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出版者:American Mathematical Society

作者:Xingzhi Zhan

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2013-6-28

价格:USD 65.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821894910

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 数学与应用数学
• 教材
• 矩阵理论
• 线性代数
• 数学
• 高等数学
• 矩阵分析
• 数值计算
• 应用数学
• 理工科
• 数学教材
• 代数

《Matrices in Abstract Algebra》 本书深入探索了线性代数中的矩阵理论，但将其置于更广泛的抽象代数框架之下。本书并非简单地罗列矩阵运算，而是致力于揭示矩阵结构背后深刻的代数原理。读者将超越将矩阵视为数字表格的传统视角，而将其理解为在特定代数结构（如向量空间、环和域）上的线性变换的具体体现。 全书围绕着“结构”这一核心概念展开。我们首先从群论的基础出发，介绍矩阵群的概念，探讨矩阵的乘法性质，以及可逆矩阵所形成的群的结构。接着，我们将视角转向环论，将矩阵环视为一类特殊的代数结构，并深入研究其同态、同构以及各种理想的性质。本书将严谨地证明关于矩阵环的重要定理，例如关于矩阵代数的Artinian和Noetherian性质。 本书的另一核心内容是对向量空间的深入分析。我们将矩阵与线性变换紧密联系起来，阐述矩阵如何表示向量空间之间的同态。本书将详细介绍基的选择如何影响矩阵表示，以及矩阵的秩与向量空间维度之间的关系。通过对特征值和特征向量的探讨，我们将揭示线性变换在特定方向上的不变性，这为理解矩阵的对角化和约旦标准型奠定了坚实的理论基础。 此外，本书还将引入行列式的理论，并从代数而非仅仅是计算的角度来理解其性质。我们将证明行列式的定义与张量代数中的多线性形式密切相关，并阐述行列式如何反映线性变换的体积伸缩因子以及奇点和可逆性。 本书还探讨了更高级的主题，例如对矩阵进行分解（如LU分解、QR分解、奇异值分解）在代数上的意义，以及它们如何揭示矩阵的内在结构和性质。我们将简要介绍这些分解在数值计算和统计建模中的应用，但重点仍将放在其代数解释上。 本书的叙事风格严谨而清晰，每一步推理都经过仔细推敲，并辅以大量的例证和习题，帮助读者巩固所学知识。我们力求使读者不仅能够掌握矩阵的运算技巧，更能深刻理解矩阵在代数结构中的位置和作用。本书适合数学、计算机科学、物理学等领域的学生和研究人员，希望深入理解线性代数与抽象代数之间深刻联系的读者。本书将引导读者从一个全新的、更具理论深度的角度去审视矩阵，并为其进一步的学术探索打下坚实的基础。

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说实话，我最初拿到这本巨著时，内心是有些许畏惧的。它的篇幅和理论密度暗示着这是一部严肃的、面向专业人士的参考书。但阅读一段时间后，我发现它其实是结构化学习的典范。作者的叙事逻辑如同精心雕琢的迷宫，每一步都有迹可循，但每一步都通向更深层次的奥秘。例如，在涉及张量代数与多线性映射的那一章，作者巧妙地运用了历史背景的穿插，解释了某些概念是如何在不同学科冲突和融合中诞生的，这极大地丰富了阅读体验，使其不再是枯燥的公式堆砌。唯一的“不足”或许在于，对于仅仅需要快速查阅某一特定公式或定义的读者来说，这本书可能显得有些“过于全面”了。它更适合系统地、按部就班地进行学习和消化。其对矩阵理论在代数几何和拓扑学中的应用的探讨，展现了作者跨学科的广博视野，令人钦佩。

