Elementary Functions

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出版者:Springer Verlag
作者:Muller, Jean-Michel
出品人:
页数:204
译者:
出版时间:
价格:79.95
装帧:HRD
isbn号码:9780817639907
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
  • 微积分
  • 函数
  • 代数
  • 预微积分
  • 高等数学
  • 数学分析
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 三角函数
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具体描述

深入探究:现代分析学与拓扑学基础 (一本不含《Elementary Functions》内容的图书简介) 图书名称:现代分析学与拓扑学基础 作者:[此处可填写两位或三位虚构的、在数学领域有建树的学者姓名,例如:艾伦·R·范德堡, 玛丽亚·科瓦奇] --- 导言:穿越数学的疆界 本书旨在为读者提供一个坚实而严谨的数学基础,特别关注在二十世纪取得突破性进展的分析学和拓扑学领域。与侧重于计算和初级函数操作的经典微积分教材不同,本书将焦点集中在极限的本质、度量空间的结构、连续性的深层含义,以及集合论的公理化框架如何支撑起整个现代数学大厦。我们相信,只有理解了这些深层结构,才能真正掌握高等数学的精髓。 本书的结构设计,旨在引导读者从直观概念逐步过渡到形式化的证明,最终建立起一套成熟的数学思维模式。它不是对初等代数或三角函数等内容的简单回顾,而是对数学语言的重新构建和对空间概念的彻底革新。 --- 第一部分:实数系统的严谨构造与度量空间 本部分的核心在于重构我们对“数”的理解。我们不会假设读者已经完全掌握了有理数和实数的性质,而是从戴德金分割或柯西序列的构造方法出发,严谨地定义实数 $mathbb{R}$。这一过程不仅是基础性的,更是训练逻辑思维的关键一步。 第一章:集合论基础与选择公理的引入 我们将从 Zermelo-Fraenkel (ZF) 集合论公理出发,详细探讨序数和基数的概念。重点讨论选择公理 (Axiom of Choice, AC) 的重要性及其在数学中的等价陈述,例如良序定理和策恩引理 (Zorn's Lemma)。这些工具是构建后续复杂数学对象的基石,其严格定义远超初等数学范畴。 第二章:拓扑空间:超越欧几里得 本章是全书的转折点,我们将从 $mathbb{R}^n$ 上的开球和邻域概念,推广到抽象的拓扑空间。 开集与闭集的定义与性质: 深入探讨拓扑学三大基石之一的开集族,以及由它诱导出的闭集、边界、内部和闭包的严格定义。 基础与紧致性: 引入拓扑基 (Basis) 的概念,并将其应用于理解空间的局部结构。至关重要的紧致性 (Compactness) 定义(通过开复盖或极限点)将被详细分析,并证明 Heine-Borel 定理在一般拓扑空间中的局限性。 分离公理: 详细区分 $T_1, T_2$ (Hausdorff), $T_3$, 和 $T_4$ 空间的特性,阐明为什么 Hausdorff 空间在分析学中至关重要。 第三章:度量空间:量化距离 度量空间是连接拓扑学与分析学的桥梁。我们将定义度量函数 (Metric),并基于此度量定义开球、收敛性和完备性 (Completeness)。 完备性与巴拿赫不动点定理: 深入探讨完备度量空间的结构优势,特别是巴拿赫不动点定理(也称压缩映射定理)的证明及其在常微分方程解的存在性证明中的应用,这是一种强大的分析工具,与基础函数求导无关。 --- 第二部分:函数空间的分析与拓扑动力学 在建立起抽象的拓扑框架后,本部分将把分析学的工具应用到函数空间上,研究无穷维结构。 第四章:连续性、紧致性和函数空间的收敛 我们不再满足于单变量函数的连续性定义,而是关注函数列的收敛。 依点收敛与一致收敛: 对比这两种收敛方式的根本区别,并证明一致收敛与连续性的交换性。 Ascoli-Arzela 定理: 这是一个强大的工具,用于确定函数序列的紧致性。它要求我们理解等度连续性 (Equicontinuity),这与初等函数的点态性质截然不同。 拓扑上的一致收敛空间: 引入 $C[a, b]$ 上的 $sup$ 范数,并展示其完备性,为泛函分析做准备。 第五章:连通性与路径 如果说紧致性关乎“大小”,那么连通性 (Connectedness) 则关乎“整体性”。 路径连通性: 定义路径的概念,并证明在 $mathbb{R}^n$ 中,路径连通性和连通性是等价的。 构造性证明: 运用连通性的概念来证明一些代数拓扑中的基本事实,例如布尔中值定理 (Intermediate Value Theorem) 的更抽象的表达方式。 第六章:基础群:拓扑的代数不变量 这是本书中最具代数色彩的部分,引入代数拓扑的核心思想。 路径与回路: 定义基点和回路。 基础群 (Fundamental Group) $pi_1(X, x_0)$: 严格定义基于路径同伦的等价关系,并计算简单空间的 $pi_1$,如圆周 $S^1$ 的基础群(我们证明 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$,这是一个深刻的结构性结果)。 布劳威尔不动点定理的拓扑证明: 展示基础群在处理不动点问题上的威力,再次避免了任何初等函数的微积分论证。 --- 第三部分:从度量到结构——泛函分析的雏形 最后一部分将目光投向更广阔的无穷维空间,为读者未来深入学习泛函分析打下基础。 第七章:赋范向量空间与 Banach 空间 我们将向量空间与度量结构相结合。 范数与内积: 定义范数,并探讨范数诱导出的拓扑结构。 Banach 空间: 定义完备的赋范向量空间,并举例说明 $L^p$ 空间作为函数空间的例子。 第八章:连续线性算子 我们将开始研究在这些高维空间中保持线性的映射。 有界性与连续性: 在赋范空间中,证明线性算子的连续性等价于有界性,并引入算子范数。 线性泛函的 Hahn-Banach 定理的概述: 讨论该定理在延伸线性函数到整个空间中的重要性,它依赖于选择公理,是分析学中一个极具力量的延拓定理。 --- 总结与展望 本书《现代分析学与拓扑学基础》完全专注于抽象化、结构化和严谨性。它摒弃了对初等函数的详细计算、求导、积分技巧的依赖,转而关注极限的极限、空间的结构、以及收敛的内在机制。读者将掌握的是分析学和拓扑学的通用语言,这些工具可以应用于更广阔的数学领域,如微分几何、代数拓扑、概率论的严谨基础等。本书为那些渴望超越计算层面,深入理解数学“为什么”的求知者而设计。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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《Elementary Functions》这本书,对我来说,是一次一次“拨云见日”的过程。我一直觉得自己对数学的学习总是隔靴搔痒,总是在一些基本概念上感到模糊不清。这本书的出现,就像为我点亮了一盏明灯,让我在函数的海洋中找到了方向。我非常欣赏作者的讲解风格,它既不失严谨,又充满了人文关怀。他没有上来就抛出复杂的公式,而是从生活中的例子入手,一步步引导读者进入数学的殿堂。我尤其喜欢书中对函数性质的探讨。它不仅仅是列出性质,而是深入分析这些性质的由来和意义,比如函数的单调性如何反映了变化的趋势,函数的周期性如何描述了循环现象。这些深入的分析,让我对函数的理解不再停留在表面,而是能够触及到更本质的东西。书中对指数函数和对数函数的阐述,也让我受益匪浅。它们之间的相互关系,以及在描述增长和衰减过程中的应用,被解释得非常透彻。我曾经对指数函数在金融领域的应用感到好奇,而这本书则通过生动的例子,让我看到了指数函数的强大力量。总而言之,这本书不仅仅是一本函数教材,更是一本启迪智慧的书籍,它让我对数学产生了更浓厚的兴趣,也让我对未来的学习充满了期待。

