具体描述
This book is an introduction to the field of multi-way analysis for chemists and chemometricians. Its emphasis is on the ideas behind the method and its pratical applications. Sufficient mathematical background is given to provide a solid understanding of the ideas behind the method. There are currently no other books on the market which deal with this method from the viewpoint of its applications in chemistry. Applicable in many areas of chemistry. No comparable volume currently available. The field is becoming increasingly important.
《多维空间中的数据结构与拓扑重构》 内容简介 本书深入探讨了在高度复杂和高维数据集中，如何有效地组织、分析和解释数据结构与内在拓扑关系。它并非侧重于单一、线性的分析方法，而是着眼于构建一个能够捕捉多重相互依赖关系和非线性关联的分析框架。 全书共分为七个主要部分，旨在为研究人员、高级数据科学家以及对复杂系统建模感兴趣的专业人士提供一套严谨的理论基础和实用的操作指南。 --- 第一部分：复杂性度量与维度挑战 本部分首先界定了“复杂性”在现代数据科学中的精确含义，超越了简单的特征数量。我们探讨了信息熵的局限性，并引入了基于有效信息维度（Effective Information Dimension, EID）的度量标准，以区分噪声和真正具有解释力的内在维度。 核心章节： 1.1 数据的内在结构：从欧几里得到黎曼几何的过渡 传统距离度量在非线性流形上的失效分析。 引入测地线距离（Geodesic Distance）的概念，用于衡量高维空间中数据点的真实“接近程度”。 1.2 诅咒的再审视：稀疏性、密度与局部邻域的构建 探讨在极度稀疏的高维空间中，如何可靠地定义和识别局部邻域。 比较 $k$-近邻图（$k$-NNG）在不同距离度量下的鲁棒性。 --- 第二部分：关系图谱的构建与拓扑嵌入 本部分的核心在于如何将原始数据点转化为一个信息丰富的关系网络，即拓扑结构。重点在于如何将高维数据投影到一个低维的、能够保留关键拓扑信息的嵌入空间中。 核心章节： 2.1 异构关系的建模：超越二元连接 介绍$N$-元关系（$N$-ary Relations）的建模方法，适用于需要同时考虑三个或更多实体间交互的场景。 使用张量分解（Tensor Decomposition）的变体来捕获这些高阶交互。 2.2 拓扑保留映射（Topological Preserving Mapping, TPM） 详细阐述非线性降维技术，如谱聚类（Spectral Clustering）和局部线性嵌入（LLE）的改进版本。 重点分析了这些方法如何保证局部和全局结构在嵌入空间中的保真度。 2.3 动态拓扑的演化分析 如何跟踪网络结构随时间的变化，并区分结构变化是由新数据点的加入引起的，还是由现有连接强度的重组引起的。 --- 第三部分：多尺度分析与层次结构提取 真实世界的数据往往呈现出嵌套和分层的特性。本部分关注如何在不同的观察尺度上识别出稳定的模式和层次结构。 核心章节： 3.1 尺度空间理论在数据分析中的应用 使用高斯核和拉普拉斯算子来平滑数据，并观察特征在不同尺度下的稳定性。 定义“尺度不变特征（Scale-Invariant Features）”。 3.2 稳健的层次聚类算法 介绍了一种基于持久同源性（Persistent Homology）的聚类方法，用于识别在不同尺度下“持续存在”的群体结构。 区别于传统聚类，持久同源性关注的是拓扑特征的“生命周期”。 --- 第四部分：信息流与因果推断的拓扑基础 理解数据中各部分之间的影响方向和强度是高级分析的关键。本部分将拓扑结构与信息传播理论结合起来。 核心章节： 4.1 基于图的格兰杰因果关系检验（Graph-based Granger Causality） 如何在复杂的网络结构中，排除间接影响，识别直接的驱动因子。 引入了时间序列数据的结构方程模型（Structural Equation Modeling）在高维图上的扩展。 4.2 传递性与枢纽节点的识别 分析网络中信息传递效率最高的路径，并定义“信息枢纽”（Information Hubs）而非仅仅是基于度数的中心性指标。 --- 第五部分：多模态数据的结构融合 现代数据集通常由来自不同传感器或渠道的数据组成（如文本、图像、传感器读数等）。本部分探讨如何构建一个统一的结构来容纳这些异构信息。 核心章节： 5.1 联合嵌入空间（Joint Embedding Space）的构建 讨论如何使用互信息（Mutual Information）作为桥梁，将不同模态的数据映射到同一潜在空间。 重点介绍双线性模型和三线性模型的应用。 5.2 跨模态一致性检验 如何量化不同模态数据所揭示的内在结构是否相互支持，以及当它们产生矛盾时，应如何权重分配。 --- 第六部分：结构稳定性与对抗性分析 在实际应用中，数据总会受到扰动。本部分专注于评估所识别出的结构在面对噪声、缺失值或恶意攻击时的鲁棒性。 核心章节： 6.1 拓扑扰动理论 分析微小的数据点位移如何导致图结构发生“相变”（Phase Transition）。 引入谱图拉普拉斯矩阵的特征值敏感度分析。 6.2 结构重构算法 针对数据缺失或部分观测场景，提出基于最小化结构能量函数的方法来推断缺失的连接或节点属性。 --- 第七部分：实际案例与计算实现 最后一部分将前述的理论工具应用于几个高复杂度领域，并提供了实现这些复杂模型的计算范式。 案例研究： 生物网络中的功能模块识别；金融市场中的系统性风险路径追踪。 计算方法： 强调大规模图处理（Graph Processing）框架的选择，以及并行化高维矩阵运算（如CUDA加速的张量运算）的关键技巧。 读者对象： 本书要求读者具备扎实的线性代数、概率论和基础的机器学习知识。它更适合致力于探索数据深层结构、构建非线性模型，并对复杂系统理论有浓厚兴趣的进阶研究人员。本书旨在提供超越标准统计工具箱的分析深度和结构洞察力。
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