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出版者:The Mathematical Association of America

作者:Forman S. Acton

出品人:

页数:569

译者:

出版时间:1997-8-7

价格:USD 46.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883854501

丛书系列:Spectrum Series

图书标签:

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《数值方法：理论与实践》 引言 在科学研究、工程设计以及数据分析的诸多领域，我们常常会遇到需要精确求解数学问题的情况。然而，许多现实世界中的问题，例如复杂的微分方程、高维积分、大规模线性系统或者非线性方程组，往往无法通过解析方法获得精确的解析解。此时，数值方法便成为我们不可或缺的强大工具。本书《数值方法：理论与实践》旨在为读者提供一个全面而深入的学习体验，帮助理解和掌握一系列经典且高效的数值计算技术，并能够将其应用于解决实际问题。 本书结构与内容概述 本书围绕数值计算的核心概念和方法展开，结构清晰，逻辑严谨，既注重理论的深度，也强调实践的应用。 第一部分：数值计算基础 误差分析与浮点运算： 任何数值计算都不可避免地会引入误差。本部分将首先介绍不同类型的误差，包括截断误差、舍入误差、绝对误差和相对误差，并阐述它们如何影响计算结果的精度。同时，我们将探讨计算机如何表示和处理浮点数，理解机器精度以及它对数值算法设计的影响。理解误差的来源和传播机制是进行可靠数值计算的第一步。 函数逼近与插值： 在许多情况下，我们拥有的数据点可能是离散的，或者函数本身的形式复杂。函数逼近与插值技术允许我们构建一个简单的函数（如多项式）来近似原始函数或拟合给定数据点。我们将详细介绍多项式插值的几种重要方法，包括拉格朗日插值、牛顿插值，并讨论其优缺点以及在不同场景下的适用性。此外，还会涉及分段插值（如三次样条插值），以克服高次多项式插值的龙格现象。 数值积分： 计算定积分是科学和工程中常见的任务，尤其是在无法找到解析原函数时。本部分将深入探讨一系列数值积分方法，从简单直观的矩形法、梯形法，到更精确的辛普森法。我们还将介绍复合积分方法，通过将积分区间分割成小段并应用基本积分规则来提高整体精度。此外，书中会讨论高斯积分等更高级的技术，以及如何根据被积函数的特性选择最合适的数值积分方法。 第二部分：方程求解与逼近 非线性方程求解： 求解形如 $f(x) = 0$ 的非线性方程是另一类基本但具有挑战性的问题。本书将介绍几种经典的迭代求解方法，包括二分法（也称对分法）、不动点迭代法、牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson method）以及割线法（Secant method）。我们将详细分析这些方法的收敛性、收敛速度，以及它们各自的适用范围和局限性，并提供如何选择初始猜测值和判断收敛的实用技巧。 线性方程组的求解： 线性方程组的求解在众多领域中占据核心地位，例如有限元分析、数据拟合、图论等。本部分将区分直接法和迭代法。直接法包括高斯消元法（Gauss elimination）及其改进型（如LU分解），它们通过一系列代数运算直接得到精确解（在理想机器环境下）。迭代法，如雅可比迭代（Jacobi iteration）和高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel iteration），则通过不断逼近的方式求解，对于大规模稀疏系统尤其有效。我们将分析不同方法的计算复杂度和稳定性。 最小二乘法与曲线拟合： 当观测数据存在噪声或不确定性时，我们往往需要寻找一个最优的数学模型来描述这些数据。最小二乘法是最常用的曲线拟合技术之一，它旨在最小化观测值与模型预测值之间差异的平方和。本书将介绍如何利用最小二乘法进行线性拟合和多项式拟合，并推导相应的求解公式。此外，还将简要介绍非线性最小二乘法及其求解思路。 第三部分：微分方程的数值解 常微分方程（ODE）的数值解： 许多物理、化学、生物和工程过程都可以用常微分方程来描述。当解析解难以获得时，数值方法成为必不可少的工具。本部分将详细介绍求解初值问题（Initial Value Problems, IVPs）的几种重要方法，包括欧拉法（Euler's method），包括向前、向后和改进型欧拉法，以及更高级的龙格-库塔法（Runge-Kutta methods），如经典的四阶龙格-库塔法。我们将讨论这些方法的局部截断误差、全局截断误差以及它们的收敛阶。 偏微分方程（PDE）的数值解（初步）： 偏微分方程在描述多变量、多维度现象时扮演着关键角色，例如热传导、流体力学和电磁学。由于其复杂性，直接求解通常非常困难。本书将初步介绍求解偏微分方程的几种主要数值离散化方法，包括有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。我们将以经典的抛物型方程（如热传导方程）和椭圆型方程（如泊松方程）为例，展示如何将空间和时间导数用差分代替，从而将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。 第四部分：矩阵特征值问题 特征值与特征向量的计算： 特征值和特征向量是分析线性系统行为的关键概念，它们在振动分析、稳定性分析、主成分分析（PCA）等领域有着广泛应用。本部分将介绍计算矩阵特征值和特征向量的几种数值算法。我们将讨论幂法（Power method）及其变种，用于求解主特征值和对应特征向量。此外，还会介绍QR分解法等更通用的特征值计算技术，以及分析其收敛性和计算效率。 第五部分：高级主题与应用 蒙特卡洛方法： 蒙特卡洛方法是一种利用随机抽样来获得数值解的强大技术。本书将介绍其基本原理，并通过计算复杂积分、模拟概率分布等例子来展示其应用。 数值稳定性与算法设计： 在实际应用中，数值算法的稳定性至关重要。本部分将探讨如何评估算法的数值稳定性，以及在设计算法时应考虑的因素，以避免误差的灾难性增长。 实际案例分析： 为了巩固所学知识，本书将包含一系列与工程、科学和金融领域相关的实际应用案例。这些案例将引导读者如何将所学的数值方法应用于解决真实世界的问题，例如模拟物理现象、优化设计参数、分析实验数据等。 学习目标 通过学习本书，读者将能够： 深入理解数值计算中的误差来源与控制方法。 熟练掌握求解非线性方程、线性方程组、积分以及常微分方程组的经典数值算法。 理解偏微分方程的基本数值求解思路。 掌握计算矩阵特征值和特征向量的常用方法。 能够根据具体问题选择合适的数值方法，并对其进行实现和评估。 具备将数值方法应用于解决实际科学与工程问题的能力。 适用读者 本书适合于计算机科学、数学、物理、工程、统计学以及相关领域的本科生、研究生，以及需要掌握数值计算技术的科研人员和工程师。对于具有一定数学基础（如微积分、线性代数）的读者，学习本书将更加得心应手。 结语 《数值方法：理论与实践》是一本旨在培养读者解决实际问题能力的实用性著作。它不仅提供了必要的理论框架，更注重通过清晰的解释和丰富的例子来帮助读者理解和掌握这些强大的计算工具。我们相信，本书将成为您探索数值世界、解决复杂挑战的忠实伙伴。

