Symplectic Framework for Field Theories pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Kijowski, J./ Tulczyjew, W. M.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:23

装帧:Pap

isbn号码:9780387095387

丛书系列:

图书标签:

• Symplectic geometry
• Field theory
• Hamiltonian mechanics
• Infinite-dimensional manifolds
• Mathematical physics
• Geometric quantization
• Classical field theory
• Variational calculus
• Noether's theorem
• Constraints

深入解析经典场论的几何基础与应用 《几何动力学导论：从辛几何到规范场》 本书定位与目标读者 本书旨在为物理学家、数学家以及对理论物理有深入兴趣的研究生和高级本科生提供一个严谨而直观的框架，用以理解和处理现代物理学中至关重要的动力学系统，尤其是经典场论。我们专注于运用微分几何，特别是辛几何（Symplectic Geometry）的强大工具，来重构和深化对经典力学、哈密顿力学，并最终推向经典的场论的理解。本书的叙述风格强调概念的连贯性和数学的精确性，旨在弥合纯数学的抽象性与物理直觉之间的鸿沟。 核心内容概述 本书的结构设计为循序渐进的数学基础到物理应用的深入探讨，共分为六个主要部分，二十个章节。 第一部分：辛几何的奠基 本部分将读者从基本的微分几何概念过渡到抽象的辛流形理论。 第1章 预备知识：流形与微分形式 详细回顾李群、李代数、切丛、上指标和下指标张量、微分形式的楔积以及外导数。重点阐述de Rham上同调的物理意义，特别是闭形式和恰当形式的区分。 第2章 辛流形的定义与结构 严格定义辛形式 $omega$ 及其满足的条件（非退化性和闭合性）。引入泊松括号的结构，展示其作为流形上光滑函数代数的结构常数。讨论辛流形上的李导数和守恒律的关系。 第3章 辛结构的例子与构造 深入探讨最基础且重要的辛流形：正则辛流形（$mathbb{R}^{2n}$ 上的标准辛结构）和相空间。介绍 Darboux 定理，阐明在局部坐标下所有辛流形都可以被“平面化”，但全局结构的关键在于辛形式的拓扑性质。 第二章 辛变换与正则变换 本部分聚焦于保持辛结构（即保持泊松括号结构）的映射，这是哈密顿力学中时间演化的核心对称性。 第4章 辛同胚与辛群 定义辛同胚，并研究辛流形上的辛自同构群 $ ext{Symp}(M, omega)$。分析其李代数 $mathfrak{symp}(M, omega)$ 与向量场的关系。 第5章 哈密顿向量场与泊松括号 将哈密顿函数 $H$ 与时间演化向量场 $X_H$ 关联起来。利用泊松括号 ${cdot, cdot}$ 来描述力学量之间的动态关系，重申李威廉公式（Liouville's Theorem）的几何意义：体积（或辛体积）在流下的保持。 第6章 产生函数与正则变换 详细阐述通过生成函数来定义正则变换（Canonical Transformations）的方法。展示如何利用正则变换来简化哈密顿动力学系统，这是传统解析力学解题的关键工具。 第三部分：动力学的几何化——李维尔与可积性 本部分将辛几何的概念直接应用于经典哈密顿系统的动力学分析。 第7章 李维尔定理与辛体积 深入探讨李维尔定理的深刻含义，即相空间体积在无耗散系统中的守恒。讨论辛体积在低维系统（如二维流）中的直观表征。 第8章 守恒量与辛流 基于 Noether 定理，将对称性（由 Killing 向量场产生）与守恒量联系起来。展示守恒量如何决定辛流的性质，特别是周期性轨道。 第9章 可积系统与 KAM 理论的几何前奏 定义可积哈密顿系统（存在 $n$ 个相互泊松对易的守恒量）。介绍 Arnold-Liouville 定理，解释积分流的拓扑结构——它们将相空间分解为环面（Tori）。初步探讨 KAM 理论的几何必要性。 第四部分：从点粒子到场论的过渡——预备场论 本部分是连接哈密顿力学与经典场论的桥梁，引入无穷维的几何概念。 第10章 欧几里得空间上的拉格朗日密度 回顾经典场论的基本构建块：拉格朗日密度 $mathcal{L}(phi, partialphi)$。推导欧拉-拉格朗日方程，并使用经典的 Noether 定理导出场论中的能量-动量张量 $T^{mu u}$。 第11章 场论中的辛结构：辛形式的推广 关键的过渡章节。介绍无穷维空间（函数空间）上的微分形式的概念。将辛形式 $omega$ 从有限维相空间推广到场论的配置空间（即 $ ext{Diff}(Sigma) imes mathcal{M}$ 的切丛上）。 第12章 场论的哈密顿化 基于 Legendre 变换，将拉格朗日密度形式的场论转化为哈密顿密度形式。定义场 $pi$（场“动量”）以及哈密顿量 $H[phi, pi]$。推导描述场演化的泊松括号 ${phi(x), pi(y)}$。 第五部分：规范场与几何结构 本部分深入探讨规范对称性的几何起源，这是现代粒子物理学的基础。 第13章 纤维丛与主丛 将物理场视为纤维丛上的截面。引入主丛 $P(M, G)$、结构群 $G$ 以及联络（Connection 1-form $alpha$）。 第14章 联络与曲率 详细分析规范场的核心——联络 $alpha$ 的几何意义。定义曲率 $F = dalpha + alpha wedge alpha$，并将其与杨-米尔斯场强联系起来。 第15章 辛几何在规范场论中的体现 讨论在规范场论的哈密顿化中，辛结构如何被约束。引入约束优化（Constraint Optimization）的概念，特别是第一类约束在生成规范变换中的作用。 第六部分：拓扑学与经典场论的深层连接 本部分探讨场论中出现的拓扑不变量，并与辛几何的全局性质相结合。 第16章 拓扑荷与磁单极 讨论在某些场构型中出现的拓扑荷（如电荷、磁单极子）。利用 Chern-Simons 形式的拓扑性质来量化这些荷。 第17章 陈类与几何不变量 介绍辛流形上存在的 Cherm-Weil 理论。展示如何使用特征类（如 Pontryagin 类或 Euler 类）来描述规范场配置空间上的拓扑结构。 第18章 辛流形上的流与保守量 重新审视 Arnold-Liouville 定理，并探讨在无限维配置空间中，可积性概念的推广与局限性。 总结与展望 本书的最后部分将总结辛几何在处理守恒律和动力学稳定性方面的优势，并展望这些几何工具在量子化场论，特别是在几何量化（Geometric Quantization）方法中的潜在应用。 本书的特点 本书强调几何直觉的培养，而非仅仅是公式的堆砌。通过统一处理有限维相空间和无限维场论的结构，读者将获得一个跨越经典力学和经典场论的连贯视角。丰富的几何实例贯穿始终，确保读者能够将抽象的数学定义与具体的物理图景紧密结合。目标是使读者能够独立地对新的、更复杂的物理模型进行几何重构和动力学分析。

