Mathematical Foundations of Infinite-Dimensional Statistical Models pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Evarist Giné

出品人:

页数:720

译者:

出版时间:2015-11-18

价格:USD 99.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9781107043169

丛书系列:Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics

图书标签:

• nonparametric
• Statistics
• 统计学
• 数学
• 非参数统计
• 统计理论
• 统计推断
• 统计学习
• 统计学
• 无限维模型
• 数学基础
• 概率论
• 泛函分析
• 测度论
• 随机过程
• 机器学习
• 理论统计
• 高维统计

《数学基石：无限维统计模型的构建与探索》 引言： 在现代科学与工程的广阔图景中，我们正以前所未有的速度积累和分析着海量数据。这些数据往往蕴含着复杂而深刻的模式，其背后驱动的系统也常常具有高度的抽象性和无限的维度。从遥远的宇宙观测到微观的基因组学，从复杂的金融市场到神经网络的深层结构，无数现象的描述和理解都自然地引向了无限维度的统计模型。然而，处理这些高维甚至无限维对象，对传统的统计理论提出了严峻的挑战。本书《数学基石：无限维统计模型的构建与探索》正是致力于为这一前沿领域提供坚实的理论支撑和一套系统的方法论。我们深入挖掘统计模型背后所需的数学原理，旨在构建一套严谨且富有洞察力的分析框架，帮助研究者们理解、设计和应用那些能够捕捉现实世界复杂性的无限维统计模型。 第一部分：数学分析的无限维度景观 在踏入无限维统计模型的世界之前，扎实的数学分析基础是不可或缺的。本部分将为读者构建一个清晰的无限维度数学分析的框架，重点关注那些与统计建模直接相关的概念和工具。 赋范线性空间与巴拿赫空间： 我们将从向量空间的基本概念出发，逐步引入范数的概念，从而定义赋范线性空间。接着，我们会探讨完备性这一关键属性，理解为何巴拿赫空间在无限维度分析中扮演着核心角色。我们将详细阐述其拓扑性质，例如开集、闭集、紧集以及收敛的概念，这些都将是后续概率测度在无限维度空间上定义的基石。 希尔伯特空间： 作为一类特殊的巴拿赫空间，希尔伯特空间因其内积结构而具有更加丰富的几何意义和分析工具。本书将深入研究希尔伯特空间的性质，包括正交基的存在性（如傅里叶级数），投影定理，以及Riesz表示定理。这些定理将帮助我们理解在高维空间中函数和算子的性质，为线性模型的理解提供直观的几何解释。 测度论在无限维度空间上的拓展： 概率论的基础是测度论。当我们将概率测度推广到无限维度空间时，新的挑战和机遇随之而来。我们将探讨Borel $sigma$-代数在无限维空间上的定义，以及如何构造和理解在这种空间上的概率测度，例如Wiener测度及其在随机过程中的应用。我们将重点关注可测函数、期望、条件期望等核心概念在无限维度下的推广，以及Bochner积分的引入，它在处理无限维度随机变量时尤为重要。 Banach代数与算子理论： 许多统计模型，特别是那些涉及线性算子或函数的模型，可以直接用算子理论来描述。我们将介绍Banach代数的基本概念，并重点关注自伴算子、紧算子等在谱分析中的重要性。我们将探讨算子函数的理论，例如函数演算，以及它们在理解和求解涉及算子方程的统计模型中的作用。 第二部分：无限维概率与随机过程的精髓 统计模型的核心在于描述数据的随机性。在无限维度下，概率和随机过程的理论变得更加复杂和迷人。本部分将深入探讨这些概念，并为构建和分析无限维统计模型奠定probabilistic foundation。 无限维随机变量与分布： 我们将正式定义无限维随机变量，并讨论其分布的表示，例如使用特征函数或矩母函数。我们将关注某些特殊的无限维分布，如高斯分布（在希尔伯特空间上的推广），以及其在统计推断中的重要性。 随机过程的无限维建模： 许多现实世界的动态系统都可以用随机过程来建模。我们将介绍无限维随机过程的概念，包括其样本路径的性质。我们将重点讨论一些重要的随机过程，如布朗运动（及其在高维空间的推广），泊松过程，以及马尔可夫过程。我们将分析这些过程的统计特性，例如平稳性、遍历性等。 条件期望与鞅论： 条件期望是统计推断中的核心工具，其在高维随机过程中扮演着关键角色。