应用偏微分方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:浙江大学

作者:王定江

出品人:

页数:175

译者:

出版时间:2007-9

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787308054638

丛书系列:

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现代数学物理中的积分方程理论与应用 作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社名] 字数： 约 1500 字 --- 内容提要 《现代数学物理中的积分方程理论与应用》是一部深度聚焦于积分方程（Integral Equations）理论、解法及其在各类物理和工程问题中应用的专著。本书旨在为高等数学、理论物理、应用数学及相关工程领域的学生、研究人员提供一套全面、深入且具有前沿性的理论框架和实践工具。本书将积分方程的理论基础与最新的数值方法和实际应用案例紧密结合，构建起一座连接纯数学抽象与实际物理建模的桥梁。 全书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了从基础的线性积分方程（如Fredholm和Volterra型）的分类、性质，到更复杂的非线性、奇异积分方程的求解策略。重点内容包括勒让德变换在积分方程中的应用、谱理论在齐次方程特征值问题中的作用，以及傅里叶分析与拉普拉斯变换在求解特定类型积分方程中的强大效能。此外，本书还系统地介绍了数值积分方法的稳定性、收敛性分析，特别是针对高维问题的离散化技术。 本书的突出特点在于其对“物理应用导向”的强调。理论推导过程不仅力求数学上的严谨性，更注重与具体物理场景的对应关系。书中详细阐述了积分方程在以下核心领域的具体建模和求解过程： 1. 电磁场理论与散射问题： 重点讨论了麦克斯韦方程组的等效边界积分方程（Boundary Integral Equations, BIEs）形式，如电磁散射（Mie 散射、远场散射）的莫勒（Moellmann）方程和霍普夫方程的推导与数值求解，特别关注高频近似下的快速多极子方法（FMM）在大型BIEs求解中的效率提升。 2. 弹性力学与断裂力学： 深入探讨了拉梅方程在积分形式下的表达（Kelvin 问题的边界积分形式），以及如何利用格林函数（Green’s Function）构建积分方程来描述裂纹尖端的应力奇异性，这是评估材料疲劳寿命的关键技术。 3. 热传导与扩散过程： 分析了热传导方程在非均匀介质中的反问题，即如何通过观测到的温度分布反演内部热源的分布，该问题通常被转化为非适定（Ill-posed）的积分方程，并需要用到正则化技术（如Tikhonov 正则化）进行稳定求解。 4. 量子场论与统计物理： 阐述了费曼图中的量子场论微扰展开与积分方程（如Bethe-Salpeter方程）的联系，以及在统计物理中利用路径积分对玻尔兹曼方程的积分形式进行处理的方法。 详细章节概述 第一部分：积分方程基础与分类 第 1 章：数学基础回顾与积分方程的起源：回顾泛函分析、算子理论的基础概念，引入积分变换（傅里叶、拉普拉斯）作为求解工具的必要性。区分微分方程与积分方程在描述物理系统时的优势与局限性。 第 2 章：Fredholm 与 Volterra 积分方程：详细介绍第一类、第二类以及第三类 Fredholm 方程和 Volterra 方程的定义、解的存在性与唯一性定理。着重分析它们与常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的等价转换关系。 第 3 章：线性积分方程的解析解法：系统讲解迭代法（Neumann 级数）、分解法（如 Wiener-Hopf 方法的预备知识）以及特征值问题的谱理论分析。对于低阶齐次方程，演示如何通过求解核函数的特征值和特征函数来构造解。 第二部分：高级积分方程理论与数值技术 第 4 章：奇异积分方程 (Singular Integral Equations, SIEs)：集中讨论柯西型奇异积分方程（Cauchy Type Singular Integral Equations），重点介绍 Muskhelishvili 奇点定理及其在求解二维平面应力问题中的应用。 第 5 章：非线性积分方程与变分方法：探讨 Schauder 估计在非线性积分方程解的正则性分析中的作用。介绍通过将非线性积分方程转化为变分问题，并结合有限元（FEM）思想求解的混合方法。 第 6 章：数值求解策略与稳定性分析：详述数值积分法的构建，包括梯形法则、辛普森法则在数值积分中的应用。深入分析高斯求积（Gauss Quadrature）在精确处理核函数奇性方面的优势，并对迭代法的收敛速度进行量化比较。 第 7 章：边界积分方程法（BIEs）的结构与稀疏化：专门讨论 BIEs 在三维问题中的应用，引入边界单元法（BEM）的离散化过程。探讨如何利用快速傅里叶变换（FFT）或近似逆方法（如 H-矩阵结构）来降低求解大型稠密矩阵（积分方程的离散化结果通常是稠密矩阵）的计算复杂度。 第三部分：前沿应用案例深度剖析 第 8 章：电磁散射与介质界面问题：详细构建散射体外部区域的场积分方程。通过分析基函（Basis Functions）的选择，解释其如何影响计算的精度和效率，特别是对 PEC（完美电导体）和介质散射体的处理差异。 第 9 章：反问题与数据不确定性：集中探讨如何将物理观测数据（通常存在噪声）通过积分方程模型进行反演。重点介绍 L 曲线法、广义交叉验证（GCV）等正则化参数的选择准则，以平衡解的精度与稳定性。 第 10 章：积分方程在动力学系统中的应用：讨论如何利用 Volterra 积分方程描述具有记忆效应的材料（如粘弹性材料）的响应，以及在随机微分方程（SDEs）框架下，利用路径积分对系统的长时间演化进行统计描述。 读者对象 本书适合具备高等数学（微积分、线性代数、复变函数基础）及初步泛函分析知识的研究生和高年级本科生。它对于致力于计算物理、工程力学、信号处理、以及需要处理复杂边界条件问题的工程师和科研人员而言，是一本不可或缺的参考手册。本书的理论深度和丰富的工程案例相结合，旨在培养读者利用积分方程这一强大工具解决实际工程挑战的能力。