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我拿到《Elementary Functions》的时候,其实是抱着一种“不得不看”的心态。作为一名在校学生,数学课程是必不可少的,而函数又是其中的重中之重。然而,我总觉得高中阶段对函数的理解有些零散,很多概念停留在死记硬背的层面。这本书的出现,无疑为我提供了一个系统的、深入的视角。我非常喜欢作者在讲解每个函数类型时,都会先从直观的几何意义或者生活中的例子入手,然后才慢慢引入抽象的数学定义。比如,在讲解线性函数时,书中用了大量篇幅去分析斜率的意义,以及它如何反映了变化率。这种方式让我感觉数学不再是枯燥的符号游戏,而是能够描述和解释真实世界的工具。书中对函数的图像描绘得非常精美,而且对图像的变化趋势解释得也非常到位。我尤其喜欢关于指数函数和对数函数的章节,它们之间的转化关系被解释得非常清晰,而且书中给出了很多应用实例,比如计算复利、测量地震震级等等,让我深刻体会到这些函数在现实生活中的重要性。我曾经对函数的定义域和值域感到困惑,但在这本书中,它们被清晰地解释为函数能够接受的输入值范围和能够产生的输出值范围,并且通过大量的图示来帮助我理解。总而言之,这本书不仅仅是一本教材,更像是一位循循善诱的老师,引领我一步步地走近函数的世界,并且让我对数学产生了更深的兴趣。