我们将深入研究条件期望的性质，并介绍鞅论，这是一种强大的工具，用于分析和理解具有嵌套信息结构的随机过程，在最优停止问题、滤波理论等方面有广泛应用。 概率测度收敛与弱收敛： 在高维空间中，样本量有限时，我们往往需要分析无穷序列的统计行为。理解概率测度的收敛性，尤其是弱收敛（或称分布收敛），对于极限理论和渐近性质的分析至关重要。我们将介绍Prokhorov定理等关键结果，并讨论其在统计推断中的意义。 第三部分：无限维统计模型的构建与推理 在奠定了坚实的数学和概率基础之后，本部分将聚焦于无限维统计模型的具体构建、参数估计和推断。 线性模型的无限维推广： 我们将从经典的线性模型出发，探讨其在无限维空间中的推广。这包括处理无限维协变量、无限维系数向量以及无限维误差项。我们将研究在这些模型下，如何进行参数估计（例如，最小二乘法或最大似然估计的推广），以及如何分析估计量的性质，如渐近无偏性、渐近有效性等。 非参数模型的无限维挑战： 在许多情况下，我们对模型的形式没有先验的了解，这时非参数模型就显得尤为重要。我们将探讨无限维非参数回归、密度估计等问题。我们将讨论核方法、样条方法等在无限维度下的应用，以及如何应对“维度灾难”带来的挑战。 函数型数据分析： 越来越多的数据以函数的形式出现，例如时间序列的轨迹、医学图像的曲线等。本书将专门讨论函数型数据分析，包括函数型协方差函数、函数型主成分分析（FPCA）等。我们将探讨如何对这些高维函数型数据进行降维、建模和预测。 贝叶斯方法在无限维模型中的应用： 贝叶斯方法为处理不确定性提供了一个强大的框架。我们将研究如何在无限维模型中使用先验分布，以及如何进行后验推断。我们将重点关注处理无限维参数的贝叶斯模型，以及在计算上如何进行近似推断（例如，马尔可夫链蒙特卡洛方法）。 统计推断的渐近理论： 对于无限维模型，我们常常依赖渐近理论来获得统计推断的性质。我们将深入研究大数定律、中心极等价定理在高维空间中的推广，以及它们如何帮助我们理解估计量的渐近分布和构建置信区间。 模型选择与模型诊断： 在实践中，选择合适的模型以及评估模型的拟合优度至关重要。我们将探讨在无限维模型中进行模型选择的方法，例如信息准则的推广，以及模型诊断的技术，以确保模型的有效性。 第四部分：特定领域中的无限维统计模型 为了更直观地展示无限维统计模型的强大能力，本部分将探讨其在几个关键科学和工程领域的应用。 量子统计与量子信息： 量子系统天然地存在于无限维希尔伯特空间中。我们将介绍量子态、量子测量、量子纠缠等概念，并探讨如何使用无限维统计模型来描述和分析量子系统的统计行为，以及量子计算和量子通信中的统计推断问题。 机器学习与深度学习： 现代机器学习，尤其是深度学习，其模型往往具有极高的维度。我们将探讨神经网络的结构如何可以看作是无限维函数空间中的映射，以及如何应用无限维统计理论来理解其学习过程、泛化能力和正则化技术。 高维信号处理与图像分析： 高维信号和图像的分析常常需要处理无限维的特征空间。我们将介绍小波分析、字典学习等技术，并探讨如何利用统计模型来恢复、去噪和分析这些高维数据。 生命科学与生物统计： 基因组学、蛋白质组学等领域产生的数据具有极高的维度。我们将探讨如何使用无限维统计模型来分析基因表达数据、推断蛋白质相互作用网络，以及建模复杂的生物过程。 结论： 《数学基石：无限维统计模型的构建与探索》旨在为读者提供一个全面而深入的理论框架，以应对现代数据科学中日益突出的无限维度挑战。我们相信，通过扎实的数学分析，严谨的概率论基础，以及系统性的统计模型构建方法，研究者们能够更有效地捕捉和理解海量数据中蕴含的复杂模式，从而在各自的领域取得突破性的进展。本书不仅是一本理论著作，更是一扇通往无限维度世界的大门，邀请您一同探索其中蕴藏的无限可能。

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这部巨著的编辑和排版质量堪称典范，尤其值得称赞的是其对符号一致性的严格把控。在如此庞杂的数学体系中，处理从Hellinger距离到Wasserstein度量，再到各种不同类型的Sobolev空间时，符号的混用是常有的陷阱，但本书几乎做到了零失误。这种对细节的执着反映了作者团队对学术严谨性的最高追求。此外，索引和参考文献列表的编排也极其详尽，为读者追溯特定定理的起源提供了极大的便利。尽管内容本身极其艰涩，但精美的印刷和清晰的图表（虽然图表数量不多）使得长时间的阅读负担得以缓解。总而言之，它不是一本能轻松读完的书，它需要读者投入大量的时间和心力，但它所提供的知识深度和学术规范性，使其成为任何严肃研究无限维统计的学者书架上不可或缺的镇馆之宝。

