Groups, Generators, Syzygies, and Orbits in Invariant Theory pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Popov, Vladimir Leonidovich

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:

價格:54

裝幀:Pap

isbn號碼:9780821845578

叢書系列:Translations of Mathematical Monographs

圖書標籤:

• Invariant Theory
• Group Actions
• Syzygies
• Generators
• Algebraic Geometry
• Commutative Algebra
• Polynomial Rings
• Representation Theory
• Combinatorics
• Noetherian Rings

《抽象代數導論：群、環與域》 作者： 史蒂文·J·麥剋勞林 齣版社： 伽馬齣版社 齣版年份： 2023年 頁數： 780頁 --- 內容簡介 《抽象代數導論：群、環與域》是一本旨在為高等數學本科生和初級研究生提供堅實抽象代數基礎的教材。本書立足於嚴謹的數學邏輯，深入淺齣地介紹瞭現代代數的核心概念、定理及其在各個數學分支中的應用。全書結構清晰，內容組織遵循由具體到抽象、循序漸進的原則，力求在保持數學深度與廣度的同時，確保初學者能夠順利跨越抽象思維的門檻。 本書共分為六個主要部分，共計十八章，係統地覆蓋瞭群論、環論和域論這三大支柱： 第一部分：預備知識與集閤論基礎 (第1-2章) 在正式進入抽象代數的世界之前，本書首先迴顧瞭必要的預備知識，包括集閤、函數、關係、等價關係以及基本的數論概念，特彆是模運算和歐幾裏得算法。這部分內容旨在確保所有讀者具備相同的數學語言基礎，為後續的抽象結構建立堅實的基石。 第二部分：群論——對稱性的結構 (第3-8章) 群論是抽象代數的第一個核心領域。本書從二元運算的定義齣發，詳細闡述瞭群的公理、子群、陪集和拉格朗日定理。 第三章：群的基本性質與例子 詳細討論瞭有限群和無限群的定義，並給齣瞭充足的例子，如整數加法群、可逆矩陣群 $ ext{GL}_n(F)$、二麵體群 $D_n$ 和對稱群 $S_n$。特彆地，對稱群的結構分析被置於突齣地位，為理解置換提供瞭直觀模型。 第四章：循環群與生成元 專注於最簡單的群結構——循環群。本章深入探討瞭群的生成元、階的概念以及循環群的唯一子群結構。 第五章：同態與同構 引入瞭保持群結構映射的概念。群同態的定義、性質，特彆是核（Kernel）和像（Image）的性質被詳盡論證。同構的概念被用來揭示看似不同的群之間可能存在的內在同一性。 第六章：正規子群與商群 這是構建更復雜群結構的關鍵一步。正規子群的定義及其重要性被深入探討，隨後引入瞭商群（或因子群）的構造，這是代數結構“分解”的第一個實例。 第七章：群作用與軌道 本章將群論的應用提升到新的高度。介紹瞭群在集閤上的作用，並詳細推導瞭軌道-穩定子定理，這是一個強大的工具，用於計算集閤上的計數問題和結構分析。 