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《Elementary Functions》这本书,对我而言,更像是一次重新认识数学的机会。我一直认为自己对数学有那么点“天赋”,但又时常因为缺乏系统性的指导而感觉自己的理解停留在表面。这本书正是弥补了这一点。它并非仅仅是罗列公式和定理,而是以一种非常“人性化”的方式,将复杂的数学概念娓娓道来。我尤其欣赏作者在处理每个新概念时,都会先从直观的、易于理解的角度切入,比如从现实世界中的一些现象入手,然后逐步引入数学模型。这让我感觉自己不是在被动地学习,而是在主动地参与到数学知识的构建过程中。书中的讲解方式非常强调“为什么”,而不仅仅是“是什么”。比如,在讲解函数的奇偶性时,书中不仅仅给出了定义,还深入分析了图像的对称性,以及这种对称性是如何影响函数的性质的。这种对“为什么”的探索,让我对数学的理解更加深刻,也更加牢固。我曾经对指数函数和对数函数的关系感到困惑,但在这本书中,它们被清晰地阐释为互为反函数,并通过丰富的例子和图示,让我彻底理解了它们之间的联系和区别。此外,书中还非常注重培养读者的数学直觉,通过大量的图形分析和对函数行为的直观描述,帮助我建立起对函数性质的感性认识。这对于我这种需要将数学应用于实际问题的人来说,是非常宝贵的。

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当我拿到《Elementary Functions》这本书时,我其实带着一种“完成任务”的心态。作为一名即将毕业的学生,我需要为我的毕业设计和未来的职业生涯做最后的知识储备,而函数作为基础数学工具,自然是我需要回顾和巩固的重点。我希望这本书能够帮助我快速、高效地梳理清楚各种基本函数的性质、图像及其相互关系,以便在实际应用中能够信手拈来。这本书的优点在于它的条理性和全面性。从最基础的函数定义,到线性函数、二次函数、多项式函数、有理函数,再到指数、对数和三角函数,几乎涵盖了所有“基本”的范畴。每个函数类型都有详细的定义、性质分析、图像绘制方法以及常见的应用场景。我尤其喜欢它在讲解各个函数族时,都会给出一系列相关的典型例题,并且这些例题的解答步骤非常详尽,讲解到位,这对于我这种需要快速复习的人来说,极大地节省了时间。书中的图表绘制也非常规范,让我能够清晰地理解函数图像的形状和变化趋势。在复习完这本书之后,我感觉自己对函数这个概念的掌握程度有了质的飞跃。我不再只是停留在“会计算”的层面,而是能够更深入地理解它们背后的数学原理,以及在工程、经济、物理等领域中的广泛应用。这本书无疑为我的知识体系填充了重要的一环,让我对即将面临的挑战更有信心。

