热核（Heat Kernel）的构造及其渐近展开，这在理解扩散过程和分析群的几何结构方面至关重要。 第四部分：非交换几何的视角 本书的最后部分，旨在桥接调和分析与非交换几何。我们引入了非交换空间的数学框架，即 $C^$-代数和冯·诺伊曼代数（von Neumann Algebras）。 我们展示了局部紧致豪斯多夫空间上的连续函数代数 $C(X)$ 如何成为可交换的非交换几何的实例。然后，我们转向非阿贝尔群，说明其 $L^1$ 群代数如何自然地引出非交换代数结构。本书阐述了艾伦斯-塞里定理（Alain Connes' Reconstruction Theorem）的精神，即如何通过一个非交换代数来重构其“空间”结构。 重点讨论了“迹”（Trace）的概念在非交换几何中的核心地位，以及它如何与调和分析中的积分概念相对应。我们探讨了指标理论（Index Theory）在群表示空间上的推广，以及非交换空间上的黎曼几何结构（如谱几何）的初步概念。 目标读者与特点： 本书面向具有扎实的实分析、泛函分析和基础代数知识的研究生和研究人员。它避免了过度依赖复杂的微分几何术语，而是通过代数和泛函分析的语言，深入挖掘拓扑群上分析工具的内在结构。本书内容翔实，包含了大量的例证和详尽的证明，尤其适合希望从经典傅里叶分析过渡到现代调和分析和非交换几何领域的学者。通过对这些基本构建块的深入剖析，读者将能够更好地理解现代数学物理和几何学中复杂结构的分析基础。 ---

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坦白讲，这本书的难度是毋庸置疑的，它绝不是为初学者准备的“入门读物”。它仿佛是为那些已经掌握了傅里叶分析和泛函分析基础，并急切地想深入到更抽象、更具挑战性的课题的进阶学者准备的“攀登手册”。我个人花了好几周的时间才真正消化了前三分之一的内容，其中关于奇异积分算子在Schwartz空间上推广性的讨论，简直是教科书级别的精彩。作者巧妙地运用了截断技巧和重整化思想，来驯服那些在传统意义上无法定义的积分项。这种处理方式，既保持了数学的纯粹性，又有效地提升了理论的应用范围。书中引用和参考的文献目录也极其详实且具有前瞻性，显示出作者深厚的学术积累。它不仅仅是知识的传递，更是一种对学术传统的继承与批判性反思，鼓励读者去质疑既有的界限，去探索那些尚未被完全驯服的数学“野兽”。

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这本书最令人赞叹的一点，是它对于“可微性”这一看似简单的概念，赋予了极为丰富的内涵和外延。它将微分的局部概念，成功地嵌入到了全局的调和分析框架之中。我特别喜欢它在不同微分算子之间的对偶性分析部分，那种对称而又微妙的平衡关系，在作者的笔下被描绘得淋漓尽致。它没有使用冗长迂回的语言来描述复杂的几何直觉，而是用最简洁、最精确的数学符号来表达最深刻的洞察力。对于那些依赖于精密分析工具来解决问题的研究者而言，这本书提供了一套近乎完美的语言和方法论。读完之后，你会发现，许多过去模糊不清的问题，现在似乎都有了清晰的理论依据来支撑。它对于函数空间中“正则性”的讨论，从弱正则性到强正则性的迁移路径描绘得极其清晰，为后续的深入研究铺平了道路，是一部值得反复翻阅、常读常新的分析领域里程碑式著作。

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这本新书一上手就给我带来了深深的震撼，它仿佛是一扇通往数学前沿的神秘之门，里面的内容之深邃和广博，让我这个在分析领域摸爬滚打多年的老读者都感到心潮澎湃。首先，它在对经典理论的阐述上，就展现出一种罕见的细腻和严谨。作者并没有满足于罗列那些教科书式的定义和定理，而是深入挖掘了它们背后的直觉和几何意义，比如在处理某些高维空间中的奇异核函数时，那种步步为营的构造过程，简直就是一场精妙的逻辑舞蹈。我尤其欣赏它对“可微性”这个核心概念进行的多角度审视，它不再是孤立地看待一个点的导数存在与否，而是将其置于一个更宏大的函数空间和正则性理论的背景之下。书中对Sobolev空间和Besov空间的介绍，虽然篇幅不小，但组织得极其清晰，每一步的过渡都自然流畅，仿佛作者在耳边低语，耐心引导着你穿越那些晦涩的符号迷宫。对于那些渴望真正理解而非仅仅记住公式的读者来说，这本书无疑是极佳的导师，它教会的不仅是计算技巧，更是一种深刻的数学思维方式。

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这本书的排版和逻辑结构，简直是为深度学习者量身定做的艺术品。它不是那种可以随意翻阅的“速查手册”，而是一部需要时间沉淀、反复研读的经典之作。作者对于篇幅的分配极为考究，基础概念的引入简短而精确，留出大量的篇幅来探讨那些涉及范数不等式和收敛性证明的“硬骨头”。特别是对Lp空间上卷积定理在不同正则性假设下的精细比较，其论证的层次感和递进性，体现了作者对细节的偏执。我注意到，它在处理一些非经典测度空间上的积分问题时，采用了非常现代化的视角，这使得本书即便在面对如此传统的领域，也焕发出了蓬勃的生命力。与其说这是一本书，不如说它是一个严密的思维训练场，它要求你的大脑保持高度的专注，去消化那些极其精密的逻辑链条。一旦你跟上了它的节奏，你会发现自己对函数空间的理解达到了一个新的境界，那种清晰度和确定性，是其他泛泛而谈的著作难以给予的。

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读完这本书的某些章节，我最大的感受是，它成功地架起了一座连接纯粹理论与实际应用（哪怕是高度抽象的应用领域）的坚实桥梁。它的叙事风格极具张力，不像传统教材那样平铺直叙，反而充满了对数学难题的“侦探式”剖析。例如，在探讨特定积分算子的边界行为时，作者引入了一种非常规的技巧，这种技巧的出现常常是伴随着对一个长期未解决问题的“顿悟”式解答，读起来让人不禁拍案叫绝。这种写作手法使得枯燥的分析推导过程变得引人入胜，仿佛在阅读一部数学推理小说。此外，书中对一些历史上的关键性突破是如何实现的，也进行了十分富有洞察力的回顾，这让读者不仅知其然，更知其所以然。它没有回避那些困难的例子，反而将它们作为展示工具强大威力的绝佳舞台，让人体会到数学家在面对挑战时的那种坚韧不拔和创新精神。对于希望将知识应用于复杂物理模型或几何分析的科研人员来说，这本书提供的工具箱是无可替代的。

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