第八章：有限生成阿貝爾群的基本定理 本章專為研究生和希望深入研究的本科生設計，提供瞭關於有限生成阿貝爾群的分類定理的證明，這是模塊論和綫性代數中相關理論的鋪墊。 第三部分：環論——代數運算的擴展 (第9-12章) 本書隨後轉嚮環，這是同時擁有加法和乘法運算的代數結構。 第九章：環的定義與基本例子 從集閤、二元運算擴展到具有兩個運算的結構。書中詳細分析瞭交換環、單位環、整環以及域等概念，並通過矩陣環、多項式環等非交換和非整環的例子來增強理解。 第十-十一章：子環、理想與商環 類似於群論中的子群和正規子群，本書清晰區分瞭子環和理想。理想的性質，特彆是雙邊理想，是構建商環的必要條件。商環的構造及其與同態定理的聯係被詳細闡述。 第十二章：整環中的整除性 這一章重點關注具有乘法消去律的環——整環。本章引入瞭整除性、關聯元、主理想整環（PID）、唯一分解整環（UFD）和歐幾裏得整環（ED）的層次結構。本書提供瞭清晰的證明，展示瞭 $Z$ 和多項式環 $F[x]$ 如何屬於這些分類，並探討瞭它們之間的包含關係。 第四部分：域論——解方程的藝術 (第13-15章) 域論是抽象代數在代數幾何和伽羅瓦理論中的基礎。 第十三章：域的構造與特徵 詳細考察瞭域的特徵（0或素數p），並探討瞭素域（最小子域）的概念。 第十四章：多項式環與不可約性 深入研究多項式環 $F[x]$ 的性質，特彆是其作為歐幾裏得整環的地位。本章重點講解瞭多項式在域上的分解，並介紹瞭判斷多項式不可約性的關鍵工具，如艾森斯坦準則和有理根定理。 第十五章：域的擴張 域擴張是域論的核心。本書定義瞭擴張次數，並係統地介紹瞭代數擴張與超越擴張。代數元的最小多項式概念被嚴格定義和分析。 第五部分：特定結構的深入探索 (第16-17章) 為瞭將理論知識與更專業的領域連接起來，本書專門闢齣兩章深入探討瞭兩個重要的特殊結構。 第十六章：有限域 構造和描述瞭所有有限域（伽羅瓦域）的存在性，並證明瞭它們的存在性和唯一性（在同構意義上）。這部分內容為密碼學和編碼理論的讀者提供瞭必要的背景知識。 第十七章：模初步 作為環論的自然延伸，本章簡要介紹瞭模的概念，將其視為環上的嚮量空間推廣。這為後續學習綫性代數的高級主題（如結構定理）做瞭準備。 第六部分：應用與展望 (第18章) 最後一章簡要概述瞭抽象代數在其他領域的應用，例如將群論應用於晶體學和化學對稱性，以及如何將本章所學知識（如UFD、PID）應用於數論中的費馬大定理的某些情況的初步分析。 本書特色 1. 例證驅動： 每引入一個新概念，作者都提供瞭至少三個不同類型的例子，涵蓋數論（$mathbb{Z}$）、幾何（對稱群 $D_n$）和抽象構造（商群）。 2. 定理證明詳盡： 核心定理（如拉格朗日定理、第一同構定理、有限生成阿貝爾群分類定理）的證明步驟詳細且邏輯清晰，便於讀者追蹤。 3. 區分層級： 明確區分瞭群、環、整環、PID、UFD、ED之間的包含關係，避免瞭概念混淆。 4. 麵嚮計算： 書中穿插瞭大量的“計算練習”，要求讀者親手計算陪集、核、商環元素或判斷多項式的不可約性，以鞏固理論理解。 5. 風格嚴謹： 本書的寫作風格高度忠實於標準數學文獻的嚴謹性，避免使用口語化或模糊的錶達，確保概念的精確性。 《抽象代數導論：群、環與域》是渴望構建穩固、深刻的抽象代數知識體係的數學學習者不可或缺的參考書。它不僅教授“是什麼”，更著重於“為什麼”和“如何證明”。

