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出版者:Instructional Fair

作者:Howard, Patricia

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:2002-1

价格:$ 14.68

装帧:平装

isbn号码:9780742402263

丛书系列:

图书标签:

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《精通几何与代数：基础与应用》 深入探索数学世界的基石 本书旨在为渴望在数学领域打下坚实基础的学习者提供一套全面、深入的指南。我们专注于解析数学思维的核心组成部分——几何学与代数——并展示它们在解决复杂问题中的强大应用。本书不仅仅是一本教科书，更是一本引导读者掌握数学语言、建立逻辑推理能力的实践手册。 第一部分：欧几里得几何的严谨之美 本部分将带领读者重温并超越高中阶段对欧几里得几何的理解，深入挖掘其内在的逻辑结构和证明方法。 第一章：点、线、面与公理系统的重构 我们将从希尔伯特的公理系统出发，探讨欧几里得几何的公理基础。重点解析平行公设的地位及其对整个几何体系的影响。读者将学习如何严谨地定义基本元素，并理解“不证自明”的陈述在数学体系中的作用。 线段、射线与直线： 区分这些基本概念，并探讨它们在二维和三维空间中的相对关系。 角度的测量与分类： 不仅限于度数，还将引入弧度制，并探讨角度在三角函数中的基础意义。 公理与定理的层级结构： 通过具体案例演示如何从少量公理推导出复杂的几何定理，培养演绎推理能力。 第二章：平面图形的性质与度量 本章聚焦于二维图形的精确分析，涵盖多边形、圆及其组合图形的性质。 三角形的完备分析： 深入研究全等与相似的判定定理，探讨中线、高线、角平分线和傍心、内心、外心的性质。特别关注特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形）的特性。 圆的几何： 深入探讨圆周角定理、弦与切线的性质，并引入圆幂定理，为后续学习解析几何打下基础。 面积与周长的精确计算： 学习如何运用微积分思想的雏形（如分割法）来推导复杂图形的面积公式，超越简单的公式套用。 第三章：空间几何的立体思维 从二维平面跃升至三维空间，本章培养读者的空间想象力和立体坐标系下的几何分析能力。 立体图形的构成： 详细分析棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体的结构特征。 线面关系与平行、垂直判定： 掌握在三维空间中判断直线与直线、直线与平面、平面与平面之间关系的方法（如利用向量或投影）。 三视图与空间想象力训练： 通过大量实战练习，提高从二维图纸还原三维实体的能力，这是工程和建筑设计的基础。 立体图形的表面积与体积计算： 结合微积分中的截面法思想，计算不规则立体图形的体积。 第二部分：代数的核心——方程、函数与结构 本部分将系统性地梳理代数的核心概念，从线性方程到多项式，再到函数的本质。 第四章：线性方程组与矩阵代数初探 线性代数是现代科学的语言之一。本章将从最基本的二元、三元线性方程组入手，逐步引入矩阵的概念。 消元法（高斯消元法）： 详细讲解操作步骤、行阶梯形，以及如何利用此方法判断解的存在性和唯一性。 矩阵的基础运算： 矩阵的加减乘法、转置，理解矩阵乘法的非交换性。 行列式与逆矩阵： 计算二阶、三阶行列式，并理解行列式在判断线性方程组解集中的作用。引入逆矩阵求解方程组的概念，为更高级的线性代数打下基础。 第五章：多项式与根式方程的深入分析 超越因式分解，本章探讨多项式的深层结构和解的性质。 因式定理与余数定理的灵活运用： 学习如何利用这些定理快速判断多项式的根和因式分解。 一元高次方程的求解策略： 探讨卡尔丹诺（Cardano’s formula）在求解三次方程中的历史意义和局限性，重点学习有理根定理和数值逼近法（如牛顿迭代法）在实际应用中的地位。 复数的引入与代数基本定理： 建立复数系统（$a+bi$），理解其几何意义（复平面），并阐述代数基本定理的意义——即任何复系数多项式方程都有复数根。 第六章：函数的本质与变换 函数是描述变量间关系的桥梁。本章将从函数定义出发，全面分析常见函数的性质。 函数的性质： 深入剖析函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。 基本初等函数： 线性函数与二次函数： 顶点式、一般式与截距式的转换，抛物线的几何性质（对称轴、焦点、准线）。 指数函数与对数函数： 它们作为互逆函数的深刻关系，自然对数 $e$ 的定义及其在增长模型中的应用。 幂函数与反函数的构造。 函数图像的变换： 系统学习平移、伸缩、翻转如何影响函数的解析表达式和图像位置，这是理解函数家族的关键技能。 第三部分：几何与代数的交汇点——解析几何 本部分是本书的综合应用部分，展示了笛卡尔坐标系如何将抽象的几何问题转化为代数方程，反之亦然。 第七章：平面解析几何——曲线的代数描述 距离公式与中点公式： 作为构建坐标系中几何度量的基石。 直线方程的多种形式： 点斜式、斜截式、一般式，以及直线方程在几何证明中的应用。 圆的方程： 从标准方程到一般方程的转化，结合配方法求解圆心和半径。 圆锥曲线的统一描述： 引入椭圆、抛物线和双曲线的几何定义（如定义点到焦点距离的关系），并推导出它们的标准代数方程。理解离心率在描述曲线形状中的核心作用。 第八章：向量与空间解析几何基础 为了更好地理解三维空间，本章引入向量的概念，作为连接几何与代数的强大工具。 二维向量运算： 向量的加减法、数乘，以及向量的坐标表示。 点积（数量积）： 利用点积计算两向量间的夹角和投影，这是解析几何中判断垂直关系的关键。 空间直线的方向向量与法向量： 如何用向量来精确描述三维空间中的直线和平面。 学习目标与读者对象： 本书适合对数学有浓厚兴趣，希望深入理解高中及大学预科数学概念，为高等数学、工程学或计算机科学打下坚实基础的学生和自学者。通过本书的学习，读者将不仅能够熟练地计算，更能理解数学原理背后的逻辑推导和结构美感。每一章节后都附有挑战性的“深度探究”习题，鼓励读者进行批判性思考和主动探索。