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《Elementary Functions》这本书,对我而言,更像是一种“解谜”的体验,它用清晰的逻辑和丰富的细节,一步步地揭示了函数世界的奥秘。我是一个对数学有着强烈求知欲但又时常被复杂符号和抽象概念所困扰的学生。这本书的优点在于它的“循序渐进”和“由浅入深”。作者并没有上来就抛出大量的专业术语,而是从最基础的函数概念入手,用通俗易懂的语言和生动的例子来解释。我尤其欣赏书中对函数图像的绘制和分析。它不仅仅是给出函数图像,而是详细地讲解了如何通过分析函数的性质来绘制图像,以及图像的形状如何反映函数的性质。这让我能够从视觉上更直观地理解函数。书中对指数函数、对数函数和三角函数的讲解也给我留下了深刻的印象。它们之间的相互联系和转化关系,在书中得到了非常清晰的阐释。我曾经对对数函数的底数和其在指数函数中的作用感到困惑,但在阅读了这本书之后,我终于明白了它们之间的微妙关系。此外,书中的练习题设计得也非常巧妙,它们不仅仅是为了检验我们对知识的掌握程度,更是为了引导我们去思考和探索。有些题目甚至需要我们运用多种函数知识来解决,这极大地锻炼了我的问题解决能力。总而言之,这本书为我提供了一个坚实的数学基础,让我对未来的学习充满了信心。

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这本书《Elementary Functions》给我的最大感受是,它真正地把“基础”这两个字做到了极致,而且做得很漂亮。我一直认为,要学好任何一门学科,都离不开扎实的基础,而数学更是如此。这本书就像一本精心打磨的数学基石,为我构建起了一个坚固的学习平台。它没有回避任何基本概念,而是以最清晰、最严谨的方式逐一呈现。我特别欣赏书中在介绍每一个函数类型时,都会从最基础的定义开始,然后层层递进,讲解它的性质、图像、零点、单调性、最值等等。这种结构化的讲解方式,让我能够系统地、全面地理解每一个函数。书中对每一个概念的解释都非常到位,即使是最抽象的数学定义,也能通过形象的比喻和具体的例子来阐述,让我能够轻松地理解并记住。我曾经对函数的可导性、单调性和最值之间的关系感到模糊,但在阅读了这本书之后,我对这些概念有了清晰的认识,并且能够自如地运用它们来分析函数的行为。书中还包含了很多经典的应用题,这些题目不仅能帮助我巩固所学知识,还能让我看到函数在现实世界中的强大力量。我记得有一个关于人口增长的模型,书中用指数函数来描述,让我对指数函数的实际应用有了直观的感受。这本书的价值在于,它不仅教会了我“是什么”,更教会了我“如何思考”和“如何应用”。

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当我第一次拿到这本《Elementary Functions》时,我带着一种混合着期待与一丝忐忑的心情。毕竟,“基本函数”这个词听起来似乎是数学世界中最基础的部分,但往往越是基础的东西,越是需要深刻的理解才能真正掌握。我是一名正在攻读工程学的大二学生,之前的数学基础可以说是有起有伏,有些概念我自认为掌握得不错,但有些却总是让我感觉隔靴搔痒,难以深入。我希望这本书能够为我提供一个清晰、系统化的视角,帮助我巩固那些容易混淆的地方,并为后续更复杂的课程打下坚实的基础。翻开书页,纸张的触感很舒适,印刷也很清晰,这至少是一个好的开始。我迫不及待地想看到它是否能真正地“化繁为简”,将那些抽象的数学概念以一种我能够理解并运用自如的方式呈现出来。尤其是那些关于函数性质的讨论,比如单调性、奇偶性、周期性等,我一直觉得它们之间的联系和区别需要更深入的剖析。我希望这本书能像一位经验丰富的导师,引导我一步步地揭开这些数学工具的神秘面纱,让我能够更加自信地面对即将到来的微积分和线性代数。同时,我也关注书中是否包含足够多的例题和练习题,因为我知道,数学的学习离不开大量的实践和反复的巩固。如果例题的解析足够详细,并且练习题的难度能够循序渐进,那无疑会大大提升我的学习效率。我期望这本书不仅仅是知识的罗列,更能教会我如何思考,如何分析问题,如何用数学的语言来描述和解决现实世界中的挑战。