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讀完這本書的前三章，我深切體會到作者在構建理論體係時的匠心獨運。它沒有采用傳統教材那種平鋪直敘的講解方式，而是將“生成元”和“西齊吉”（Syzygies）這兩個核心概念巧妙地編織在一起，形成瞭一個互為支撐的邏輯網絡。這種編排方式迫使讀者必須時刻保持高度的警覺性，因為前一個章節看似不經意的定義，可能在後來的推導中爆發齣驚人的威力。我特彆留意瞭關於模空間（Moduli Spaces）的部分，作者在處理退化情形時的論述極為精煉，幾乎沒有一句廢話，每一個斷句都仿佛經過瞭韆錘百煉的打磨。這使得整本書讀起來如同在攀登一座技術難度極高的數學高峰，每一步都需要精確計算和堅定的信念。對於那些習慣於綫性閱讀的讀者來說，可能需要花費更多時間去迴顧和消化其中的跳躍性思維，但一旦跨越瞭初期的門檻，那種豁然開朗的境界感是其他任何書籍都難以比擬的。

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這本書的排版和印刷質量堪稱一流，這對於需要長時間麵對復雜數學公式的讀者來說，是一個巨大的加分項。乳白色的紙張有效減輕瞭長時間閱讀帶來的視覺疲勞。然而，恕我直言，這本書的門檻確實非常高。它假定讀者已經對初等代數和拓撲學有著非常紮實的背景，任何基礎知識的薄弱都可能成為理解後續章節的巨大障礙。我曾在一個下午試圖快速瀏覽關於“同調群的計算”那一章，結果發現自己像是在霧裏看花，那些層層嵌套的範疇和函子符號幾乎讓人窒息。它需要的是心無旁騖的沉浸式閱讀，最好是配閤紙筆進行大量的演算和圖示繪製。毫不誇張地說，這本書更適閤作為博士階段研究生的核心參考書，或者是在職研究人員的案頭必備工具書，而不是給初學者嘗試接觸不變量理論的“敲門磚”。

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我特彆欣賞作者在介紹“奇異點”理論與“軌道穩定性”之間的聯係時所采用的論證結構。它以一種近乎詩意的筆觸，將看似不相關的代數結構連接瞭起來，展現齣數學內部驚人的統一性。書中關於如何構造最小多項式族來描述特定群作用下的不動點集的部分，其推導過程的流暢性令人拍案叫絕。不同於許多現代數學書籍傾嚮於使用過於簡化的符號係統，這本書在保持嚴謹性的同時，依然保留瞭一些傳統數學論述的優雅和細節，使得讀者在理解證明步驟時，能夠更好地把握其背後的幾何直覺。這本書讀下來，感覺像是在與一位博學而謙遜的大師進行瞭一場漫長而深入的學術漫步，雖然步履維艱，但沿途的風景絕對值得用生命去銘記和珍藏。

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這本書的封麵設計非常引人注目，深邃的藍色調與燙金的字體搭配，散發著一種古典與現代交織的神秘感，讓人一眼就能感受到其內容的深度與廣度。雖然我還沒有完全讀完，但初步翻閱下來，那些密密麻麻的數學符號和嚴謹的邏輯推導，立刻將我拉入瞭一個高度抽象的世界。它不像那些旨在快速入門的科普讀物，而更像是一份為資深研究者準備的精緻地圖，指引著那些熱衷於探索代數幾何和錶示論前沿的頭腦。特彆是那些關於“軌道”和“對稱性”的討論，似乎不僅僅停留在理論層麵，更在試圖揭示宇宙萬物背後隱藏的秩序與美感。我尤其欣賞作者在引入新概念時所展現的耐心，即便是最艱深的定理，也總能在前後的鋪墊中找到一個閤理的立足點。對於那些希望在不變量理論領域深耕細作的學者而言，這本書無疑是一份不可多得的寶藏，它要求讀者全身心的投入，但迴報絕對是豐厚的知識積纍和思維上的升華。

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作為一本專注於特定領域的專著，這本書在細節處理上的極緻追求令人印象深刻。它不僅僅是羅列公式和證明，更像是在進行一場跨越數百年的數學對話。作者頻繁地引用瞭從高斯到現代學者的經典工作，並用最新的工具對其進行瞭重新審視和拓展。我發現其中關於“不變性群作用下的動力學”那幾節尤其精彩，它將群論的抽象美感與實際的幾何結構完美地融閤在一起，使得原本冰冷的代數結構似乎擁有瞭生命。我試著將書中的某些構造應用於我正在研究的一個實際物理問題中，發現它提供瞭一種全新的、更優雅的解決路徑。這本書的價值不在於它能給你一個即時的答案，而在於它能徹底重塑你思考問題的方式，讓你學會用更深層次的對稱性語言去解讀世界。這種思維方法的革新，遠比記住幾個定理來得更有價值。

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