评分☆☆☆☆☆

这本书的数学深度令人印象深刻，它不仅仅是对线性代数概念的简单罗列，更像是一场精心编排的智力探险。作者在介绍特征值和特征向量时，没有满足于教科书式的定义，而是深入挖掘了它们在不同数学结构中的几何和代数意义。特别是关于谱理论的部分，讲解得极为透彻，即便是那些在其他教材中晦涩难懂的定理，在这里也通过清晰的逻辑链条被层层剖析，让人有豁然开朗之感。我特别欣赏作者在证明过程中所展现出的那种严谨又不失灵活性的笔法。例如，在讨论矩阵的范数时，作者不仅给出了标准的定义，还花了大篇幅探讨了它们在数值分析中的实际影响，这使得理论知识与工程应用之间架起了一座坚实的桥梁。这本书的排版也值得称赞，数学符号的排布清晰合理，长时间阅读也不会感到视觉疲劳，这对于需要反复推敲公式的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。总而言之，这是一本能够真正提升读者对矩阵理论理解层次的力作，它要求读者投入精力，但回报是丰厚的知识积累。

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当我翻开这本书时，首先注意到的是它在概念引入上的独特视角。它没有急于展示复杂的定理，而是从更宏观的“结构”和“变换”的角度切入，这对于初学者来说，可能会是一个需要适应的过程，但一旦跟上节奏，就会发现这种方式极大地拓宽了对矩阵本质的认知。比如，在讲解矩阵分解时，作者并未将SVD（奇异值分解）视为孤立的工具，而是将其置于信息压缩和数据降维的大背景下进行阐述，这种“讲故事”般的叙述方式，让抽象的代数操作变得鲜活而富有意义。我个人认为，这本书的强项在于其对“为什么”的深度挖掘，而不是仅仅停留在“是什么”。它会不断地引导读者去思考，为什么特定的代数结构会产生我们观察到的这些数学性质。虽然某些章节的习题设置偏向理论证明，难度颇高，但它们无疑是检验理解深度的绝佳试金石。对于那些想从“会用”迈向“精通”的人来说，这本书的挑战性是恰到好处的。

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这是一部将数学美学发挥到极致的作品。阅读这本书的过程，与其说是在学习，不如说是在欣赏数学的内在和谐性。作者对于矩阵函数和微分方程解法的处理，展现了一种近乎诗意的精确性。他没有简单地给出指数映射的定义，而是深入探讨了其背后的泰勒展开的收敛性质，以及在特定领域（如群论中的李群）中的重要性，这种层层递进的讲解，让原本看似平凡的函数操作，散发出深邃的光芒。我尤其欣赏作者在全书的结尾部分对现代计算方法与理论基础的对比分析，他坦诚地指出了理论的优雅性与实际计算复杂性之间的张力。这本书真正做到了将“理论”与“实践”的鸿沟缩小，它不会让你只停留在抽象的符号世界里，而是引导你思考这些符号如何精确地描述和预测现实世界中的复杂系统，是一部值得反复研读的经典之作。

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这本书的语言风格极其凝练，几乎没有多余的赘述，每一个句子都承载着明确的数学信息，这使得它的信息密度达到了一个惊人的水平。我发现自己不得不经常停下来，回溯前几页的内容，以确保完全吸收了当前段落的全部含义。特别是关于正定矩阵和二次型的讨论，作者采用了一种非常“几何化”的方式进行描述，避免了大量繁琐的代数运算，转而强调空间形态的改变，这种处理方式对于那些具有空间想象力的读者来说，无疑是一大福音。不过，对于习惯了冗长解释和大量实例的读者，初期可能会感到吃力，因为它更倾向于将读者视为一个已经具备一定数学基础的“同行”。但一旦适应了这种简洁有力的表达方式，你会发现学习效率得到了极大的提升，因为你所花费的时间，都用在了思考核心概念上，而不是在信息噪音中徘徊。

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很有幸听过作者詹老师上的同名课程。詹老师不擅课堂演讲，但是学术能力一流，这本书写得很严谨很难读，但是推导逻辑是很清楚的。《矩阵论》也成了我在硕士期间收获最大的基础课程。

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