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从装帧和印刷质量来看，这本书也体现了制作者的专业态度。纸张的厚度适中，即使用钢笔书写也不会透墨，这对于需要反复做记号和批改的学习材料来说至关重要。更让我满意的是，它对于时间控制的建议非常人性化，并没有一开始就设置魔鬼时间，而是循序渐进地缩短允许的时间范围，这种科学的渐进式增加难度，避免了学习者产生挫败感。它教会我们，数学的精进并非一蹴而就，而是在一次次的精准计时和自我修正中缓慢而坚定地积累起来的。这本书，真正做到了将严谨的科学训练与轻松的自我管理完美结合。

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说实话，我一开始对市面上这么多数学练习册有些审美疲劳，但这本书在设计上给我的感觉是耳目一新。它的排版非常干净利落，没有那些花里胡哨的装饰分散注意力，所有的焦点都集中在数字和时间限制上。我发现，这种专注于“时间压力”下的准确性训练，极大地改变了我对待数学问题的态度。以前我总是依赖草稿纸慢慢推导，现在我必须强迫自己在脑海中快速构建运算模型。这种强化的过程让我的大脑对数字的敏感度提高了好几个档次。而且，它似乎非常注重培养逻辑思维中的“高效性”，教会你如何在有限时间内找到最快的解题路径，这在日常生活和未来的学术竞争中都是一项宝贵的技能。

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作为一名对教育工具要求苛刻的家长，我关注的重点在于工具的实用性和可持续性。这本书的重复利用率非常高，因为它提供的挑战是基于固定规则但结果多变的，每次拿起它，都是一次全新的体验。我注意到，它没有提供复杂的理论解释，而是采取了“做中学”的极简主义教学法，这非常适合那些不喜欢冗长说教的孩子。通过反复、有节奏的练习，那些原本需要刻意去记的运算规则，最终都内化成了本能反应。这正是培养“数学直觉”的关键所在。如果说知识是砖块，那么这本书就是帮助你用最快速度和最稳固方式将这些砖块砌成高楼的脚手架。

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这本书的价值远超出了单纯的“刷题”范畴，它更像是一本关于“心流体验”的指南。当我沉浸在连续的加减法挑战中，耳边仿佛能听到滴答作响的计时器，那一刻，外界的干扰都消失了，只剩下我和数字之间的博弈。这种高度集中的状态，对于需要长时间保持注意力的学习者来说，是极其难得的训练。我观察到，自从开始使用它进行每日定时练习后，我做其他需要精细计算的工作时，失误率明显下降了。这套体系似乎在无形中重塑了我大脑处理信息的方式，使其更加高效和精确。它成功地将“测试”的压力转化成了“专注”的动力，这一点值得所有寻求自我提升的人关注。

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这本书简直是为那些渴望在心算能力上更进一步的人量身定制的。我最近一直在寻找一种既能系统训练又能提供即时反馈的学习材料，而这本书恰好满足了我的需求。它巧妙地将练习的严谨性与实际操作的趣味性结合起来，让原本枯燥的数字游戏变得引人入胜。我尤其欣赏它对不同难度梯度的划分，从基础的两位数加减法开始，逐步过渡到涉及借位和进位的三位数运算，整个学习路径设计得非常科学合理。每一次完成一组测试，那种清晰的成就感都会激励我继续挑战下一轮。它不仅仅是提供了一堆题目，更像是一个耐心的私人教练，在你每一步的成长中都给予精准的指导和必要的推动力。对于希望巩固基础、提升反应速度的家长和学生来说，这绝对是一笔物超所值的投资。

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