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当我翻开这本教材时，我立刻被它那种直击核心、毫不拖泥带水的叙事风格所吸引。它不像某些教科书那样，为了追求数学的严谨性而牺牲了清晰度。这本书的作者似乎非常清楚读者的痛点——我们需要的不是纯粹的数学证明，而是能够快速落地解决问题的工具箱。在处理大型线性代数问题时，这本书的讲解方式堪称典范。它没有将迭代法和直接法简单地对立起来，而是将它们置于不同的计算资源和矩阵特性背景下进行比较。例如，它对共轭梯度法（CG）的介绍，不仅限于其理论基础，更着重于预处理器的选择和其在稀疏矩阵上的性能优化，这一点在处理大规模有限元分析数据时至关重要。更让我印象深刻的是它对数值稳定性（Numerical Stability）的探讨。很多教材只是简单提一下“不稳定”的概念，但这本书会通过具体的例子展示，一个看似微小的输入变化如何因为算法设计上的缺陷而被指数级放大，最终导致完全不可信的结果。这种对“健壮性”的关注，体现了作者深厚的实践经验。阅读过程中，我常常会停下来，对照自己正在进行的项目，发现书中描述的许多陷阱，我此前已经不自觉地踩过。这本书更像是一本“防坑指南”，而不是一本简单的理论书籍。