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当我合上这本书，一股久违的满足感油然而生，这感觉类似于完成了马拉松。这本书的结构组织是其最大的亮点之一。它没有采用那种僵硬的、按照难度递增的线性结构，而是巧妙地将具有共同数学特性的偏微分方程放在一起进行深入剖析，例如抛物型方程组的稳定性分析，会被放在一个专门的章节里与其他类似性质的方程进行对比讨论。这种“横向对比”的叙述方式，极大地增强了知识之间的联系性。比如，热传导方程和扩散方程的相似处理手法，在书中被放在了同一个框架下讨论，这让我对“守恒定律”的数学本质有了更深刻的理解。书中的图表和示意图数量不多，但每一个都画得极为精妙，简洁到极致，却能瞬间点亮一个复杂的物理图像。它们不是那种花里胡哨的彩色插图，而是黑白分明的、纯粹服务于数学逻辑的辅助工具。对于我这种更偏向于物理直觉的读者来说，这些几何解释简直是救命稻草，帮助我从冰冷的符号中抽离出来，看到了方程背后的世界。

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这本书的阅读体验，坦率地说，像是一次艰苦但又充满回报的登山探险。我记得我花了好几周的时间才啃完前三章，每一次公式的推导都必须反复演算，稍有不慎，就会在某个积分符号或者边界条件上迷失方向。作者在选择例题时，标准极高，几乎每一个例子都对应着现实世界中一个复杂且真实的问题，比如多孔介质中的流体流动，或者电磁场在不均匀介质中的传播。这些例子不是简单地套用公式，而是要求读者构建完整的数学模型，这对于培养独立解决问题的能力是极大的磨练。我尤其赞赏作者在引入新概念时所采用的循序渐进的策略，他不会一次性抛出所有复杂的工具，而是像一个耐心的导师，先用最基础的微分算子为你开路，等你适应了方向感之后，才逐渐引入更强大的分析工具箱。然而，书中某些高级主题的章节，比如涉及到非线性问题的部分，其难度陡增，需要读者具备扎实的泛函分析基础，否则很容易在符号的海洋里感到窒息。总的来说，这本书更像是一部工具书和教材的完美结合，它教会你如何思考，而不仅仅是如何计算。

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这本书的难度定位显然是面向研究生阶段的学习者，甚至对于一些专业方向的研究生来说，也需要反复参阅。我发现作者在引用参考文献时非常严谨，几乎每一个重要的结论或定理后面都有清晰的标注，指向了相应的经典文献或最新研究进展，这使得这本书本身就成为了一个高质量的学术索引。但同时，这种严谨也带来了一定的阅读障碍：对于自学者而言，书中很多“显然成立”的步骤被略去了，这些省略对于领域内的专家来说是常识，但对于初学者来说，却可能成为横亘在面前的巨大鸿沟。例如，在处理边界条件的唯一性证明时，作者跳过了一些基础的拓扑学论证，这要求读者必须时刻保持对其他数学分支的知识储备。我曾经花了一个下午的时间去追溯其中一个引用的Lax等式，才明白作者为何能如此自信地略过那几页的推导。这本书的价值在于其内容的深度和广度，它迫使你走出舒适区，去接触那些更高阶的数学分析工具，真正触碰到偏微分方程理论的前沿地带。

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这本书的封面设计相当朴实，墨绿色的底色，配上手写体的书名，营造出一种古典而严谨的学术氛围。拿到手里，首先感受到的是它沉甸甸的分量，这预示着其中蕴含的知识密度绝非泛泛之辈可以企及。我翻开目录，里面涉及的章节标题如同迷宫般复杂，从基础的傅里叶分析到更高深的变分法，每一个词汇都像是通往未知领域的钥匙。初读之下，确实感到了一定的挑战性，作者的行文风格严谨得如同手术刀一般精准，不带丝毫多余的修饰，直指问题的核心。这感觉就像是进入了一个布满了精妙计算和抽象定义的知识殿堂，每一个公式的推导都像是一场精密的建筑工程，环环相扣，逻辑性强到让人佩服。我个人特别欣赏作者在处理一些经典难题时的角度，他总能提供出一些不同于教科书的直观解释，这对于理解那些抽象概念的物理意义至关重要。例如，在讲解波动方程的适定性时，那种层层剥茧的论证过程，让人仿佛真的能“看”到能量是如何在空间中传播和消散的。这本书显然不是为那些寻求快速入门的读者准备的，它需要的是耐心和对数学美感的深刻理解。

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这本书的排版和装帧，虽然透露着一种“冷峻”的学术气息，但不得不说，其细节处理非常到位。字体选择清晰易读，公式的编号系统逻辑严密，而且，每当引入一个新的定理或引理时，都会用粗体字或特殊的标记进行强调，方便回顾查找。我最欣赏的是书末提供的“习题精选”，这些习题并非是那种机械性的计算题，而是更倾向于启发性的、需要结合多学科知识进行综合分析的开放性问题。这些习题的难度梯度设计得非常巧妙，从基础概念的检验，到对特定方程解的定性分析，再到构造反例来证明某个结论的不成立，涵盖了从理解到批判性思维的完整过程。有一道关于非线性抛物方程的稳定性分析题，我尝试了三种不同的能量泛函去构造李雅普诺夫函数，每一种思路都引向了不同的结论，这极大地锻炼了我对分析工具选择的敏感度。这本书，与其说是一本教材，不如说是一套完整的思维训练体系，它不仅教授了知识，更重要的是，塑造了严谨的数学研究者应有的逻辑框架和问题解决路径。

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导师的书诶

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