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坦白讲，作为一名侧重于应用统计和计算方法的实践者，我发现这本书的实用性相对有限。它几乎完全沉浸在纯粹的数学证明和存在性定理中，鲜少触及如何将这些深刻的理论转化为可执行的算法或在实际数据集中可验证的结论。例如，书中详细论述了随机场模型的正则化参数选择的理论最优性，但对于实际计算中如何有效地在无限维空间中实现梯度下降或蒙特卡洛采样等问题，则避而不谈，或者仅用一两句话带过。这使得我们这些希望利用这些理论来改进机器学习模型性能的人，在阅读后仍然感到理论与实践之间存在一道鸿沟。它更像是一座通往理论顶峰的瞭望塔，而非一座可供工程师使用的工具箱。对于纯理论研究者而言，这无疑是宝库，但对于追求快速算法突破的学者来说，可能需要寻找其他更偏向计算复杂度的书籍。

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这本书最大的亮点，在我看来，在于其对“随机算子收敛性”这一核心主题所采取的全新视角。它并没有止步于传统的依概率收敛或几乎必然收敛的范畴，而是引入了与特定统计目标函数（如KL散度下的收敛）相耦合的拓扑结构。这对于构建那些依赖于无限维估计量渐近性质的理论至关重要。我特别欣赏作者在处理半定规划（SDP）在无限维统计中的松弛问题时所展现的细致入微的处理。他们不仅给出了松弛的边界条件，还探讨了当维度趋于无穷时，这些松弛解如何渐近地收敛到原问题的最优解。这种深度挖掘使得这本书成为了一个重要的参考点，标志着该领域从纯粹的渐近理论向更具构造性的优化理论迈进了一大步。尽管数学推导极其密集，但其所达成的理论高度是毋庸置疑的。

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这部著作的标题本身就让人心生敬畏，它承诺要为那些处于统计学前沿、探索无限维度空间的理论家们提供坚实的基石。我花了相当长的时间去研读其中的某些章节，尤其关注它如何处理概率测度在希尔伯特空间中的扩张问题。作者展现出一种惊人的数学功底，将泛函分析的深邃洞见巧妙地融入到随机过程的构建之中。比如，在讨论非参数贝叶斯方法在函数空间中的应用时，书中对高斯过程的正则化特性进行了极其细致的剖析。我印象特别深刻的是关于随机场谱测度理论的那一部分，它不仅仅是简单地罗列公式，而是深入挖掘了测度与函数空间拓扑结构之间的内在联系。读者必须对测度论和算子理论有相当的把握，否则在跟进作者的推导时会感到吃力。这种深度要求使得它更像是一部高级研究手册，而不是面向普通统计爱好者的入门读物。它的贡献在于为那些试图在无限维框架下建立严格统计推断的人提供了一套可操作、可验证的数学语言。

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我对这本书的叙事节奏和整体结构感到有些困惑，坦率地说，它读起来更像是一系列高度专业化的研讨会论文的集合，而非一个流畅的整体。特别是在关于高维回归模型误差结构分析的那几节中，论证的跳跃性很大，经常需要读者自行去填补中间环节的逻辑链条。例如，从Lévy过程在Banach空间中的鞅性质过渡到具体的估计量一致性证明时，关键的条件假设并未被充分地强调和解释，这使得初次接触该领域的人很难把握其普适性边界。我期待书中能有更多的图形化辅助或更直观的例子来锚定那些高度抽象的概念，然而，它完全依赖于符号的精确性和逻辑的严密性。这本书无疑是对该领域现有知识体系的一次重要补充，但其教学法上的取向更偏向于“记录发现”，而不是“传授知识”。对于希望通过自学掌握这些复杂模型的学者来说，这无疑是一个艰巨的挑战，需要辅以其他更具指导性的参考资料。

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很详细的关于非参统计的专著。个人感觉优于Tsybakov那本。

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泣血推荐！我当时居然觉得这本书的证明超级麻烦，现在看来能把证明给你全摆出来的书不多啦，而且论文中很多用到的技巧、不等式这里都能找到。

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很详细的关于非参统计的专著。个人感觉优于Tsybakov那本。

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