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与其他侧重于理论推导的数值分析书籍相比，这本书在“方法与应用”的结合度上达到了一个新的高度。我发现作者在每一个章节的收尾部分，都会有一个或者多个精心设计的案例研究，这些案例往往来源于真实的工程挑战，比如结构动力学中的模态分析、流体力学中的离散化误差控制，甚至是金融工程中对期权价格的快速求解。这些案例不仅仅是简单地代入公式，而是详细讨论了如何将连续问题转化为离散模型，如何根据计算资源和精度要求来裁剪算法的复杂度。例如，在处理偏微分方程（PDEs）的数值解法时，它对有限差分法和有限元法的对比，是基于实际的网格生成难度和边界条件的适应性来衡量的，这比单纯在理论上比较收敛阶更有说服力。这本书的行文风格非常鼓励读者动手实践，书中提供的算法伪代码清晰明了，几乎可以直接翻译成任何编程语言。对于自学的读者来说，这本书提供了完美的脚手架，既能提供必要的理论支撑，又能保证你在实践中不会迷失方向。

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这本书最让我称赞的一点是它对数值分析中“权衡”（Trade-off）艺术的精妙把握。在数值计算的世界里，很少有绝对最优的解法，更多的是在精度、速度、稳定性和内存占用之间寻求平衡。这本书在这方面的指导思想非常成熟。例如，在讲解快速傅里叶变换（FFT）时，它不仅介绍了蝶形算法的优美，更重要的是讨论了在处理非标准长度序列或需要实时处理时，如何选择合适的填充策略和截断方式，以最小化引入的误差。这种对实际工程限制的深刻理解贯穿始终。再比如，在时间积分方法中，它清楚地指出了显式方法在步长限制上的痛苦，以及隐式方法在每次迭代中求解大型线性系统的成本，并引导读者去理解半隐式方法的实际应用价值。它不是简单地罗列方法，而是像一位经验丰富的顾问一样，告诉你：“在X情况下，你应该倾向于Y；但如果你的约束条件是Z，那么你应该重新考虑W。” 这种务实的指导，让这本书不仅仅是一本参考书，更像是一份指导我们进行科学计算决策的蓝图。

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我必须说，这本书在介绍优化算法，特别是无约束优化方面，给我的启发是巨大的。许多数值方法书籍在介绍梯度下降法时，往往止步于最速下降法，然后就跳到更复杂的内点法了。但这本书却花了不少篇幅来探讨如何有效地计算和近似海森矩阵，以及如何在低精度梯度信息下依然保持较好的收敛性能。它对拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）的阐述非常透彻，特别是BFGS和DFP公式的演化过程，作者用一种历史和逻辑相结合的方式，让我理解了为什么这些近似方法是如此高效且实用。更难得的是，它对全局优化策略的讨论，例如模拟退火和遗传算法的引入，虽然不是其核心，但也提供了在面对非凸、非光滑问题时如何进行初步探索的有效思路。对于那些需要编写优化求解器的人来说，这本书提供的细节信息是极其宝贵的，它远超出了仅仅能“跑通代码”的层面，而是深入到了如何设计一个高效、鲁棒的求解器的层面。它不仅仅是教你计算，更重要的是教你如何“思考”计算过程中的潜在瓶颈。

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这本书简直是为那些在工程和科学领域摸爬滚打的实干家量身定做的。我刚开始接触数值分析时，那些厚重的理论书籍常常让我望而生畏，感觉离实际应用总隔着一层纱。但这本书的切入点非常务实，它没有一开始就抛出复杂的数学推导，而是直接将我们带入到实际问题中去。比如，在处理非线性方程组时，作者不会仅仅停留在伽尔金法或牛顿法的理论框架上，而是会深入探讨在实际计算中如何选择合适的迭代策略、如何处理收敛速度慢或者震荡的问题。我特别欣赏它在数值积分和微分方程求解方面的处理方式。对于常微分方程，它不仅讲解了标准的龙格-库塔方法，更重要的是，它提供了关于如何选择步长、如何处理刚性（stiffness）问题的实用技巧。那种感觉就像是身边有一位经验丰富的老工程师在手把手教你如何避开那些在课堂上永远学不到的“坑”。书中对误差分析的讨论也极具洞察力，它没有用过于抽象的语言，而是通过具体的例子来展示舍入误差、截断误差是如何累积并最终影响到最终结果的可靠性。这本书真正做到了“授人以渔”，让我从一个只会套公式的学生，逐渐成长为一个能够独立分析和解决实际数值问题的工程师。这本书的价值在于它的可操作性和对实际工程挑战的深刻理解。

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