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初翻目录，我感到一种扑面而来的系统性与深度。章节的逻辑递进设计得极为巧妙，从基础概念的重新审视，到核心理论框架的逐步搭建，再到前沿应用的探讨，每一步都像是精心铺设的轨道。它似乎并不满足于对现有知识的简单罗列，而是试图构建一个全新的、统一的视角来看待问题。目录中的一些术语组合，诸如“拓扑不变量与量子场论的交集”，立刻点燃了我对其中创新部分的兴趣。它不像很多现有的教材那样仅仅停留在计算层面，而是更侧重于概念的提炼和结构性的理解。这种由浅入深，层层递进的结构，预示着这本书不仅是一本工具书，更是一部能够激发深度思考的理论指南，它要求读者必须全身心地投入才能跟上其思想的步伐。

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这本书的排版和字体选择堪称教科书级别的典范。内页的纸张是略带米黄色的，有效减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳，这对处理大量复杂公式和推导的读者来说，简直是福音。行距设置得非常合理，既保证了信息密度，又避免了文字过于拥挤。最值得称赞的是公式的渲染效果，那些希腊字母、上下标以及各种积分符号，都清晰锐利，没有任何模糊不清的感觉。作者或出版方显然在这方面投入了极大的精力，使得那些本就抽象的数学语言变得更容易被大脑处理。我特别注意了引文和脚注的格式，它们统一且规范，使得在查阅参考资料时可以迅速定位，这种对细节的执着，体现了作者对学术规范的尊重，也极大地提升了阅读体验的流畅性。

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阅读了几页内容后，我立刻察觉到这本书的语言风格是极其凝练和精确的。作者似乎极力避免一切不必要的修饰和口语化的表达，每一个句子都像是一个经过严格逻辑验证的命题，直奔主题。这对于习惯了对话式教学的读者来说，可能会构成一定的挑战，因为它要求读者具备较高的基础知识储备和迅速抓取核心信息的能力。然而，对于那些追求极致数学严谨性的专业人士而言，这种风格恰恰是其魅力所在。它不容许丝毫的歧义，每一个定义、每一个定理的陈述都如同雕塑一般精准无误。这种“惜字如金”的写作方式，使得全书的理论密度非常高，读起来需要慢条斯理，反复咀嚼，但每读完一个段落，都会有一种思维被拓展和强化的实在感受。

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这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象。它采用了深邃的墨蓝色作为主色调，中央是一个由精细线条构成的抽象几何图形，仿佛在暗示着某种复杂而优雅的内在结构。这种极简主义的设计风格，配上略带反光的纸张质感，给人一种既古典又前沿的学术气息。我拿起它时，能感觉到封面的厚重感，这通常意味着内页的纸张质量也相当不错，适合长时间阅读和标注。从书脊的装帧工艺来看，它似乎采用了精装，这在学术著作中是难能可贵的，保证了书籍的耐用性。整体而言，这个包装语言非常成功地传达了“严肃的、高质量的理论物理著作”这一信号，让人对接下来的内容充满了期待，仿佛在翻开这本书之前，就已经踏入了一个严谨的数学物理世界的大门。这种视觉上的专业性，对于吸引目标读者，特别是研究生和研究人员来说，是非常关键的第一步。

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这本书在理论的展现上，展现出一种令人敬畏的宏大视野。它似乎成功地在不同的物理学分支之间架起了一座坚实的桥梁，让那些原本看起来互不相关的概念在这个框架下找到了统一的根基。我能感觉到作者试图用一种高度抽象的语言，去捕捉那些支配着微观世界和宏观宇宙运行的底层规律。从某些章节的描述来看，它似乎正在尝试对一些长期存在的难题提供全新的解释路径，而不是简单地复述已有的解决方案。这种雄心勃勃的姿态，让这本书超越了一般的参考书范畴，更像是一部具有开创性思想的理论宣言。它不仅是知识的传递者，更是思维方法的引导者，鼓励读者跳出既有的思维定式，去探索物理世界更深层次的数学本质。

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