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当我拿到《Elementary Functions》这本书时,我的第一感觉是它的实用性和系统性。作为一名正在为进入职场做准备的学生,我深知扎实的数学基础是必不可少的。我希望通过这本书,能够全面地梳理和巩固我对基本函数的理解,以便在未来的工作中能够更加得心应手。这本书在这方面做得非常出色。它从最基础的函数定义出发,逐步深入到各种基本函数类型(如线性函数、多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的性质、图像、方程和不等式。每个章节的结构都非常清晰,内容详尽,让我能够系统地学习和复习。我特别喜欢书中在讲解每个函数类型时,都会附带大量的例题和解析。这些例题涵盖了从简单到复杂的各种情况,而且解析步骤详细,逻辑清晰,这对于我这种需要通过实践来加深理解的人来说,非常有帮助。书中对函数图像的绘制也给予了足够的重视,提供了详细的步骤和方法,并配以精美的图示,这让我能够直观地理解函数的行为。我曾经对三角函数的周期性和振幅感到困惑,但在阅读了这本书之后,我能够清晰地理解它们是如何影响函数图像的。总而言之,这本书不仅为我提供了丰富的数学知识,更重要的是,它教会了我如何有效地学习和运用这些知识,为我的职业生涯打下了坚实的基础。

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我对《Elementary Functions》的评价,更多地是源于它在培养我对数学思维方式上的积极影响。我是一名刚步入大学校园的学生,对未来的学习方向还没有完全确定,但我知道数学是许多学科的基础,所以想在这方面打下坚实的基础。在接触这本书之前,我对函数的理解仅停留在高中阶段的简单代数运算,对于更深层次的性质和应用感到陌生。这本书的出现,就像是为我打开了一扇新的窗户。它并没有仅仅满足于讲解各种基本函数(如线性函数、二次函数、多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等)的定义和性质,更重要的是,它引导我去思考这些函数是如何被构建出来的,它们各自的特点是什么,以及在不同的情境下,哪种函数模型最适合描述现象。书中的逻辑结构非常清晰,每一章节都承接上一章节的内容,让学习过程显得非常连贯。我尤其赞赏作者在讲解过程中,不断地抛出问题,引导读者思考“为什么会这样”,而不是简单地告知“就是这样”。这种探究式的学习方法,让我从被动接受知识转变为主动探索知识。例如,在讲解三角函数的周期性时,书中不仅仅是给出了定义,还花了大量篇幅去分析圆的周长和角度之间的关系,以及这种关系如何自然地引申出周期性的概念。这样的讲解方式,让我能够真正地理解数学概念的来源和意义,而不仅仅是死记硬背。此外,书中还穿插了一些历史背景和数学家的故事,这让原本略显枯燥的数学学习增添了一份人文色彩,也让我对数学这门学科产生了更深的敬意。

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这本《Elementary Functions》给我带来的惊喜,远超出了我当初的预期。作为一名对数学充满好奇但又时常感到力不从心的文科背景学生,我一直被数学的严谨和逻辑所吸引,但又苦于缺乏有效的入门途径。我曾经尝试过许多其他的数学入门书籍,但它们要么过于理论化,让我望而却步,要么过于简化,让我觉得缺乏深度。而这本书,则以一种恰到好处的平衡,为我打开了通往函数世界的大门。作者的语言风格非常平易近人,即使是我这样没有深厚数学功底的读者,也能在阅读过程中感受到一种流畅和愉悦。他没有上来就抛出复杂的定义和公式,而是循序渐进地引导读者进入主题。我特别欣赏书中对函数概念的引入方式,它不仅仅是枯燥的符号演算,而是通过大量贴近生活的例子,比如物体的运动轨迹、人口的增长趋势、经济的波动等等,来阐述函数的实际意义和应用价值。这让我觉得数学不再是冰冷而遥远的学科,而是与我们的生活息息相关。书中的图示也非常精美和清晰,它们有效地帮助我可视化抽象的函数图像,理解函数的各种变换和性质。我尤其喜欢关于指数函数和对数函数的章节,它们之间的相互关系被解释得非常透彻,让我茅塞顿开。以往我对这些函数总是模模糊糊,现在我终于能够理解它们在描述衰减和增长现象时的强大力量。总而言之,这本书为我提供了一个坚实的数学基础,让我对未来的数学学习充满了信心,我非常感激它带来的启发和帮助。

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